Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Какие из следующих утверждений верны?

1) Через любые три точки проходит не более одной окружности.

2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.

4) Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Через любые три точки проходит не более одной окружности.» — верно, Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Если точки лежат на одной прямой, то окружность провести невозможно. Тем самым, через любые три точки можно провести не более одной окружности.

2) «Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.» — верно, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса, то окружности имеют две общие точки, если окружности касаются то окружности имеют одну общую точку, если расстояние больше радиуса, то окружности не имеют общих точек.

3) «Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются» — неверно, окружность, радиус которой равен 3, лежит внутри окружности с радиусом 5.

4) «Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Центральные и вписанные углы

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

О чем эта статья:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Углы, связанные с окружностью

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нетВписанные и центральные углы
Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нетУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нетДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет
Вписанный уголЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нетВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нетВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нетДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нетВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нетЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нетЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нетЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет
Угол, образованный касательной и секущейЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нетЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет
Угол, образованный двумя касательными к окружностиЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нетЛюбые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет
Формула: Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет
Формула: Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

В этом случае справедливы равенства

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

В этом случае справедливы равенства

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Любые вписанные углы в данной окружности равны верно или нет

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

📺 Видео

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

В угол вписана окружность, найдите вписанный угол этой окружностиСкачать

В угол вписана окружность, найдите вписанный угол этой окружности

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Геометрия. 8 класс. Урок 11 "Вписанные углы"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 11 "Вписанные углы"

Центральные и вписанные углы - геометрия 8 классСкачать

Центральные и вписанные углы - геометрия 8 класс

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 класс

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать

Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭ

16 задание ОГЭ математика 2023 | УмскулСкачать

16 задание ОГЭ математика 2023 | Умскул
Поделиться или сохранить к себе: