На этом занятии мы рассмотрим следующую тему – «Окружность, вписанная в правильный многоугольник». В первую очередь дадим определение правильному многоугольнику. После чего докажем теорему о том, что внутри любого правильного многоугольника можно вписать окружность, и притом только одну. Кроме того, рассмотрим следствия из этой теоремы.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»
Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать
Геометрия
План урока:
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Понятие правильного многоугольника
У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.
Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.
Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.
Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:
Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:
Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:
Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?
Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:
Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?
Решение. В формулу
Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?
Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:
Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.
Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать
Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника
Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.
Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А1, А2, А3…Аn. Далее проведем биссектрисы углов ∠А1 и ∠А2. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА3, ОА4 и т. д.
∠А1 и ∠А2 одинаковы по определению правильного многоуг-ка:
Из этого факта вытекает два равенства:
Получается, что ОА3 – это также биссектриса ∠А3. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):
Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:
Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А1, А2 и А3, можно провести только одну окружность, ч. т. д.
Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА1А2, ∆ОА2А3, ∆ОА3А4, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН1, ОН2, ОН3… на стороны многоуг-ка.
Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:
Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН1. Он должен будет пройти и через точки Н2, Н3, … Нn. Причем отрезки ОН1, ОН2, ОН3 окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:
Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А1, ∠А2, ∠А3, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А1А2 – это отрезок ОН1, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.
Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.
Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН1, ОН2, ОН3,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА1А2, ∆ОА2А3, ∆ОА3А4,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н1, Н2, Н3,… – это середины сторон многоуг-ка.
Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?
Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.
Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.
Видео:110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать
Формулы для правильного многоугольника
Правильный многоуг-к, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь (она обозначается буквой S) и периметр (обозначается как Р). Длина стороны многоуг-ка традиционно обозначается буквой an, где n– число сторон у многоуг-ка. Например a4– это сторона квадрата, a6– сторона шестиугольника. Наконец, мы выяснили, что для каждого правильного многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R, а вписанной – маленькой буквой r.
Оказывается, все эти величины взаимосвязаны друг с другом. Ранее мы уже получили формулу
для многоуг-ка, в который вписана окружность. Подходит она и для правильного многоуг-ка.
Для вывода остальных формул правильного многоугольника построим n-угольники соединим две его вершины с центром:
Теперь у нас есть формула, связывающая друг с другом Rи r. Наконец, прямо из определения периметра следует ещё одна формула:
С их помощью, зная только один из параметров правильного n-угольника, легко найти и все остальные параметры (если известно и число n).
Задание. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.
Решение. Запишем следующую формулу:
Это равенство как раз и надо было доказать в этом задании.
Задание. Около окружности описан квадрат. В свою очередь и около квадрата описана окружность радиусом 4. Найдите длину стороны квадрата и радиус вписанной окружности.
Решение. Запишем формулу:
Задание. Вычислите площадь правильного многоугольника с шестью углами, длина стороны которого составляет единицу.
Найдем периметр шестиугольника:
Задание. Около правильного треугольника описана окружность. В ту же окружность вписан и квадрат. Какова длина стороны этого квадрата, если периметр треугольника составляет 18 см?
Решение. Зная периметр треуг-ка, легко найдем и его сторону:
Далее вычисляется радиус описанной около треугольника окружности:
Задание. Необходимо изготовить болт с шестигранной головкой, причем размер под ключ (так называется расстояние между двумя параллельными гранями головки болта) должен составлять 17 мм. Из прутка какого диаметра может быть изготовлен такой болт, если диаметр прутков измеряется целым числом?
Решение. Здесь надо найти диаметр окружности, описанной около шестиугольника. Ранее мы уже доказывали, что у шестиугольника длина этого радиуса совпадает с длиной его стороны:
Осталось найти сторону шестиугольника. Для этого соединим две его вершины (обозначим их А и С) так, как это показано на рисунке:
Отрезок АС как раз и будет расстоянием между двумя параллельными гранями, что легко доказать. Каждый угол шестиугольника будет составлять 120°:
В частности ∠АВС = 120°. Так как АВ = ВС, то ∆АВС – равнобедренный, и углы при его основании одинаковы:
Аналогично можно показать, что и ∠ACD – прямой. Таким образом, АС перпендикулярен сторонам AF и CD, а значит является расстоянием между ними, и по условию равно 17 мм:
∆АВС – равнобедренный. Опустим в нем высоту НВ, которая одновременно будет и медианой. Тогда АН окажется вдвое короче АС:
AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 мм
Теперь сторону АВ можно найти из ∆АВН, являющегося прямоугольным:
Здесь мы округлили ответ до ближайшего большего целого числа, так как по условию можно использовать лишь пруток с целым диаметром.
Видео:9 класс, 21 урок, Правильный многоугольникСкачать
Построение правильных многоугольников
При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:
Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.
Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:
На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а6. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а6. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):
Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.
Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.
Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.
Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:
Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.
Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.
В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах. Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности.
Видео:111. Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать
Окружность, вписанная в правильный многоугольник
Теорема
| В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. |
Доказательство
Доказать: в многоугольник А1А2А3. Аn можно вписать окружность, и притом только одну.
Доказательство:
А1ОА2 = А2ОА3 = . = А1ОАn по трем сторонам (ОА1 = ОА2 = . = ОАn, как радиусы описанной окружности и А1А2 = А2А3 = . = АnА1, как стороны правильного многоугольника), тогда и высоты этих треугольников, проведенные из вершины О, также будут равны: ОН1 = ОН2 = . = ОНn. Следовательно, окружность с центром О и радиусом ОН1 проходит через точки Н1, Н2, . , Нn и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник А1А2А3. Аn.
Докажем, что вписать можно только одну окружность.
Пусть существует окружность с центром О1, вписанная в многоугольник А1А2А3. Аn, отличная от окружности с центром О и радиусом ОН1. Тогда ее центр О1 равноудален от сторон многоугольника, т.е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника А1А2А3. Аn и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис (смотри теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника). Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника,т.е. равен ОН1. Значит, получаем, что вторая окружность совпадает с первой. Следовательно, наше предположение неверно, и в правильный многоугольник вписать можно только одну окружность. Теорема доказана.
Следствие 1
| Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. |
Следствие 2
| Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. |
Эта точка называется центром правильного многоугольника.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
🔥 Видео
Окружность, вписанная в правильный многоугольник | Геометрия 7-9 класс #106 | ИнфоурокСкачать
Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать
Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Видеоурок по геометрии 9 классСкачать
Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника.Скачать
9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать
Правильные многоугольники. Урок 11. Геометрия 9 классСкачать
Окружность, описанная около правильного многоугольника | Геометрия 7-9 класс #105 | ИнфоурокСкачать
ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК 9 класс геометрия АтанасянСкачать
Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Геометрия 9 класс (Урок№22 - Формулы площади правильного многоугольника,стороны и радиуса впис.окр.)Скачать
Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружностиСкачать
ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ в многоугольник 9 класс геометрияСкачать
Правильные многоугольники и окружность за 10 минут | МАТЕМАТИКА ОГЭ | СОТКАСкачать
