Метрическая задача с треугольником

Решение позиционных и метрических задач

Метрическая задача с треугольником

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

РЕШЕНИЕ ПОЗИЦИОННЫХ И

к выполнению расчетно-графической работы по дисциплине «Начертательная геометрия»

для студентов специальности 280201.65

и направлений 240100.62, 150600.62

Предлагаемое методическое указание предназначено для студентов очного и заочного обучения специальности 280201.65 «Охрана окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов», направлений 240100.62 «Химическая технология и биотехнология» и 150600.62 «Материаловедение и технология новых материалов».

При выполнении студентами расчетно-графической работы встречаются существенные трудности, поэтому в организации самостоятельной работы основной задачей преподавателя является оказание методической помощи студенту.

В данном методическом указании информационный материал проиллюстрирован, разработаны примеры решения задач с подробными пояснениями.

Изображения, построенные по правилам, изучаемым в начертательной геометрии, позволяют представить мысленно форму предметов и их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры.

Правила построения изображений основаны на методе проекций. Рассмотрение метода проекций начинают с построения проекций точек, так как при построении изображения любой пространственной формы рассматривается ряд точек, принадлежащих этой форме.

Изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях называют комплексным чертежом (эпюром). На рис. 1 изображено наглядное изображение точки и эпюр.

А2 АХ – высота точки А;

А1 АХ – глубина точки А;

А1Ау – ширина точки А.

Метрическая задача с треугольникомМетрическая задача с треугольником

На рис. 2 выполнен эпюр точки В Є П2 (точка В лежит в плоскости П2). Глубина точки (Ув) равна нулю.

На рис. 3 показана точка С Є Z (точка С принадлежит оси Z), точка С не имеет глубины и ширины.

Метрическая задача с треугольникомМетрическая задача с треугольником

Прямая общего положения – прямая не параллельная ни одной из плоскостей проекций, на рис. 4 изображены три проекции отрезка АВ прямой общего положения.

Метрическая задача с треугольником

Прямые частного положения – прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямая уровня – прямая, параллельная одной плоскости проекций (рис. 5).

Проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная плоскости проекций (рис. 6).

Метрическая задача с треугольникомМетрическая задача с треугольником

АВ׀׀ П1; А2В2׀׀Х12, т. е. Za=Zв; А1В1 – натуральная величина отрезка; α – угол наклона АВ к П2.

Метрическая задача с треугольникомМетрическая задача с треугольником

АВÖП1; А1В1 – вырожденная проекция, А2В2׀׀Z, А3В3׀׀ Z.

Плоскость общего положения – плоскость не параллельная ни одной из плоскостей проекций (рис. 7).

Плоскости частного положения:

а) плоскости уровня – плоскости, параллельные одной плоскости проекций (рис. 8);

б) проецирующие плоскости – плоскости, перпендикулярные плоскости проекций (рис. 9).

Метрическая задача с треугольникомМетрическая задача с треугольником

Метрическая задача с треугольникомМетрическая задача с треугольником

Метрическая задача с треугольникомМетрическая задача с треугольником

На рис. 8 αÖП1. Проецирующая плоскость изображается прямой линией на той плоскости проекции, к которой она перпендикулярна.

β° – угол наклона плоскости α к плоскости П2.

На рис. 9 α׀׀П1, ∆АВС проецируется на плоскость П1 без искажения.

Относительное положение точки и прямой

Если точка А принадлежит прямой, то проекции ее лежат на одноименных проекциях прямой (рис. 10).

А Є b, т. к. А1 Є b1, А2 Є b2.

Метрическая задача с треугольником

Относительное положение точки, прямой и плоскости.

а) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через 2 точки, лежащие этой плоскости (рис. 11).

Метрическая задача с треугольником

б) точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой лежащей в этой плоскости (рис. 12).

а Є α(m║n), А Є α, т. к. А Є а.

Метрическая задача с треугольником

ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

Горизонталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости П1. Обозначается горизонталь – h (рис. 13).

через точки А1 и 11 проводим h1.

Метрическая задача с треугольником

Фронталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости П2 . Обозначается фронталь – f (рис.14).

проводим f2 через точки 12 и С2.

Метрическая задача с треугольником

МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЯМОЙ

Натуральная величина отрезка прямой

и углы наклона ее к плоскостям проекций

Натуральная величина прямых частного положения определяется проекциями этих прямых.

Натуральную величину прямой общего положения можно определить с помощью прямоугольного треугольника (рис. 15).

Метрическая задача с треугольником

Отрезок АВ занимает общее положение. В плоскости АА1ВВ1, занимающей горизонтально проецирующее положение построим отрезок АС ║ А1 В1, получим прямоугольный треугольник АВС. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=А1 В1; катет ВС= ВВ1-А1 А1; ВВ1=ZВ; АА1=ZА; отсюда следует, что натуральная величина отрезка АВ есть гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого равен проекции отрезка, а второй – разность расстояний концов отрезка до соответствующей плоскости проекции. a° – угол наклона отрезка АВ к плоскости П1. Построение натуральной величины отрезка на эпюре показано на рис. 16.

Метрическая задача с треугольником

Чтобы определить угол наклона отрезка АВ к плоскости П2 (угол b), надо построить прямоугольный треугольник, один катет которого –фронтальная проекция отрезка, а второй разность расстояний концов отрезка АВ до плоскости П2.

Содержание
  1. Преобразование комплексного чертежа
  2. Основные метрические задачи
  3. Задача: а) Определить расстояние от точки до прямой. Чтобы решить эту задачу надо перейти из системы к системе , т. е. преобразовав отрезок АВ прямой во фронтальное положение, а затем перейдя в новую систему преобразуем отрезок прямой в проецирующее положение. Искомое расстояние равно отрезку .
  4. Определение расстояния от точки до плоскости
  5. Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами
  6. Решение метрических задач методами преобразовании проекций
  7. Четыре основных задачи преобразовании проекций
  8. Способ вращения
  9. Способ плоскопараллельного перемещения
  10. Способ замены плоскостей проекций
  11. Способ плоскопараллельного перемещения
  12. Способ замены плоскостей проекций
  13. Метрические задачи
  14. Определение расстояний между геометрическими объектами
  15. Перпендикулярность плоскостей
  16. Определение углов между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями
  17. Примеры метрических задач
  18. Теорема о проекциях прямого угла
  19. Линии наибольшего наклона плоскости
  20. Перпендикулярность прямой и плоскости
  21. Взаимная перпендикулярность плоскостей
  22. Определение метрических задач
  23. Определение длины отрезка
  24. Определение площади треугольника
  25. Проецирование прямого угла
  26. Перпендикулярность прямых и плоскостей
  27. Перпендикулярность прямой и плоскости
  28. Расстояние от точки до плоскости
  29. Перпендикулярность плоскостей
  30. Определение натуральных величин геометрических элементов
  31. Определение расстояния между геометрическими элементами (образами)
  32. Определение углов наклона геометрических элементов к плоскостям проекций H и V
  33. Метрическая задача с треугольником
  34. §1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.
  35. 🎬 Видео

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Преобразование комплексного чертежа

(метод замены плоскостей проекций)

Сущность метода замены плоскостей проекций заключается в том, что положение геометрической фигуры не изменяется, а вводится новая дополнительная плоскость, относительно которой геометрическая фигура занимает частное положение.

Рассмотрим шесть типовых задач, решаемых методом замены.

Задача 1: отрезок АВ прямой общего положения перевести в положение уровня.

Введем новую дополнительную плоскость П4, параллельную отрезку АВ, при условии П4^ П1. В новой системе плоскостей Метрическая задача с треугольникомпроекция А1 В1 на плоскости П1 останется прежней, а проекция на П4 будет А4В4. При замене плоскостей П2 на П4 не изменяются расстояния от точек А и В до плоскости П1 (высоты точек ZA и ZB).

При выбранном нами положении плоскости П4 новая ось Х14 располагается параллельно А1В1, а новая проекция А4В4 может быть построена на эпюре, если на соответствующих линиях связи точек А и В отложить от оси, высоты точек ZА и ZВ (рис. 17).

Метрическая задача с треугольником

Задача 2: прямую уровня перевести в проецирующее положение (рис. 18).

Метрическая задача с треугольником; Метрическая задача с треугольником^Метрическая задача с треугольником; Метрическая задача с треугольником^Метрическая задача с треугольникомАВ

Проводится ось Х14^А1В1 на любом расстоянии от проекции А1В1 по линии связи отложим расстояние (ZА= ZВ).

Метрическая задача с треугольником

Задача 3: прямую общего положения перевести в проецирующее положение.

Для решения этой задачи надо последовательно провести две замены (т. е. решить сначала задачу 1, затем задачу 2) (рис. 19).

Метрическая задача с треугольником

Так, чтобы отрезок АВ прямой общего положения сделать горизонтально проецирующим, сначала переходим к системе Метрическая задача с треугольником(Метрическая задача с треугольником), преобразуя прямую в прямую, параллельную плоскости П4, а затем от системы Метрическая задача с треугольникомпереходим к системе Метрическая задача с треугольником, сделав отрезок АВ прямой перпендикулярным к плоскости П5.

Задача 4: плоскость общего положения перевести в проецирующее положение (рис. 20).

Для решения задачи построим в ∆ АВС горизонталь h, преобразуем систему Метрическая задача с треугольникомв систему Метрическая задача с треугольником; П4 перпендикулярна к плоскости ∆ АВС; на чертеже проводим ось Х14Метрическая задача с треугольникомh1.

Метрическая задача с треугольником– угол наклона плоскости к плоскости П1.

Метрическая задача с треугольником

Задача 5: проецирующую плоскость перевести в положение уровня (рис. 21).

Заменим плоскости П1 на П4; П4 расположена параллельно плоскости ∆ АВС. Проводим ось Х14 параллельно А1В1С1.

Метрическая задача с треугольником

Задача 6: плоскость общего положения перевести в положение уровня (рис. 22).

Чтобы решить эту задачу надо два преобразования, т. е. решить задачу 4, а затем задачу 5.

Метрическая задача с треугольником

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

Основные метрические задачи

Задача: а) Определить расстояние от точки до прямой. Чтобы решить эту задачу надо перейти из системы Метрическая задача с треугольникомк системе Метрическая задача с треугольником, т. е. преобразовав отрезок АВ прямой во фронтальное положение, а затем перейдя в новую систему Метрическая задача с треугольникомпреобразуем отрезок прямой в проецирующее положение. Искомое расстояние равно отрезку Метрическая задача с треугольником.

а) прямая занимает частное положение – положение уровня (рис. 23).

Метрическая задача с треугольником

В этом случае необходимо перевести заданную горизонтальную прямую во фронтально проецирующее положение. Искомое расстояние между точкой и прямой есть расстояние Метрическая задача с треугольникоммежду вырожденной проекцией прямой и точкой.

б) прямая занимает общее положение (рис. 24).

Чтобы решить эту задачу надо выполнить две замены.

Метрическая задача с треугольником

Задача: Определить расстояние между двумя параллельными прямыми.

а) прямые частного положения.

Заданные фронтальные прямые перевести в горизонтально проецирующее положение. Построить новую плоскость П4 Метрическая задача с треугольникомАВ (СД). На чертеже провести ось Х24 Метрическая задача с треугольникомА2В2. Искомая натуральная величина расстояния между прямыми равна расстоянию Метрическая задача с треугольникоммежду вырожденными проекциями прямых на плоскости П2 (рис. 25).

Метрическая задача с треугольником

б) прямые общего положения (рис. 26).

Данные прямые переведены в проецирующее положение.

При первой замене новая плоскость располагается параллельно заданным прямым и перпендикулярно к П1, а при второй замене новая плоскость расположена перпендикулярно к прямым. Отрезок Метрическая задача с треугольникоммежду вырожденными проекциями прямых является искомой натуральной величиной расстояния между данными прямыми.

Метрическая задача с треугольником

Задача: определить расстояние между скрещивающимися прямыми

а) одна из прямых занимает проецирующее положение (рис. 27).

Метрическая задача с треугольником

б) обе прямые занимают общее положение (рис. 28).

Метрическая задача с треугольником

План решения задачи сводится к определению расстояния между вырожденной проекцией одной прямой на плоскость, перпендикулярную к ней, и проекций другой прямой на эту плоскость.

Для преобразования одной из прямых в проецирующую на эпюре проводим последовательную замену обеих заданных плоскостей проекций.

Заданные прямые АВ и СД сначала спроецированы на новую плоскость П4, параллельную прямой СД. Затем прямые АВ и СД спроецировать на новую плоскость П5, перпендикулярную к той же прямой СД. На плоскость П5 прямая СД проецируется в точку (С5Д5) , а расстояние Метрическая задача с треугольникоммежду проецирующими С5Д5 и А5В5 является искомой величиной расстояния между данными АВ и СД.

Видео:Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Определение расстояния от точки до плоскости

Задача: определить расстояние от точки до плоскости, занимающей проецирующее расстояние (рис. 29).

Метрическая задача с треугольником

Чтобы определить расстояние от точки до проецирующей плоскости, надо опустить перпендикуляр из точки на вырожденную проекцию плоскости (из горизонтальной проекции К1 опускаем перпендикуляр на А1В1С1)

Задача: определить расстояние от точки до плоскости общего положения (рис. 30).

Метрическая задача с треугольником

Чтобы определить расстояние от точки К до плоскости общего положения заданной треугольником АВС, заменяем одну из плоскостей проекций в системе Метрическая задача с треугольникомтак, чтобы в новой системе Метрическая задача с треугольникомтреугольник занял проецирующее положение. Проводим через вершину С ∆ АВС горизонталь h. Затем вводим новую плоскость П4 , перпендикулярную к плоскости ∆ АВС, на эпюре проводим ось Х14 Метрическая задача с треугольникомh1, строим проекцию треугольника А4В4С4 и затем из точки К4 опускаем перпендикуляр на вырожденную проекцию треугольника. l – искомая натуральная величина расстояния от точки К до плоскости. Одновременно определим угол наклона (α°) ∆АВС к плоскости проекций П1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВУГРАННОГО УГЛА

Двугранный угол между двумя пересекающимися плоскостями измеряется линейным углом (рис. 31).

Метрическая задача с треугольником

Задача: определить двугранный угол, образованный пересечением плоскостей треугольников АВС и ДВС (рис. 32,33).

Метрическая задача с треугольником

При решении задачи надо определить, какое положение занимает общее ребро двугранного угла:

а) частное положение – одна замена (рис. 33);

б) общее положение – две замены (рис. 32).

Общее ребро надо в обоих случаях преобразить в точку, а каждая из проекций треугольников является вырожденной (прямой). Угол ß° между ними определяет величину двугранного угла между заданными плоскими фигурами.

Метрическая задача с треугольником

СОДЕРЖАНИЕ РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ №1

1) по заданным координатам построить 2 проекции треугольника АВС и отрезка прямой DЕ;

2) определить точку пересечения DЕ с плоскостью треугольника АВС, показать видимость DЕ.

1) определить натуральную величину треугольника АВС методом замены плоскостей проекций и угол (α˚) наклона треугольника АВС к плоскости П1.

1) построить линию пересечения пирамиды с плоскостью общего положения;

2) построить развёртку пирамиды с нанесением линии пересечения.

1) определить натуральную величину двугранного угла, образованного боковыми гранями пирамиды.

Указания к решению задач РГР:

Работа выполняется в масштабе 1:1, на ватмане формат А3, варианты заданий даны в приложении 1 (табл. П1 и табл. П2).

Образец выполнения РГР 1 дан в приложениях 2-5.

Видео:Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать

Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскости

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

К метрическим задачам относятся задачи на определение натуральной величины отрезков, расстояний углов, площадей плоских фигур.

Определение натуральной величины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций методом прямоугольною треугольника Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка, а вторым — разность расстояний концов отрезка от той плоскости, на которой ведется построение. При этом угол между гипотенузой и катетом проекций является углом наклона отрезка к той плоскости, ряльной величины выполнено на горизонтальной проекции. Поэтому одним катетом прямоугольного треугольника, является горизонтальная проекцияМетрическая задача с треугольником

Метрическая задача с треугольником

Если необходимо определить угол наклона отрезка АВ к плоскости Метрическая задача с треугольникомто построение прямоугольного треугольника ведется на фронтальной проекции.

Видео:Задача, которую исключили из экзамена в АмерикеСкачать

Задача, которую исключили из экзамена в Америке

Решение метрических задач методами преобразовании проекций

Положении геометрических образов, при которых расстоянии и углы не искажаются на плоскостях проекций

Метрические характеристики объектов на чертежах не искажаются, если геометрические образы занимают частное положение относительно плоскостей проекций.

Приведем некоторые из них.

1. Прямая проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.2).

Метрическая задача с треугольником

Метрическая задача с треугольником— угол наклона к плоскостиМетрическая задача с треугольником

2. Расстояние от точки до прямой проецируется в натуральную величину, если прямая проецирующая (рисунок 3.3).

Метрическая задача с треугольником

3. Расстояние между параллельными прямыми проецируется в натуральную величину, если прямые проецирующие (рисунок 3.4).

Метрическая задача с треугольником

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми проецируется в натуральную величину, если одна из прямых проецирующая (рисунок 3.5).

Метрическая задача с треугольником

5. Угол между плоскостями (двугранный угол) проецируется в натуральную величину, если ребро угла проецирующее (рисунок 3.6).

Метрическая задача с треугольником

6. Угол наклона плоскости к плоскости проекций проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.7) Метрическая задача с треугольником

7. Расстояние от точки до плоскости проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.8)

Метрическая задача с треугольником

8. Любая плоская фигура проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.9а,б)

Метрическая задача с треугольником

Таким образом, для решения метрических задач целесообразно данный объект привести в частное положение с тем, чтобы на одной из новых проекций получить более простое решение задачи.

Для такого перехода и служат способы преобразования проекций.

Существует несколько способов преобразовании проекций: способ вращения вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций, способ плоскопараллельного перемещения, способ замены плоскостей проекций и др.

Четыре основных задачи преобразовании проекций

Этими способами решаются четыре основные задачи:

  • Задача 1. Прямую общего положения преобразуем в линию уровня (одно преобразование).
  • Задача 2. Прямую общего положения преобразуем в проецирующую (два преобразования)
  • Задача 3. Плоскость общего положения преобразуем в проецирующую (одно преобразование)
  • Задача 4. Плоскость общего положения преобразуем в плоскость уровня (два преобразования)

Решение 1-ой и 2-ой задачи преобразовании проекций методом вращении, плоскопараллельного перемещении и замены плоскостей проекций

Способ вращения

Способ вращения заключается в том, что геометрические образы вращаются вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций до занятия ими какого-либо частного положения относительно плоскостей проекций. При этом одна проекция точки перемещается по окружности, вторая — но прямой параллельной оси проекций.

На рисунке 3.10 вокруг осиМетрическая задача с треугольникомвращаем отрезок ЛВ до положения параллельного плоскостиМетрическая задача с треугольником(1 задача). Далее вращением вокруг осиМетрическая задача с треугольникомполученный отрезок до положения перпендикулярного плоскости Метрическая задача с треугольникомНа Метрическая задача с треугольникомотрезок с проецируется в точку Метрическая задача с треугольником

Метрическая задача с треугольником

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения является разновидностью способа вращения (вращение без закрепленных осей), т.е. положение объекта можно преобразовывать путем перемещения его параллельно одной плоскости проекций, одновременно изменяя его положение относительно другой плоскости проекций до занятия им какого-либо частного положения.

На рисунке 3.11 сначала АВ переводим из общего положения в положение горизонтальное. При этом Метрическая задача с треугольникомдолжно быть равно по величина Метрическая задача с треугольникомнаходим в пересечении вертикальных линий связи и линий Метрическая задача с треугольникомпараллельных оси Метрическая задача с треугольником(1 задача). Далее отрезок Метрическая задача с треугольникомперемещаем до положения перпендикулярного оси Метрическая задача с треугольникомПри этом Метрическая задача с треугольникомНа фронтальной проекции отрезок с проецируется в точку Метрическая задача с треугольником(2 задача).

Метрическая задача с треугольником

Метрическая задача с треугольником

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что старая система плоскостей проекций заменяется на новую, с таким расчетом, чтобы относительно новой системы плоскостей, геометрический образ занял какое-то частное положение. При этом нужно помнить, что линии связи будут перпендикулярны относительно новой оси проекций и расстояния от новой оси проекций до новой проекции точки равно расстоянию от старой проекции точки до старой оси.

На рисунке 3.12 произведена первая замена плоскость Метрическая задача с треугольникомзаменена на новую фронтальную плоскость Метрическая задача с треугольникомпараллельную прямой АВ. При этом новая ось Метрическая задача с треугольникомпроводится параллельно проекции Метрическая задача с треугольникомЛинии связи проводятся перпендикулярно оси Метрическая задача с треугольникоми на них от Метрическая задача с треугольникомоткладываются координаты z точек А и В (1 задача).

Метрическая задача с треугольником

Далее прямую АВ преобразуем в проецирующую. Для этого проводим новую ось Метрическая задача с треугольникомперпендикулярно проекцииМетрическая задача с треугольником. Т.к. Метрическая задача с треугольникомпараллельна оси Метрическая задача с треугольником, расстояние до проекций Метрическая задача с треугольникомбудет одинаковое и прямая спроецируется в точку Метрическая задача с треугольником(2 задача)

Решение 3-ой и 4-ой задачи преобразовании проекций методом плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций

Так как метод вращения является более громоздким, рассмотрим решение 3-ей и 4-ой задачи преобразования методом плоскопараллельного перемещения и методом замены плоскостей проекций.

Способ плоскопараллельного перемещения

Метрическая задача с треугольником

Для того чтобы плоскость из общего положения перевести в проецирующее, нужно иметь ввиду, что при этом ее горизонталь или фронталь должна быть перпендикулярна плоскости проекций. Поэтому на рисунке 3.13 проведена горизонталь Метрическая задача с треугольникомДалее Метрическая задача с треугольникомрасполагаем перпендикулярно оси Метрическая задача с треугольникомОткладываем на ней отрезок Метрическая задача с треугольникоми циркулем строим треугольник Метрическая задача с треугольникомравный по величине Метрическая задача с треугольникомНа фронтальной проекции треугольник проецируется в линию (3 задача).

Чтобы плоскость треугольника перевести в положение плоскости уровня, достаточно полученную фронтальную проекцию Метрическая задача с треугольникомрасположить параллельно оси Метрическая задача с треугольникомпри этом на горизонтальной проекции треугольник проецируется в натуральную величину (4-я задача)

Способ замены плоскостей проекций

При решении задачи методом замены (рисунок 3.14) новую ось Метрическая задача с треугольникомпроводим перпендикулярно горизонтали Метрическая задача с треугольникомтогда на новую фронтальную плоскость Метрическая задача с треугольникомтреугольник спроецируется в линию, т.е. станет перпендикулярным (3-я задача). Чтобы плоскость перевести в положение плоскости уровня, необходимо новую ось Метрическая задача с треугольникомпровести параллельно плоскости Метрическая задача с треугольникомНа новую плоскость Метрическая задача с треугольникомтреугольник спроецируется в натуральную величину.

Метрическая задача с треугольником

Для того, чтобы методами преобразования решить любую метрическую задачу, необходимо определить какую из четырех основных задач преобразования необходимо решать в каждом конкретном случае.

Видео:Построение натуральной величины треугольника методом вращенияСкачать

Построение натуральной величины треугольника методом вращения

Метрические задачи

Метрические задачи — это задачи на определение линейных или угловых размеров геометрических объектов, а также расстояний и углов между ними.

Главным вопросом метрических задач является вопрос о построении перпендикуляра к прямой или плоскости. Построение взаимно перпендикулярных прямых было рассмотрено ранее.

Из элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. В качестве этих пересекающихся прямых наиболее целесообразно использовать горизонталь и фронталь плоскости. Это объясняется тем, что только в этом случае прямой угол будет проецироваться в натуральную величину на соответствующие плоскости проекций. На рисунке 5.1 приведен пространственный чертеж, на котором из плоскости а (из точки А) восстановлен перпендикуляр АВ. Из приведенного изображения можно выяснить методику построения проекций перпендикуляра к плоскости: горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали или горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикуляра проводится перпендикулярно фронтальной проекции фронтали или фронтальному следу плоскости. Таким образом, необходимо выполнить следующий алгоритм проведения проекций перпендикуляра к плоскости:

Метрическая задача с треугольником

Метрическая задача с треугольником

Построение перпендикуляра к плоскость и восстановление перпендикуляра из плоскости называется прямой задачей, а построение плоскости, перпендикулярной к прямой — обратной задачей. Обе задачи решаются по одному и тому же вышеописанному алгоритму. При этом плоскость, перпендикулярную заданной прямой, можно задать следами или пересекающимися горизонталью и фронталью.

На рисунке 5.2 показано решение прямой (а) и обратной (б) задач. В прямой задаче из точки A треугольника AВС восстановлен перпендикуляр, в обратной задаче через точку К проведена плоскость, перпендикулярная прямой АВ. Плоскость задана пересекающимися горизонталью и фронталью.

Здесь же приведены примеры прямой и обратной задач, если плоскость задана следами. В прямой задаче (в) из точки Л построен перпендикуляр на плоскость, в обратной (г) — через точку К проведена плоскость перпендикулярно прямой АВ. Метрическая задача с треугольником

Определение расстояний между геометрическими объектами

Среди этих задач можно выделить следующие задачи: расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя параллельными прямыми, расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние между двумя параллельными плоскостями и другие. В общем случае все задачи сводятся к определению расстояний между двумя точками.

Чтобы определить расстояние от точки до плоскости, необходимо выполнить ряд логических действий:

  1. Из точки опустить перпендикуляр на заданную плоскость;
  2. Найти точку встречи перпендикуляра с плоскостью;
  3. Определить НВ расстояния между заданной и найденной точками.

Задача на определение расстояния от точки до прямой решается по следующему плану:

  1. Через точку к провести плоскость, перпендикулярную заданной прямой;
  2. Найти точку встречи М заданной прямой с проведенной плоскостью;
  3. Соединить полученные точки (это будет перпендикуляр из точки на прямую);
  4. Определить НВ перпендикуляра.

Пространственная модель решения второй задачи представлена на рисунке 5.3. Рассмотренная задача относится также к задачам на перпендикулярность двух прямых.

Метрическая задача с треугольником

Другие упомянутые задачи на определение расстояний легче решаются методами преобразования эпюра, которые будут рассмотрены в последующих разделах.

Перпендикулярность плоскостей

Плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости (рисунок 5.4а). Таким образом, для того, чтобы провести плоскость, перпендикулярную другой, необходимо сначала провести перпендикуляр к заданной плоскости, а затем через него провести искомую плоскость. На рисунке 5.46 представлена задача: через точку К провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника AВС. Искомая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна заданной плоскости.

Метрическая задача с треугольником

Если две плоскости являются одноименными плоскостями частного положения (например, горизонтально- или фронтально-проецирующими), то при перпендикулярности плоскостей их собирательные следы будут перпендикулярны друг другу (рисунок 5.4в,г).

Если плоскости являются плоскостями общего положения, то при их перпендикулярности одноименные следы не будут взаимно перпендикулярны. Другими словами, перпендикулярность одноименных следов плоскостей общего положения не является достаточным условием для перпендикулярности самих плоскостей.

Определение углов между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями

Определение углов между геометрическими объектами является трудоемкой задачей, если её решать традиционными геометрическими способами. Так, например, задачу на определение угла между прямой и плоскостью (рисунок 5.5) можно решить способом, алгоритм которого содержит следующие операции:

  1. Определить точку встречи прямой АВ с плоскостью а;
  2. Из точки В построить перпендикуляр на плоскость;
  3. Найти точку встречи перпендикуляра с плоскостью;
  4. Точки К и N соединить и определить НВ угла BKN.

Метрическая задача с треугольником

Однако задача может быть значительно упрощена, если использовать способ решения задачи с помощью дополнительного угла. Дополнительным углом назовем угол между заданной прямой АВ и перпендикуляром BN, обозначенный через Метрическая задача с треугольникомИз приведенного рисунка видно, что, если из точки В прямой построить на плоскость перпендикуляр, определить НВ дополнительного угла Метрическая задача с треугольникомто искомый угол определится по формуле:

Метрическая задача с треугольником

которую можно решить графически, достроив угол Метрическая задача с треугольникомдо 90°.

То же самое можно сказать о задаче на определение двугранного угла, то есть угла между двумя плоскостями (рисунок 5.66). Первый способ (геометрический) достаточно трудоемок. Он заключается в пересечении угла вспомогательной плоскостью а, перпендикулярной ребру АВ, построении линий пересечения KN и KL и определении натуральной величины угла NKL.

Метрическая задача с треугольником

С помощью дополнительного угла задача решается следующим образом. В растворе двугранного угла (рисунок 5.6в) берут любую точку К и строят из неё перпендикуляры на обе плоскости двугранного угла, которые образуют дополнительный угол Метрическая задача с треугольникомДалее определяют НВ дополнительного угла и дополняют его (графически) до 180 градусов, исходя из формулы:

Метрическая задача с треугольником

Дополненный угол будет искомым.

Натуральную величину дополнительного угла Метрическая задача с треугольникомв обеих задачах наиболее целесообразно определять методом вращения вокруг горизонтали или фронтали, который будет изложен в последующих темах.

Пример: Из любой вершины треугольника АВС восстановить перпендикуляр длиной 40 мм.

Метрическая задача с треугольником

Решение: Сначала необходимо в плоскости треугольника АВС провести горизонталь и фронталь для того, чтобы построить проекции восстановленного перпендикуляра. Далее из точки С проводим проекции перпендикуляра согласно рассмотренному выше алгоритму о перпендикуляре к плоскости. Для того, чтобы отложить 40 мм, необходимо определить НВ ограниченного отрезка перпендикуляра CF (точку F берем произвольно). НВ отрезка CF определяем методом прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции CF. Полученную точку К возвращаем на проекции по теореме Фалеса. Получаем проекции перпендикуляра длиной 40 мм (рисунок. 5.7).

Пример: Найти расстояние от точки А до плоскости, заданной следами

Метрическая задача с треугольником

Решение: Из точки А строим перпендикуляр на заданную плоскость. Проекции перпендикуляра проводим перпендикулярно следам. Далее находим точку встречи перпендикуляра с заданной плоскостью с помощью вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости Метрическая задача с треугольникомНаходим линию пересечения плоскостей Метрическая задача с треугольником(линия 1-2) и точку встречи Метрическая задача с треугольникомв месте пересечения горизонтальной проекции перпендикуляра с линией 1-2. Методом прямоугольного треугольника определяем НВ расстояния АК (рисунок 5.8).

Пример: Определить расстояние от точки К до прямой AВ.

Метрическая задача с треугольником

Решение: Через точку К проводим плоскость, перпендикулярную заданной прямой. Плоскость задаем пересекающимися горизонталью и фронталью. Их проекции проводим согласно алгоритму о перпендикуляре к плоскости (обратная задача). Далее находим точку встречи прямой с проведенной плоскостью (точка М). Определяем натуральную величину КМ методом прямоугольного треугольника (рисунок 5.9).

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | Математика

Примеры метрических задач

Задачи, в которых определяются различные геометрические величины -расстояния между объектами, длины отрезков, углы, площади и т.д. называются метрическими. Решение многих метрических задач, например задач на определение кратчайших расстояний, требует построения перпендикулярных прямых и плоскостей.

Перпендикулярность является частным случаем пересечения прямых, прямой и плоскости или двух плоскостей. Необходимо установить соотношения, по которым строятся проекции перпендикулярных прямых и плоскостей.

Теорема о проекциях прямого угла

Прямой угол проецируется на плоскость без искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости (рис. 10.1).

Метрическая задача с треугольником

Рис. 10.1. Теорема о проекциях прямого угла

Дано :Метрическая задача с треугольникомBAC = 90°; AB || П’

Доказать, что C’A’Метрическая задача с треугольникомA’B’

Доказательство: если AB||П’, то A’B’||AB, но AA’Метрическая задача с треугольникомП’^AA’Метрическая задача с треугольникомA’B’ значит ABМетрическая задача с треугольникомAA,AB Метрическая задача с треугольникомплоскости CAA’C’, тогда и A’B’ Метрическая задача с треугольникомCAA’C’. Следовательно,CA’Метрическая задача с треугольникомA’B’.

На основании этой теоремы две взаимно перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) проецируются на П1 в виде взаимно перпендикулярных прямых, если одна из них горизонталь, на П2 — если одна из них фронталь (рис. 10.2,а).

Условие перпендикулярности скрещивающихся прямых (рис. 10.2,б) сводятся к условиям перпендикулярности пересекающихся прямых, поведенных через произвольную точку и соответственно параллельных скрещивающимся прямым. Таким образом, понятие перпендикулярности можно отнести как к пересекающимся, так и к скрещивающимся прямым.

Метрическая задача с треугольником

Рис. 10.2. Перпендикулярные прямые:
а -пересекающиеся a1 Метрическая задача с треугольникомh1 Метрическая задача с треугольникомa Метрическая задача с треугольникомh ;
б -скрещивающиеся b2 Метрическая задача с треугольникомМетрическая задача с треугольником2 Метрическая задача с треугольникомb Метрическая задача с треугольникомМетрическая задача с треугольником

Линии наибольшего наклона плоскости

Прямые, лежащие в плоскости и перпендикулярные линиям уровня этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона к соответствующей плоскости проекций (рис. 10.3). Так, прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная горизонтали плоскости, называется линией наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций, а прямая, перпендикулярная фронтали — линией наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций.

Угол между линией наибольшего наклона и ее проекцией на соответствующую плоскость равен углу наклона плоскости к плоскости проекций (см. рис. 9.15).
Метрическая задача с треугольником

Рис. 10.3. Линия наибольшего наклона плоскости а к П1:
а — плоскость общего положения; h ∈α — горизонталь плоскости а; AB Метрическая задача с треугольникомh — линия наибольшего наклона;
φ = Метрическая задача с треугольникомAB, AB 1 — угол наклона плоскости а к П1

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. На основании теоремы о проекциях прямого угла можно получить условие перпендикулярности прямой общего положения и плоскости общего положения:
Если прямая а перпендикулярна плоскости α(ABC), то ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали плоскости.

Например, при построении прямой а, перпендикулярной плоскости α(ABC) (рис. 10.4,а), в плоскости строятся линии уровня — горизонталь и фронталь, затем через произвольную точку в плоскости, в данном случае точку K(h×Метрическая задача с треугольником), строится прямая, горизонтальная проекция которой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости α(ABC), а фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали плоскости.

Метрическая задача с треугольником

Рис. 10.4. Перпендикулярность прямой и плоскости:

а -построение прямой, перпендикулярной плоскости: Метрическая задача с треугольником

б -построение плоскости, перпендикулярной прямой: Метрическая задача с треугольником

Аналогично решается задача о построении плоскости, перпендикулярной прямой общего положения (рис. 10.4,б)

Если плоскость проецирующая, проекции линий уровня совпадают со следом плоскости, перпендикулярность устанавливается по отношению к следу плоскости. Горизонтальная проекция перпендикуляра к горизонтально-проецирующей плоскости строится перпендикулярно горизонтальному следу плоскости (рис. 10.5,а). Прямая, перпендикулярная горизонтально-проецирующей плоскости, занимает положение горизонтальной линии уровня.
Аналогично, фронтальная проекция перпендикуляра к фронтально-проецирующей плоскости строится перпендикулярно фронтальному следу плоскости (рис. 10.5,б). Прямая, перпендикулярная фронтально-проецирующей плоскости, занимает положение фронтали.

Метрическая задача с треугольником

Рис. 10.5. Перпендикулярность прямой и проецирующей плоскости:
а -построение прямой, перпендикулярной плоскости;
б -построение плоскости, перпендикулярной прямой

Взаимная перпендикулярность плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей сводится к построению перпендикулярных прямой и плоскости. Например, чтобы через произвольную точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости a(Метрическая задача с треугольником× h) (рис. 10.6), достаточно построить прямую n,перпендикулярную плоскости α(Метрическая задача с треугольником×h): n1Метрическая задача с треугольникомh1; n2Метрическая задача с треугольникомМетрическая задача с треугольником2. Вторая прямая m, определяющая искомую плоскость, может быть задана произвольно — как пересекающая прямую n или параллельная ей.

Метрическая задача с треугольником

Рис. 10.6. Перпендикулярность двух плоскостей

Дано: α(h × Метрическая задача с треугольником ) ; A (A1, A2).

Построить: A ∈ β Метрическая задача с треугольникомα .

Метрическая задача с треугольником

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Определение метрических задач

Традиционно задачи, связанные с измерением длин, углов, площадей и объемов относят к метрическим. В основе решения этих задач лежит определение длины отрезка и, как производной от этого, площади плоской фигуры.

Определение длины отрезка

Одним из наиболее распространенных методов (рисунок 5.1) является метод прямоугольного треугольника (так его называют в начертательной геометрии) или метод ортогональных дополнений (название, принятое в линейной алгебре).
Метрическая задача с треугольником

Идея метода базируется на следующем. Истинная величина отрезка AВ является гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого, является проекцией отрезка AВ на плоскость проекции Метрическая задача с треугольникома второй катет -разница координат Метрическая задача с треугольникомконцов отрезка для оси, отсутствующей в рассматриваемой плоскости проекции (ортогональное дополнение). Угол между проекцией и гипотенузой этого треугольника (а) определяет наклон прямой к соответствующей плоскости проекции.

На комплексном чертеже возможно решение как на плоскости Метрическая задача с треугольникомтак и на плоскости Метрическая задача с треугольникомПри правильных построениях Метрическая задача с треугольником. Углы а и Метрическая задача с треугольником-углы наклона отрезка прямой АВ к плоскости Метрическая задача с треугольникомсоответственно.

Определение площади треугольника

Определение площади треугольника и величины плоского угла можно свести к известной задаче построения треугольника по трем сторонам.

Для этого достаточно, используя рассмотренный выше способ прямоугольного треугольника, найти по порядку истинные величины сторон Метрическая задача с треугольником(в соответствии с рисунком 5.2), а затем на свободном месте построить треугольник по трем сторонам.

Метрическая задача с треугольником
Величина плоского угла между двумя любыми сторонами этой фигуры может быть измерена на истинной величине треугольника.

Проецирование прямого угла

Решение многих задач Начертательной геометрии связано с необходимостью построения на чертеже взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей. Базой для этого служит умение строить прямые углы на комплексном чертеже.

Метрическая задача с треугольником
Известная в теории чертежа теорема (приведем ее без доказательства) утверждает, что прямой угол (в соответствии с рисунком 5.3) проецируется на

соответствующую плоскость проекций вез искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, а вторая — ей не перпендикулярна.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Выше уже отмечалось, что в трехмерном Евклидовом пространстве отсутствует полная параллельность, то же самое можно сказать и о перпендикулярности. Понятие перпендикулярности так же, как и параллельности, вводится через определение.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Считают, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся (любым) прямым этой плоскости.

При решении задачи возможны два варианта: проведение перпендикулярной прямой к плоскости из внешней точки и из точки, лежащей в плоскости.
Рассмотрим возможность проведения перпендикуляра из точки К, лежащей в плоскости общего положения Р, заданной следами (рисунок 5.4).

Метрическая задача с треугольником
Рисунок 5.4 — Перпендикулярность прямой и плоскости

В плоскости Р (через точку К) проводятся горизонталь h и фронталь f. Прямые, перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня Метрическая задача с треугольникомв соответствии с теоремой о проецировании прямого угла и данным выше определением, могут быть приняты за проекции прямой Метрическая задача с треугольником.

В том случае, когда точка К не лежит в плоскости Р, решение задачи аналогично (рисунок 5.5).

Поскольку положение точки пересечения искомого перпендикуляра не определено, решение соответствует следующей схеме:

а) в плоскости проводятся горизонталь h (через точку В) и фронталь f (через точку A), в случае задания плоскости следами за фронталь и горизонталь принимаются соответствующие следы плоскости Метрическая задача с треугольником

Метрическая задача с треугольником

Рисунок 5.5 — Перпендикуляр к плоскости

б) из внешней точки К к соответствующим проекциям линий уровня (следам) проводятся перпендикулярные прямыеМетрическая задача с треугольником— Линия t принимается за перпендикуляр, опущенный из точки К к плоскости Р;

в) определяется точка S пересечения этого перпендикуляра t и плоскости.

Расстояние от точки до плоскости

Метрическая задача с треугольником
Рисунок 5.6 — Расстояние от точки до плоскости

Задачу на определение расстояние от точки до плоскости (рисунок 5.6) можно свести к решению уже известных задач на построение перпендикуляра к плоскости (рисунок 5.5) и определения натуральной величины отрезка прямой (рисунок 5.1)

Перпендикулярность плоскостей

Считают, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Задача может ставиться, как проведение плоскости, перпендикулярной заданной, проходящей через точку или прямую.

При проведении искомой плоскости через точку, как и в предыдущем случае, возможны два варианта проведения плоскости перпендикулярной заданной: через точку, лежащую в плоскости и через точку вне ее (рисунок 5.7).

Точно такой же вариант возникает и при проведении перпендикулярной плоскости через прямую (лежащую в исходной плоскости или не лежащую).

Рассмотрим вариант построения плоскости, проходящей через точку. Пусть точка А лежит в плоскости Р. Линии Метрическая задача с треугольникомперпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня (следам), определят перпендикуляр t к плоскости Р.

Метрическая задача с треугольником
Рисунок 5.7 — Перпендикулярность плоскостей
Проведение через точку А произвольной прямой s позволяет определить плоскость Q, которая будет перпендикулярна плоскости Р.

Если точка А лежит вне плоскости Р, то решение аналогично. Проведение через точку А перпендикуляра t и произвольной прямой s определит плоскость Q, которая также, по определению, будет перпендикулярна плоскости Р.

Решение задачи на проведение плоскости через прямую аналогично решению задачи по проведению плоскости через точку. Достаточно вместо произвольной прямой s использовать заданную прямую АВ. И тогда, в соответствии с рисунком 5.8, задача сведется к проведению перпендикуляра t к плоскости Р (из точки, лежащей в плоскости или лежащей вне ее).
Метрическая задача с треугольником

Рисунок 5.8 — Перпендикулярность плоскостей

Определение натуральных величин геометрических элементов

1. Определить натуральную величину отрезка общего положения:

  • способом прямоугольного треугольника;
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать в прямую уровня;
  • способом вращения вокруг проецирующей оси преобразовать в прямую уровня.

2. Определить натуральную величину плоскости общего положения (замкнутого отсека):

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать в плоскость уровня;
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать в плоскость уровня;
  • способом плоскопараллельного перемещения преобразовать в плоскость уровня.

Определение расстояния между геометрическими элементами (образами)

1. Определить расстояние от точки до прямой общего положения:

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня (задачи 3 и 4 преобразования; прямую и точку рассматривать как плоскость);
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую (задачи 1 и 2 преобразования);
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня;
  • способом плоскопараллельного перемещения преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня;
  • способом задания плоскости, перпендикулярной к прямой (3-й тип задач), построить через заданную точку плоскость, перпендикулярную к прямой, и определить точку пересечения последней с плоскостью.

2. Определить расстояние между параллельными прямыми:

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня (задачи 3 и 4 преобразования);
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать две параллельные общего положения в проецирующие прямые (задачи 1 и 2 преобразования);
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня, ограничив ее замкнутым отсеком;
  • способом плоскопараллельного перемещения преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня;
  • способом задания плоскости, перпендикулярной к прямой (3-й тип задач), построить плоскость через любую точку, принадлежащую одной из прямых, перпендикулярную ко второй прямой, и определить точку пересечения этой плоскости со второй прямой.

3. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми, преобразовав одну из прямых в проецирующую (задачи 1 и 2 преобразования).

4. Определить расстояние от точки до плоскости:

  • по теме «Перпендикулярность» – провести перпендикуляр к плоскости, построить точку пересечения этого перпендикуляра с заданной плоскостью и найти любым способом натуральную величину построенного отрезка (см. пункт 1);
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость общего положения в плоскость проецирующую.

5. Определить расстояние от точки до поверхности вращения:

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, проведенную через точку и ось вращения поверхности, в плоскость уровня (задача 4 преобразования);
  • способом вращения вокруг проецирующей оси повернуть плоскость, проведенную через точку и ось вращения поверхности, в плоскость уровня.

Определение углов наклона геометрических элементов к плоскостям проекций H и V

1. Определить углы наклона прямой общего положения к плоскостям проекций H и V:

  • способом прямоугольного треугольника построить на двух проекциях натуральные величины отрезка и определить углы наклона прямой;
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать прямую общего положения в горизонтальную, а затем во фронтальную прямую (задача 1 преобразования);
  • способом вращения вокруг соответствующей проецирующей оси преобразовать прямую общего положения в горизонтальную и во фронтальную прямые.

2. Определить угол наклона прямой к заданной плоскости общего положения:

  • из любой точки прямой опустить перпендикуляр к плоскости;
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать построенную плоскость, заданную прямой и перпендикуляром, в плоскость уровня;
  • искомый угол будет дополнять построенный угол до 90°.

3. Определить величину двухгранного угла, если на чертеже есть линии пересечения плоскостей, образующих двухгранный угол (ребро):

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать ребро двухгранного угла в проецирующую прямую (задачи 1 и 2 преобразования).

4. Определить угол между двумя плоскостями общего положения, если на чертеже нет линии пересечения заданных плоскостей (ребра):

  • задача решается косвенным путем, для чего из любой точки пространства следует опустить перпендикуляры к заданным плоскостям, которые, в свою очередь, задают вспомогательную плоскость, перпендикулярную к этим плоскостям;
  • эту вспомогательную плоскость способом вращения вокруг линии уровня следует преобразовать в плоскость уровня, определив угол между перпендикулярами (преобразование вспомогательной плоскости в плоскость уровня возможно и другими способами – ее плоскопараллельным перемещением или заменой плоскостей проекций);
  • искомый угол будет дополнять построенный угол до 180° (углом между плоскостями считают угол острый).

Структуризация материала тринадцатой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 13.1 (лист 1). На последующих листах 2–7 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального повторения изученного материала при его повторении (рис. 13.2–13.7).

Метрические задачи:

Метрическая задача с треугольником

Определение натуральной величины геометрических элементов:

1. Определение длины отрезка

Способ прямоугольного треугольника

Метрическая задача с треугольником

Способ замены плоскостей проекций (задача 1)

Метрическая задача с треугольником

Способ вращения вокруг проецирующей оси

Метрическая задача с треугольником

2. Определение площади замкнутого отсека

Способ замены плоскостей проекций (задачи 3 и 4)

Метрическая задача с треугольником

Способ вращения вокруг прямой уровня (горизонтали)

Метрическая задача с треугольником

Способ вращения вокруг проецирующей оси i(i Метрическая задача с треугольникомV)

Метрическая задача с треугольником

Способ плоско-параллельного перемещения (переноса)

Метрическая задача с треугольником

Определение расстояний:

1. Расстояние между точками — определяется величиной отрезка, соединяющего эти точки

2. Расстояние от точки до прямой — определяется величиной перпендикуляра, опущенного из точки к прямой

а. Прямой путь (перпендикулярность)

б. Способ замены плоскостей проекций: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис. 13.2, г)

в. Способ вращения вокруг прямой уровня: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис.13.2, д)

г. Способ плоскопараллельного переноса: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис.13.2, ж)

Метрическая задача с треугольником

3. Расстояние между параллельными прямыми — определяется величиной перпендикуляра, проведённого из произвольной точки одной прямой к другой прямой

а. Способ замены плоскостей проекции (рассматриваем две прямые) — задачи 1 и 2 (преобразовать прямые общего положения AB и CD в проецирующие)

б. Способ замены плоскостей проекции (рассматриваем плоскость, которую определяют параллельные прямые) — задачи 3 и 4 (определить натуральную величину плоскости ? (AB//СВ))

Метрическая задача с треугольником

Метрическая задача с треугольником

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми — определяется величиной перпендикуляра, проведённого от одной из прямых, преобразованной в точку, к другой прямой (задачи 1 и 2 замены плоскостей проекции).

Способ замены плоскостей проекций — задачи 1 и 2

Метрическая задача с треугольником

5. Расстояние от точки до плоскости — определяется величиной перпендикуляра, проведённого из точки на плоскость до точки его пересечения с этой плоскостью.

а. Прямой путь (перпендикулярность)

Метрическая задача с треугольником

б. Способ замены плоскостей проекций (плоскость преобразовать в проецирующую — задача 3)

Метрическая задача с треугольником

6. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью — определяется величиной перпендикуляра, проведённого из произвольной точки на прямой к плоскости.

7. Расстояние между параллельными плоскостями — определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки одной плоскости на другую плоскость (до точки пересечения с другой плоскостью).

8. Расстояние от точки до поверхности

a. Cпособ вращения вокруг проецирующей оси

Метрическая задача с треугольником

Метрическая задача с треугольником

Метрическая задача с треугольником

б. Способ замены плоскостей проекции

Метрическая задача с треугольником

Метрическая задача с треугольником

Определение величин углов:

1. Угол φ между скрещивающимися прямыми — определяется плоским углом, образованным двумя пересекающимися прямыми, проведёнными из произвольной точки пространства параллельно скрещивающимся прямым (рис. 13.6, а)

Способ вращения вокруг линии уровня

Дано:
а и b — скрещивающиеся прямые
Требуется:

φ — ?

Решение:
1.
Метрическая задача с треугольником
2.φ — вращением вокруг фронтали, проведённой в построенной плоскости α(dс)

Метрическая задача с треугольником

2. Угол φ между прямой и плоскостью — определяется углом между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Дано:
α(h ∩ f);
AB — прямая общего положения
Требуется:
φ — ?

Метрическая задача с треугольником

Решение:
1. l Метрическая задача с треугольником α(h ∩ f);
lМетрическая задача с треугольником» Метрическая задача с треугольникомf»;
lМетрическая задача с треугольником Метрическая задача с треугольникомh’;
2. ∠φ — вращением вокруг фронтали, проведённой в построенной плоскости β(AB∩l)

3. Угол φ между плоскостями α и β — определяется линейным углом, образованным двумя прямыми, по которым некоторая плоскость γ, перпендикулярная плоскостям (или их ребру), пересекает эти плоскости (углом между плоскостями считают острый угол).

а. Если на чертеже нет ребра (линии пересечения заданных плоскостей) — угол φ определяется способом вращения вокруг линии уровня (рис. а)

Метрическая задача с треугольником

Дано:
(m // h); (а
b).
Требуется:
φ — ?
Решение:
1. провести в заданной плоскости фронтали и горизонтали;

2. из произвольной точки пространства D (D’, D») провести перпендикуляры l1 и l2 к заданными плоскостям, которые определяют плоскость γ(l1 l2);
3.
φ — вращением вокруг горизонтали h3, проведённой в построенной плоскости γ(l1 l2).

Метрическая задача с треугольником

б. Если на чертеже есть ребро (линия пересечения заданных плоскостей) — угол φ определяется способом замены плоскостей проекций (задачи 1 и 2, рис. б)

Метрическая задача с треугольником

ребро АВ двугранного угла преобразовать двумя заменами в проецирующую прямую.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Компас
  4. Автокад
  5. Черчение
  6. Проекционное черчение
  7. Аксонометрическое черчение
  8. Строительное черчение
  9. Техническое черчение
  10. Геометрическое черчение
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Тени в ортогональных проекциях
  • Кривые поверхности
  • Пересечения криволинейных поверхностей
  • Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью
  • Пересечение поверхности плоскостью и прямой
  • Развертки поверхностей
  • Способы преобразования проекций
  • Взаимное положение прямой и плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1 часть. 9 класс.Скачать

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1 часть. 9 класс.

Метрическая задача с треугольником

  • Метрическая задача с треугольником

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Метрическая задача с треугольником

§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).

Метрическая задача с треугольником

Используем обычные обозначения:

`c` — гипотенуза `AB`;

`a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески «kathetos — катет» означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);

`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;

`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

`R` – радиус описанной окружности;

`r` – радиус вписанной окружности.

Напомним, что если `alpha` — величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то

`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.

Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

`c^2 = a^2 + b^2`

Доказательство теоремы повторите по учебнику.

Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ — alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.

Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c` . Аналогично доказывается второе равенство.

Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.

Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.

Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.

Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MKVert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`

Метрическая задача с треугольником.

Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MKVert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.

Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.

Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`

Пусть `O` — центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` — точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` — квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC — FC`, `AN = AC — CN`, т. е. `BF = a — r` и `AN = b — r`.

Метрическая задача с треугольником

Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` — общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b — r`.

Аналогично доказывается, что `BS = a — r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b — r) + (a — r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.

Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:

🎬 Видео

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.

9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольника

Задачи с треугольникамиСкачать

Задачи с треугольниками

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Задача №1 Определение натуральной величины отрезка прямой (АВ) методом прямоугольного треугольникаСкачать

Задача №1 Определение натуральной величины отрезка прямой (АВ) методом прямоугольного треугольника

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Лекция 6. Метрические задачиСкачать

Лекция 6. Метрические задачи

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: