В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медиан, проведенных к основанию и боковым сторонам равнобедренного треугольника, а также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
- Определение медианы
- Свойства медианы в равнобедренном треугольнике
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Пример задачи
- Урок математики по теме «Свойство медианы равнобедренного треугольника». 7-й класс
- Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
- Определение равнобедренного треугольника
- Признаки равнобедренного треугольника
- Свойства равнобедренного треугольника
- Примеры решения задач
- 🎦 Видео
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Определение медианы
Медианой называется отрезок в треугольнике, который соединяет вершину и середину противоположной стороны.
Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны (боковые), а третья сторона – это основание фигуры.
- AB = BC – боковые стороны;
- AC – основание.
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Свойства медианы в равнобедренном треугольнике
Свойство 1
Медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, одновременно является высотой, опущенной на основание, и биссектрисой угла, из которого она проведена.
- BD – медиана и высота, опущенная на основание AC, а также биссектриса угла ABC.
- ∠ABD = ∠CBD
Свойство 2
В равнобедренном треугольнике медианы пресекаются в одной точке (центр тяжести) и делятся в этой точке в отношении 2:1.
Свойство 3
Медиана делит равнобедренный треугольник на 2 равных по площади (равновеликих) треугольника. Следовательно, S1 = S2.
Свойство 4
Если провести три медианы в равнобедренном треугольнике, образуются 6 равновеликих треугольников (S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6).
Свойство 5
Длину медианы в равнобедренном треугольнике, проведенную к основанию, можно найти по следующей формуле:
Свойство 6
Данной свойство, в отличие от перечисленных выше, не относится к медиане, опущенной на основание фигуры. Оно гласит:
Медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.
AF = CE, следовательно, AE = EB = BF = FC.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Пример задачи
Основание равнобедренного треугольника равняется 7 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину медианы, проведенной к основанию фигуры.
Решение
Воспользуемся формулой, представленной в Свойстве 5, подставив в нее известные нам по условиям задачи значения:
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
Урок математики по теме «Свойство медианы равнобедренного треугольника». 7-й класс
Разделы: Математика
Класс: 7
Тип урока: урок изучения нового материала и первичное его закрепление
Цели:
- Образовательные:
- повторить основные понятия по теме «Равнобедренный треугольник»;
- сформулировать и доказать свойство медианы равнобедренного треугольника;
- показать на примере применение данной теоремы;
- Развивающие:
- развивать математическую речь и навыки устного и письменного счёта;
- развивать умения обобщать, анализировать, делать выводы.
- Воспитательные:
- воспитывать аккуратность при оформлении записи, как в тетради, так и на доске;
- способствовать воспитанию творческой активности, инициативности;
- формировать умение оценивать свой ответ и ответ товарища.
Оборудование: проектор, компьютер, чертёжные инструменты, тетради, карточки.
План урока:
- Организационный момент (1 мин.)
- Актуализация знаний (5 мин.)
- Постановка учебной задачи. Изучение нового материала (16 мин.)
- Первичное закрепление нового материала (17 мин.)
- Итог урока. Рефлексия (4 мин.)
- Задание на дом (2 мин.)
1. Организационный момент
Цель: мотивация
Учитель: Ребята, я очень рада очередной встречи с вами на нашем уроке геометрии. Это обычный и не совсем обычный урок. Поэтому девизом нашего урока будут служить слова Алексея Ивановича Маркушевича,редактора «Энциклопедии элементарной математики»:
«Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели». (Презентация. Слайд 2)
Сегодня у всех вас ребята есть возможность этим заняться. Поэтому я прошу вас быть очень внимательными. Мы начинаем урок и продолжаем изучать свойства равнобедренного треугольника, но для начала повторим всё, что мы знаем об этом необычном треугольнике. (Слайд 3)
2. Актуализация знаний
Цель: повторить основные понятия, связанные с данной темой и позволяющие легкому усвоению свойства медианы равнобедренного треугольника.
Учитель: Ребята, внимание на экран. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
Задание №1 (устно):
а) Какие из треугольников являются равнобедренными? Почему? (Слайд 4)
б) В равнобедренных треугольниках назовите основание и боковые стороны.
в) Назовите равные углы. Почему?
Задание №2 (устно): (Слайд 5)
а) Назовите треугольник, на котором изображена биссектриса. Почему?
б) Назовите треугольник, на котором изображена медиана. Почему?
в) Назовите треугольник, на котором изображена высота. Почему?
Учитель: Открываем тетради, записываем число. «Классная работа».
К доске приглашается один ученик а остальные в тетрадях выполняем следующее задание:
Задание №3 (в тетрадях): Начертите равнобедренный треугольник АВС, с основанием АВ.
Проведите в данном треугольнике медиану из вершины С к основанию АВ.
На этом же чертеже проводим высоту из вершины С к основанию АВ. И биссектрису угла С.
(В процессе построения учитель ведёт диалог с учеником у доски и всем классом, объясняя каждый шаг построения).
Учитель: Ребята, что вы увидели? Какой вывод можно сделать, исходя из построения?
(Ребята предлагают ответы. В ходе обсуждения выясняется, что не все получили совпадение медианы, биссектрисы и высоты.)
Как говорил Дьёрдь Пойавенгерский,швейцарскийи американский математик. (Слайд 6)
Лучший способ изучить что-либо – это открыть самому.
Мы это с вами сейчас сделали. Но геометрия – эта наука, в которой нельзя делать вывод, исходя из решения одной задачи. Всё, кроме аксиом, необходимо доказать. Поэтому переходим к изучению нового материала.
3. Постановка учебной задачи. Изучение нового материала
Цель: сформулировать и доказать свойство медианы равнобедренного треугольника.
Учитель: Ребята, запишите в тетрадях тему нашего урока «Свойство медианы равнобедренного треугольника».Ребята, скажите, пожалуйста, изучив сегодняшнюю тему, на какой вопрос в конце урока вы сможете ответить?
(Ребята предлагают ответы, а учитель подводит итог и называет цель урока.)
Да, действительно цель нашего урока сформулировать и доказать свойство медианы равнобедренного треугольника, и на примерах показать его применение.
Учитель: Запишите на полях номер теоремы 3.5. (Под диктовку учащиеся записывают формулировку.)
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.(Все делают чертёж равнобедренного треугольника. Работа по формулировке. Ребята формулируют теорему, используя «ЕСЛИ» и «ТО» и соответственно делая вывод, что в теореме является условием, а что заключением. Затем записывают «дано» и «доказать».) (Слайд 7)
Δ АВС – равнобедренный,
АВ – основание,
СD – медиана
СD – биссектриса,
СD – высота
Доказательство теоремы сегодня необычное. Ваша задача внимательно слушать, внимательно следить по чертежу.
Учитель: (доказательство в стихах)
В моей любимой теореме
Смысл совсем, совсем простой.
Медиана в равнобедренном треугольнике –
Является биссектрисой и высотой.
Рассмотрим – необычный.
На вид он очень симпатичный.
АВ основанием является
Треугольник равнобедренным называется.
Нам СD – медиана дана.
Интересным свойством обладает она.
Смотри на чертёж, и увидишь ты сам
Как медиана делит основание пополам.
Нам доказать с вами очень надо,
Что медиана является биссектрисой и высотой.
За это доказательство ждёт нас награда.
Пятёрка в дневник, приз очень простой.
Итак, приступаем к доказательству.
Прошу внимательно следить
Хотя здесь букв всего четыре
Ни одну нельзя нам упустить.
и СВD равны
В этом нет сомнения.
Первый признак применить
Надо непременно.
АС = СВ по условию ясно
АD = ВD, ведь D середина, не спорьте напрасно.
А = В, как углы при основании
(Ничего не выпало у нас из внимания)
Посмотрим внимательно мы на чертёж
Вывод практически готов.
Равенство треугольников за собой влечёт
Равенство углов, честь им и почёт.
Так как АСD = ВСD, то СD – биссектриса,
Часто ребята зовут её «крысой».
Углы АDС и ВDС равны вот и прекрасно
Ещё они смежные – по чертежу это ясно.
Углы то прямые и замечательно.
Теперь теорему запомним обязательно.
Не доказательство, а красота.
Смотрите СD к тому же высота.
Вывод: Наше сегодняшнее открытие, что медиана, биссектриса и высота совпадают, получило подтверждение данной теоремой. И тут возникает вопрос, ответ на который уже давно дала наша замечательная наука геометрия. Ребята, вы знаете, что в треугольнике три стороны и три угла. Соответственно можно провести три медианы, биссектрисы и высоты. Как вы думаете, утверждение «медиана, проведённая к боковой стороне, является биссектрисой и высотой» будет верно или нет!
Выслушав ответы учащихся, учитель делает вывод.
4. Первичное закрепление нового материала
Цель: Показать на примерах применение теоремы при решении задач.
Учитель: Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов) (слайд 8)
Все внимание на экран. Решаем задачу устно. (Работает весь класс)
Задача № 3
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 12см и 30.07.2014
Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:Геометрия 7 класс. Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. |
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
- Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!
Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Видео:Признаки равнобедренного треугольника - геометрия 7 классСкачать
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Значит, ∠A = ∠C = 80°.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
🎦 Видео
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№32 - Повторение. Равнобедренный треугольник и его свойства.)Скачать
Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать
Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.Скачать
Задача про медиану треугольника и периметры. Геометрия 7 класс.Скачать
№158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой сторонеСкачать
Задача про медиану треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать
Свойства равнобедренного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать