Медиана перпендикулярна стороне треугольника

Медиана перпендикулярна стороне треугольника

Ключевые слова: основные линии треугольника, медиана, биссектриса, высота, средния линия, серединные перпендикуляры

Рассмотрим произвольный треугольник ABC:

a, b, c — стороны треугольника

$$m_a$$ — медиана к стороне a угла A

$$h_a$$ — высота к стороне a угла A

$$l_a$$ — биссектриса к стороне a угла A

Медиана перпендикулярна стороне треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

  • Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

  • Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
  • Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

  • В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
  • Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
  • Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

  • Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
  • Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

  • Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Видео:Биссектриса перпендикулярна медианеСкачать

Биссектриса перпендикулярна медиане

Please wait.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d36423a5d3f4989 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:№126. Прямая MB перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника ABC. Определите вид треугольникаСкачать

№126. Прямая MB перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника ABC. Определите вид треугольника

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Медиана перпендикулярна стороне треугольника

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Медиана перпендикулярна стороне треугольника

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Медиана перпендикулярна стороне треугольника

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Медиана перпендикулярна стороне треугольника

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Медиана перпендикулярна стороне треугольника

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Медиана перпендикулярна стороне треугольника

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Медиана перпендикулярна стороне треугольника

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

📹 Видео

№148. Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC, М — середина стороны ВС.Скачать

№148. Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC, М — середина стороны ВС.

Формула нахождения медианы треугольника по известным сторонам треугольника.Скачать

Формула нахождения медианы треугольника по известным сторонам треугольника.

Формулы для медианы треугольникаСкачать

Формулы для медианы треугольника

ОГЭ, задание #26, вариант-8Скачать

ОГЭ, задание #26, вариант-8

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

2.19.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

2.19.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

ВЫСОТА МЕДИАНА БИССЕКТРИСА треугольника 7 класс геометрия АтанасянСкачать

ВЫСОТА МЕДИАНА БИССЕКТРИСА треугольника 7 класс геометрия Атанасян

9 класс. Геометрия.Скачать

9 класс. Геометрия.

Высота медиана биссектрисаСкачать

Высота медиана биссектриса

Геометрия 7. Треугольники. Медиана и биссектриса треугольника. Определение и свойства. Решение задачСкачать

Геометрия 7. Треугольники. Медиана и биссектриса треугольника. Определение и свойства. Решение задач

Геометрия В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длинуСкачать

Геометрия В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину

В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = 1/3 AB. РЕШЕНИЕ!Скачать

В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK =  1/3 AB. РЕШЕНИЕ!
Поделиться или сохранить к себе: