Медиана в треугольнике по векторам

Найти медиану треугольника по координатам вершин

Как найти медиану если даны координаты вершин треугольника?

Чтобы найти медиану треугольника по координатам его вершин, применим формулы координат середины отрезка и формулу расстояния между точками.

Рассмотрим нахождение медианы на конкретном примере.

Медиана в треугольнике по векторамДано: ΔABC,

1) Так как AF — медиана треугольника ABC, то F — середина BC.

Видео:Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?Скачать

Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?

Вектор и треугольник и медиана

Видео:Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольникаСкачать

Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольника

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Медиана в треугольнике по векторам

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Медиана в треугольнике по векторам

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Медиана в треугольнике по векторам

Медиана в треугольнике по векторам

Поскольку отрезок BD является медианой, то

Медиана в треугольнике по векторам

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Медиана в треугольнике по векторам

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Медиана в треугольнике по векторам

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Медиана в треугольнике по векторам

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Медиана в треугольнике по векторам

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Медиана в треугольнике по векторам

Медиана в треугольнике по векторам

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Медиана в треугольнике по векторам

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Медиана в треугольнике по векторам

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна Медиана в треугольнике по векторамплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Свойство вектора медианы треугольника

Видео:№769. Отрезок ВВ1 — медиана треугольника ABC. Выразите векторы B1C,Скачать

№769. Отрезок ВВ1 — медиана треугольника ABC. Выразите векторы B1C,

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Медиана в треугольнике по векторам

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Медиана в треугольнике по векторам

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Медиана в треугольнике по векторам

Медиана в треугольнике по векторам

Поскольку отрезок BD является медианой, то

Медиана в треугольнике по векторам

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Медиана в треугольнике по векторам

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Медиана в треугольнике по векторам

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Медиана в треугольнике по векторам

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Медиана в треугольнике по векторам

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Медиана в треугольнике по векторам

Медиана в треугольнике по векторам

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Медиана в треугольнике по векторам

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Медиана в треугольнике по векторам

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна Медиана в треугольнике по векторамплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:№786. Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1Скачать

№786. Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1

Медиана угла

Определение медианы


Медиана треугольника
— это отрезок, который соединяет вершину треугольника с
серединой противоположной стороны. Медиана делит противолежащую сторону пополам.
Основание медианы
— это точка пересечения медианы со стороной треугольника.

На рисунке 1 изображены три медианы, делящие каждая свою противолежащую
сторону пополам. Медианы BF, AH, CE соответственно делят пополам свои
противолежащие стороны AC, CB, AB.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Медиана в треугольнике по векторам

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Медиана в треугольнике по векторам

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Медиана в треугольнике по векторам

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Медиана в треугольнике по векторам

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Медиана в треугольнике по векторам

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Медиана в треугольнике по векторам

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Медиана в треугольнике по векторам

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Видео:СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольника

Применение векторов к решению задач

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Медиана в треугольнике по векторам

На данном уроке мы рассмотрим применение векторов для решения различных геометрических задач, вспомним и докажем некоторые геометрические факты.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

📽️ Видео

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

№787. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO черезСкачать

№787. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO через

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)
Поделиться или сохранить к себе: