В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.
Определение медианы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.
Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).
Свойства медианы
Свойство 1 (основное)
Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:
Свойство 2
Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.
Свойство 3
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Свойство 4
Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.
- AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
- AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.
Свойство 5
Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).
Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:
Примеры задач
Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.
Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .
Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:
Медиана треугольника
Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).
Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
На рисунке 1 медианой является отрезок BD .
Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).
Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),
и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).
Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).
Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).
Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,
Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,
Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).
Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна 
площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
Свойство медиан треугольника
Свойство медиан треугольника может быть доказано многими способами. Доказательство, опирающееся на свойства параллелограмма и средней линии треугольника, может быть проведено сразу же после изучения соответствующих тем, что позволяет начать использовать свойство медиан треугольника уже с начала 8 класса.
(Свойство медиан треугольника)
Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Дано : ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы
1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO
(то есть AM=OM, BN=ON).
2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.
3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.
Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и
Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).
По свойству диагоналей параллелограмма
из чего следует, что
5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного.
Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O.
Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.
Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины:
Что и требовалось доказать .
7 Comments
Промогите пожалуйста:
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла до гипотенузы провели медиану длинной 50см и перпендикуляр 48см. Вычислить периметр.
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Следовательно, гипотенуза 100 см. Пусть катеты равны x см и y см. По теореме Пифагора x²+y²=100². Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне S=0,5∙100∙48 см², либо половине произведения катетов S=0,5∙x∙y. Отсюда xy=4800.
Решаем систему уравнений: x²+y²=100²; xy=4800. Решения (60;80) (80;60). То есть катеты 60 см и 80 см. Периметр P=60+80+100=240 см.
(Не обязательно доводить решение системы до конца. Достаточно найти x+y. Для этого к 1-му уравнению прибавим удвоенное 2-е, получим
x²+2xy+y²=19600; x+y=140).
Прошу помощи в решении задачи: на стороне ромба построен равносторонний треугольник. Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей ромба с серединой стороны треугольника, составляет с ней угол 70 градусов. Найти острый угол ромба.
Во-первых, большое спасибо за решение, даже не ожидала ответа, но, по счастью, ошиблась! Но я к этому времени уже решила так:провела ВМ, которая в равностороннем треугольнике является также высотой.
Рассмотрим четырехугольник ОВМС: угол ВОС =углу ВМС=90 градусов (диагонали ромба взаимно перпендикулярны),отсюда, ВМ параллельна ОС, тогда угол МОС=20 градусам. Рассм. треугольник ОМС: угол МСО= 180-20-70=90 градусов, и одновременно= 60+x, т.о., угол х=30 градусам, и искомый острый угол ромба=60 градусам. Мы получили разные ответы, в чем может быть дело (окружности мы еще не проходили).
Наталия углы BOC и BMC не накрест лежащие и не внутренние односторонние, поэтому BM не параллельна OC. Но вариант решения без окружности возможен, добавила второй способ.