Квадрат угловой скорости на радиус окружности

Угловая скорость

Проведем координатную ось X через центр окружности (начало координат), вдоль которой движется точка (рис. 1.86). Тогда положение точки А на окружности в любой момент времени однозначно определяется углом φ между осью X и радиусом-вектором , проведенным из центра окружности к движущейся точке. Углы будем выражать в радианах(1).

При движении точки угол φ изменяется. Обозначим изменение угла за время Δt через Δφ. Для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать угол φ₀ в начальный момент времени t₀ и определить, на сколько изменился угол за время движения (рис. 1.87):

Пусть точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Тогда за любые равные промежутки времени радиус-вектор поворачивается на одинаковые углы. Быстрота обращения точки определяется углом поворота радиуса-вектора за данный интервал времени. Например, если радиус-вектор точки за каждую секунду поворачивается на угол 90° = , а другой точки — на угол 45 = , то мы говорим, что первая точка обращается быстрее второй в два раза.

Если при равномерном обращении за время Δt радиус-вектор повернулся на угол Δφ, то быстрота обращения определится углом поворота в единицу времени. Быстроту обращения характеризуют угловой скоростью.

Угловой скоростью при равномерном движении точки по окружности называется отношение угла Δφ поворота радиуса-вектора к промежутку времени Δt, за который этот поворот произошел.

Обозначим угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению(2)

В СИ(3) угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Радиан в секунду равен угловой скорости равномерно обращающейся точки, при которой за время 1 с радиус-вектор этой точки поворачивается на угол 1 рад.

Например, угловая скорость точки земной поверхности равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска более 100 рад/с.

Угловую скорость можно выразить через частоту обращения, т. е. число оборотов за 1с. Если точка делает п оборотов в секунду, то время одного оборота равно .

Это время называют периодом обращенияи обозначают буквой Т. Таким образом, частота и период обращения связаны следующим соотношением:

T = . (1.28.3)

Полному обороту точки на окружности соответствует угол Δφ = 2π. Поэтому, согласно формуле (1.28.2),

Частота обращения точек рабочих колес мощных гидротурбин составляет 1—10 с -1 , винта вертолета — 4—6 с -1 , ротора газовой турбины — 200—300 с -1 .

Если при равномерном обращении точки угловая скорость известна, то можно найти изменение угла поворота Δφ за время Δt. Оно равно Δφ = ωΔt. С учетом этого формула (1.28.1) примет вид: φ = φ0 + ωΔt. Приняв начальный момент времени t0 равным нулю, получим, что Δt = t — t0 = t. Тогда угол поворота равен

По этой формуле можно найти положение точки на окружности в любой момент времени.

Угловое ускорение

В случае переменной угловой скорости вводится новая физическая величина, характеризующая быстроту ее изменения, — угловое ускорение:

Угловое ускорение равно производной угловой скорости по времени. Если β = const, то ω(t) = ω₀ + β(t — t₀), где ω0 — угловая скорость в начальный момент времени t₀. При t₀ = 0

Эта формула подобна формуле проекции скорости v_x = v_0x + a_xt при прямолинейном движении точки. Соответственно угол поворота

Эту формулу можно получить точно таким же способом, как и уравнение координаты при прямолинейном движении х =

Связь между линейной и угловой скоростями

Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. Между линейной скоростью точки, обращающейся по окружности, и ее угловой скоростью существует связь. При равномерном движении точки по любой траектории модуль скорости равен отношению пути s ко времени Δt, за которое этот путь пройден. Точка А, движущаяся по окружноcти радиусом R, за время Δt проходит путь, равный длине дуги (рис. 1.88): s = = ΔφR. Модуль линейной скорости движения

Итак, модуль линейной скорости точки, движущейся по окружности, равен произведению угловой скорости на радиус окружности:

Эта формула справедлива как для равномерного, так и для неравномерного движения точки по окружности.

Из выражения (1.28.9) видно, что чем больше радиус окружности, тем больше линейная скорость точки. Для точек земного экватора v = 463 м/с, а на широте Санкт-Петербурга — 233 м/с. На полюсах Земли v = 0.

Модуль ускорения точки, движущейся равномерно по окружности (центростремительное, или нормальное, ускорение) можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности. Так как а = = и v = ωR, то

Чем больше радиус окружности, тем большее по модулю ускорение имеет точка при заданной угловой скорости. Ускорение любой точки поверхности Земли на экваторе составляет 3,4 см/с 2 .

Связь линейного ускорения с угловым

С изменением угловой скорости точки меняется и ее линейная скорость. Нормальное ускорение связано согласно формуле (1.28.10) с угловой скоростью и не зависит, следовательно, от углового ускорения. Но тангенциальное ускорение, определяемое формулой (1.27.4), выражается через угловое ускорение:

Мы научились полностью описывать движение точки по окружности. При фиксированном радиусе окружности модуль скорости (линейная скорость) пропорционален угловой скорости, а нормальное ускорение пропорционально ее квадрату. Тангенциальное ускорение пропорционально угловому ускорению.

Упражнение 5

1. Поезд движется по закруглению радиусом 200 м со скоростью 36 км/ч. Найдите модуль нормального ускорения.
2. Тело брошено с поверхности Земли под углом 60° к горизонту. Модуль начальной скорости равен 20 м/с. Чему равен радиус кривизны траектории в точке максимального подъема?
3. Определите радиус кривизны траектории снаряда в момент вылета из орудия, если модуль скорости снаряда равен 1 км/с, а скорость составляет угол 60° с горизонтом.
4. Снаряд вылетает из орудия под углом 45° к горизонту. Чему равна дальность полета снаряда, если радиус кривизны траектории в точке максимального подъема равен 15 км?
5. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности Земли, может перелететь через резервуар, коснувшись его вершины? Под каким углом к горизонту должен быть при этом брошен камень?
6. Въезд на один из самых высоких в Японии мостов имеет форму винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом r. Полотно дороги составляет угол α с горизонтальной плоскостью. Найдите модуль ускорения автомобиля, движущегося по въезду с постоянной по модулю скоростью v.
7. Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности радиусом 1 м и за 10 с проходит путь 50 м. Чему равно нормальное ускорение точки через 5 с после начала движения?

1. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит путь 600 м за 30 с. Радиус закругления равен 1 км. Определите модуль скорости и полное ускорение поезда в конце этого пути, считая тангенциальное ускорение постоянным по модулю.
2. Груз Р начинает опускаться с постоянным ускорением а = 2 м/с 2 и приводит в движение ступенчатый шкив радиусами г = 0,25 м и R = 0,50 м (рис. 1.89). Какое ускорение а₁, будет иметь точка М через t = 0,50 с после начала движения?

   

   Рис. 1.89

3. Маховик приобрел начальную угловую скорость ω = 2π рад/с. Сделав 10 оборотов, он вследствие трения в подшипниках остановился. Найдите угловое ускорение маховика, считая его постоянным.
4. Маховое колесо радиусом R = 1 м начинает движение из состояния покоя равноускоренно. Через t₁ = 10 с точка, лежащая на его ободе, приобретает скорость v₁ = 100 м/с. Найдите скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорения этой точки в момент времени t₂ = 15 с.
5. Шкив радиусом R = 20 см начинает вращаться с угловым ускорением β = 3 рад/с₂. Через какое время точка, лежащая на его ободе, будет иметь ускорение а = 75 см/с₂?
6. Точка начинает обращаться по окружности с постоянным ускорением β = 0,04 рад/с₂. Через какое время вектор ее ускорения будет составлять с вектором скорости угол а = 45°?

(1) Напомним, что радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 рад приблизительно равен 57°17’48». В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к ее радиусу: .

(2) Когда точка движется неравномерно, то мгновенная угловая скорость определяется как предел отношения Δφ к Δt при условии, что Δt —> 0:

(3) СИ — Международная система единиц. В этой системе за единицу длины принят 1 м, за единицу времени — 1с. Подробнее о СИ будет рассказано в дальнейшем.

Видео:Физика - движение по окружностиСкачать

Движение тела по окружности

Видео:угловая СКОРОСТЬ формула угловое УСКОРЕНИЕ 9 классСкачать

Что такое движение тела по окружности Искусственные спутники Земли

При равномерном движении точки по окружности или при вращении тела различают угловую и линейную скорости. Угловая скорость ω может быть выражена через количество оборотов N, совершенных телом в 1 сек (N об/сек), или через период обращения (время одного полного обо рота): Т = (1/N)сек.

Принимая во внимание, что одному обороту соответствует угол φ =2π рад, то

Линейной скоростью υ называется скорость, с которой точка двигается по окружности. Она равняется произведению угловой скорости ω на радиус R окружности

и направлена по касательной к окружности. Единицы измерения линейной скорости в системе СГС — см/сек или в системе СИ — м/сек.

Что такое центробежная сила

Для того чтобы материальная точка двигалась равномерно по окружности, ее скорость должна, оставаясь постоянной по величине, все время изменять направление. Это направление при любом положении точки должно быть по касательной к окружности. Для этого на точку должна действовать сила, направленная перпендикулярно к касательной, т. е. к центру окружности (рис. 2). Такая сила называется центростремительной F_ц она создает центростремительное ускорение а_ц точки.

Пусть (см. рис. 2) линейная скорость точки, двигающейся по окружности в некоторый момент времени (в точке А), изображается вектором AC=υ, а через достаточно малый промежуток времени (в точке В) вектором BD = υ‘, При этом радиус точки поворачивается на угол ∆φ. Перенесем вектор скорости υ‘в точку А (вектор АЕ). Вектор СЕ есть изменение скорости ∆υ за промежуток времени ∆t. Отношение его к про межутку времени есть центростремительное ускорение точки:

При малом угле при вершине треугольника CAE, равному углу ∆ φ поворота радиуса точки, отрезок ∆υ можно заменить дугой окружности с центром в точке А и радиусом υ. Тогда ∆υ = υ∆ φ.

Подставляя это выражение для ускорения, получим: а_и = ∆υ/∆t = (υ∆ φ)/ ∆t

Вводя значения угловой скорости ω = ∆ φ /∆t можно получить два равносильных выражения:

где R — радиус окружности, по которой двигается точка.

Центростремительное ускорение численно равняется отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности, по которой тело двигается или произведению квадрата угловой скорости на радиус окружности.

Соответственно величина центростремительной силы F_ц может быть выражена как произведение массы т точки на центростремительное ускорение а_ц:

Природа центробежной силы

Центростремительная сила может иметь различную природу. В механических системах она создается вследствие упругой деформации тела, которое связывает точку с центром окружности (на рис. 3, а оно показано в виде пружины П, на рис. 3, б—направляющего бортика Б), вследствие трения между телом и окружающей средой и т. п. В электрических системах — вследствие взаимного притяжения между заряженными телами, например между ядром и электронами в атоме и т. д.

Центростремительная сила, приложенная к телу, двигающемуся по «окружности, по третьему закону Ньютона вызывает равную по величине и противоположную по знаку силу, которая приложена к связи или направляющей. Эту силу называют центробежной реакцией или не совсем правильно центробежной силой.

В планетарных системах небесных тел центростремительная сила создается взаимным притяжением этих тел, например Солнца и Земли, Земли и Луны и т. д. Здесь уместно сказать и об искусственных спутниках Земли. Первый искусственный спутник Земли был создан в Советском Союзе и запущен в космос 4 октября 1957 г.

Первые искусственные спутники земли

Спутник имел форму шара диаметром 58 см, в котором размещалась исследовательская аппаратура, и массу 83,6 кг. 3 ноября 1957 г. был запущен второй искусственный спутник массой 508,3 кг. 15 мая 1958 г. был произведен запуск третьего спутника массой уже 1327 кг. Спутник имел конусообразную форму с диаметром основания 1,73 м и высотой 3,57 м и представлял собой хорошо оснащенную космическую лабораторию. Искусственные спутники земли запускаются теперь с научно-исследовательскими целями систематически.

В 1961 г. 12 апреля в СССР впервые в истории человечества был выведен на орбиту космический корабль «Восток-1» с первым летчиком-космонавтом Ю. А. Гагариным. Советские космические корабли (Восток-2—

Восток-6) выводились на орбиту в 1961 г. 12 апреля и 6 августа, в 1962 г. 11 и 12 августа, в 1963 г. 14 и 16 июня. В 1964 г. 12 октября был выведен на орбиту корабль нового типа (Восход-1) с тремя космонавтами на борту и в 1965 г. 18 марта (Восход-2) — с двумя.

Запуск искусственных спутников земли и космических кораблей осуществляется с помощью многоступенчатых ракет. Ракета сначала поднимается вертикально вверх, затем постепенно отклоняется в сторону и, ускоряясь в своем движении, достигает необходимой скорости, направленной параллельно касательной к земной поверхности. В этот момент спутник, отделяется от ракеты и продолжает движение только под действием земного притяжения, которое является для него центростремительной силой.

Скорость υ_к, необходимую для выхода спутника на орбиту, можно определить, если приравнять центростремительное ускорение а_ц к ускорению g силы земного притяжения.

Где R_к — радиус орбиты. Принимая R_к ≈ 6500 км (радиус Земли в среднем 6370 км плюс 130 км — высота спутника над землей) и на этой высоте g = 9,4 м/сек 2 , получим:

Первая, втора, третья космическая скорость

На рис. 4 схематически показаны траектории, описываемые телом Л, находящимся вблизи земной поверхности (на некоторой высоте h) и имеющим различную начальную скорость в направлении, параллельном касательной к земной поверхности. При скоростях, меньших чем 8 км/сек, тело описывает дугу и возвращается на землю (кривые 1—2).

При скорости 8 км/сек, которая называется первой космической скоростью, тело будет обращаться вокруг земли по круговой орбите (кривая 3). При больших скоростях орбиты принимают эллиптический характер (кривая 4) и, наконец, при скорости выше 11 км/сек, которая называется второй космической скоростью, земное притяжение оказывается недостаточным и тело удаляется от земли (кривая 5).

Последнее условие должно быть обеспечено при запуске ракет в космическое пространство. Первые космические ракеты были запущены также в бывшем Советском Союзе в сторону Луны. Первая из них, запущенная 2 января 1959 г., прошла вблизи от Луны и вышла на орбиту, окружающую Солнце. Вторая (12 сентября 1959 г.) достигла поверхности Луны и доставила туда советский вымпел.

Третья ракета, запущенная 4 октября 1959 г., облетела вокруг Луны и, кроме прочих данных, передала на землю фото графию поверхности Луны, невидимой со стороны Земли. В дальнейшем космические ракеты систематичен посылались в сторону Луны, а также к планетам Марс и Венера.

Огромным достижением в деле подготовки полета на Луну человека была осуществленная впервые в истории освоения космоса мягкая посадка на Луне автоматической научной станции (3 февраля 1966 г.), которая передала на Землю большое количество информации, касающейся состояния ее поверхности. 18 октября 1967 г. была осуществлена посадка автоматической научной станции на поверхность планеты Венера.

Статья на тему Движение тела по окружности

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

Видео:Урок 44. Вращение твердого тела. Линейная и угловая скорость. Период и частота вращения.Скачать

I. Механика

Видео:Лекция 10. Угловая скорость и угловое ускорение │Физика с нуляСкачать

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Видео:КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ - Угловое Перемещение, Угловая Скорость, Центростремительное УскорениеСкачать

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Видео:Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью | Физика 9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Видео:Центростремительное ускорение. 9 класс.Скачать

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Видео:Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорениеСкачать

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Видео:Вращательное движение. 10 класс.Скачать

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Видео:Линейная и угловая скорости при равномерном движении по окружностиСкачать

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Видео:Движение по окружности. Нормальное и тангенциальное ускорение | 50 уроков физики (4/50)Скачать

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Видео:Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

💡 Видео

Угловая скорость и радианная мера углаСкачать

Урок 47. Неравномерное движение по окружности. Тангенциальное ускорениеСкачать

Урок 90. Движение по окружности (ч.2)Скачать

угловая и линейная скоростьСкачать

Физика | Равномерное движение по окружностиСкачать

Физика 9 класс (Урок№4 - Движение тела по окружности. Период и частота)Скачать

Рассмотрение темы: "Угловая скорость. Закон движения по окружности"Скачать

Урок 88 (осн). Линейная скорость точки на вращающемся телеСкачать