Медиана треугольника примеры решения задач

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:Задача про медиану треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

• AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
• AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Видео:Задача про медиану треугольника и периметры. Геометрия 7 класс.Скачать

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S_△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Медиана треугольника. Оптимальные методы решения задач (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6

Государственное учреждение образования «Средняя школа № 12 г. Пинска»

УЧЕБНО — МЕТОДИЧЕСКОЕ МИНИ-ПОСОБИЕ

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 7-11КЛАССОВ

Оптимальные методы решения задач»

ГЛАВА 1. Основные теоретические сведения и советы по решению геометрических задач…………………………………………………………. с. 3.

1.1.Что такое медиана треугольника. Её основные свойства, формулы, теоремы. ……………………………………………………………………….. с. 4

1.2 Обзор общих методов и приемов решения геометрических задач. ….. с.7

ГЛАВА 2. Различные методы и приемы, их применение к решению задач по теме «Медиана треугольника». ……………………………………………… с. 7

2.1. Метод опорных задач. ………………………………………………….. с. 8

2.2. Поэтапно-вычислительный метод (применение формулы длины медианы и теоремы косинусов). ………………………………………………………..с. 12

2.3. Алгебраический метод. ………………………………………………….с. 14

2.4. Геометрический метод. ………………………………………………. с. 16

2.5. Метод площадей и метод подобия. ……………………………………..с. 17

2.6. Метод вспомогательного элемента или параметра. ………………….. с. 21

2.7. Комбинированный метод………………………………………………….с. 23

ГЛАВА 3. Олимпиадные задачи и задачи централизованного тестирования по теме «Медиана треугольника». Выбор оптимального метода решений. . с.23

ГЛАВА 4. Задачи для самостоятельной подготовки к экзаменам. ………с. 25

это не ботаники в очках, листающие

пыльные книги, а современные люди!

В современном мире все возрастает потребность в людях с широким кругозором и прочными знаниями, хорошо владеющих техническими науками, а это значит, что требования к знанию математики тоже становятся выше.

Как научиться решать задачи легко и быстро? Как сдать экзамены и ЦТ без проблем?

Во-первых, необходимо твердое знание теоретической базы. И в этом пособии вы найдёте подробное изложение теоретических сведений по теме «Медиана треугольника». Но даже отличного знания теории недостаточно для того, чтобы быстро находить оптимальный метод решения. Да и на страницах школьных учебников не содержится информации о том, какие существуют методы решения геометрических задач. А их в геометрии немало: поэтапно-вычислительный, алгебраический, тригонометрический, геометрический, метод вспомогательного аргумента, метод площадей, метод подобия, комбинированный метод и др.

Суть этого пособия состоит в том, чтобы кратко раскрыть суть каждого из них, к каждому методу привести задачи с решениями, начиная от самых простых, проанализировать рациональность применения каждого из способов к решению. Этот сборник содержит 28 решенных задач, часть этих задач решена несколькими методами, ещё 20 задач предлагается для самостоятельного решения. К ним приведены ответы.

Надеюсь, что предлагаемая вашему вниманию брошюра поможет читателю погрузиться в увлекательный мир геометрии и успешно овладеть методами решения задач по теме «Медиана треугольника».

Глава 1. Основные теоретические сведения и советы по решению геометрических задач.

Умение решать задачи всегда основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов и в овладении приёмами и методами решения. Из своего опыта и советов учителя знаю и советую вам, для успешного решения задачи необходимо выполнить следующие условия.

1. Четко знать теоретический материал.

2 . Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание. Не спешите начинать решать задачу. Сначала необходимо

а) ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание;

б) вникнуть в ее содержание. При этом нужно выделить в задаче данные и искомые.

3. После прочтения сделать рисунок.

Нужно научиться делать большие и красивые чертежи, а иногда не чертежи, а рисунки. Чертежи — рисунки, если они выполнены грамотно, могут сильно облегчить поиск решения, работу над ним.

Рисунок может подсказать какое-либо геометрическое соотношение между отрезками или углами. Если идет речь, например, о произвольном треугольнике, то треугольник не должен быть прямоугольным или равнобедренным, а тем более правильным.

4. Необходимо знание методов решения геометрических задач.

Учитывая рекомендации, первым делом изучим теоретический материал по теме «Медиана треугольника».

1.1. Что такое медиана треугольника. Её основные свойства, формулы, теоремы

Треугольник неисчерпаем – его свойства изучали ещё в древнем Египте, но и в наше время открываются всё новые. Чтобы рассказать обо всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом энциклопедии.

Остановимся подробнее на медиане треугольника и ее свойствах. Сначала вспомним, что

медиана треугольника (лат. mediāna — средняя) – это отрезок соединяющий вершины треугольника с серединой противоположной стороны.

Рис.1. Отрезок ВМ – медиана треугольника АВС.

Треугольник имеет три стороны, а значит и медиан у него – три.

Рис. 2 ВМ, АК, СР – медианы треугольника АВС.

1 .Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (центром масс) и делятся в этой точке в отношении 2:1.

Рис 3. BN:NM=AN:NK=CN:NP=1:2, точка N– центроид

2.Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (с равными площадями).

Рис.4SABM=SCBM

3. Все медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Рис. 5 SAPN=SBPN =SBKN=SCKN SCMN=SAMN

4.Если точку пересечения медиан треугольника соединить отрезками с вершинами треугольника, то треугольник разделится на три равновеликих.

Рис.6 SABN=SBCN =SACN

5.Если a, b, c – длины сторон треугольника АВС, то длины его медиан ma, mb, mc можно вычислить по формулам:

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна половине гипотенузы и является радиусом окружности, описанной около этого треугольника.

Рис. 7. ОА=ОВ=ОС=R

7.Медиана треугольника есть геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков прямых, заключенных внутри треугольника, параллельных той стороне, к которой проведена медиана.

Рис. 8

8. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой и биссектрисой.

Рис.9 ВD — медиана, высота, биссектриса

9*.Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром (точка пересечения высот), все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).

Рис.10

1. 2. Основные методы решения задач по геометрии.

Материалы школьных учебников по геометрии не акцентируют внимания на методах решения задач. Наверное потому, что в отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу. Практически каждая задача требует «индивидуального» подхода. Но все-таки, можно выделить некоторые основные приемы и методы, знание которых подкрепленные интуицией, помогут найти решение задачи наиболее рациональным способом.

В следующей главе рассмотрим некоторые методы и их применение на практике к решению задач по теме «Медиана треугольника.

Глава2. Примеры применения различных методов и

приемов решения задач

2.1.Метод опорных задач

Под методом опорных задач понимают такие задачи, когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем и задач. Такие задачи надо не только уметь решать, но и знать, и уметь применять содержащиеся в них факты к решению других задач. К таким задачам относятся и теоремы, из первой главы. Приведем их доказательство.

Задача №1. Доказать, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведём в нём медиану BM. Треугольник разбился медианой на два треугольникаABM и CBM, имеющих равные основания AM и CM. Так как у этих треугольников общая высота BN, то SABM =½AM× BN = ½CM×BN = SCBM.

Что и требовалось доказать.

Задача№ 2. Точку пересечения медиан треугольника соединили с его вершинами. Доказать, что площади образовавшихся треугольников равны.

Видео:ЗАДАЧА НА МЕДИАНУ ТРЕУГОЛЬНИКА. Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

Что такое медиана треугольника

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Определение медианы треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

В каждом треугольнике существует три различные медианы (на рисунке отрезки $A F, B D, C E$ ), которые пересекаются в одной точке, лежащей внутри треугольника. Точка пересечения является центром масс данного треугольника.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Свойства медиан треугольника

1. Медианы треугольника точкой их пересечения (на рисунке точка $O$ ) делятся в отношении $2 : 1$, считая от вершин треугольника.
2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника равновелики, если их площади равны).
3. Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников (на рисунке это треугольники $Delta A O E, Delta B O E, Delta B O F, Delta C O F, Delta C O D, Delta A O D$).

Медиана треугольника $m_a$ , проведенная к стороне $a$, выражается через стороны треугольника по формуле

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

Примеры решения задач

Задание. В треугольнике $Delta A B C$ медианы $A F$ и $B D$ пересекаются в точке $O$, $A F=6$ см. Найти длину отрезка $OF.

Решение. По свойству медиан треугольника точка их пересечения делит медиану в соотношении $2 : 1$, считая от вершин треугольника.

Таким образом, $A O : O F=2 : 1$. Положим $O F=x$ см, тогда $A O=2 x$ см. Так как $A F=A O+O F$, приходим к уравнению

💡 Видео

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольникаСкачать

Геометрия 7. Треугольники. Медиана и биссектриса треугольника. Определение и свойства. Решение задачСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Решение задач "Медиана, биссектриса, высота"Скачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Все свойства медианы в одной задаче.Скачать

Задача, которую боятсяСкачать

биссектриса, высота и медиана треугольника.Скачать

Задача про медиану - пример решения задачи из ОГЭСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Длина медианы треугольникаСкачать

Задача о медиане к гипотенузе треугольникаСкачать