Криволинейный интеграл вдоль треугольника

Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование — замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом:

.

Область, ограниченную контуром L обозначим D. Если функции P(x, y) , Q(x, y) и их частные производные и — функции, непрерывные в области D, то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:

.

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D.

Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

,

если L — контур треугольника OAB , где О(0; 0) , A(1; 2) и B(1; 0) . Направление обхода контура — против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.

а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox , поэтому её уравнением будет y = 0 . Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB :

Уравнением стороны BA будет x = 1 . Поэтому dx = 0 . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA :

Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:

.

Таким образом, dy = 2dx . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO :

Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:

.

б) Применим формулу Грина. Так как , , то . У нас есть всё для того, чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:

Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.

Пример 2. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

,

где L — контур OAB , OB — дуга параболы y = x² , от точки О(0; 0) до точки A(1; 1) , AB и BO — отрезки прямых, B(0; 1) .

Решение. Так как функции , , а их частные производные , , D — область, ограниченная контуром L , у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:

Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

, если L — контур, который образуют линия y = 2 − |x| и ось Oy .

Решение. Линия y = 2 − |x| состоит из двух лучей: y = 2 − x , если x ≥ 0 и y = 2 + x , если x .

Имеем функции , и их частные производные и . Подставляем всё в формулу Грина и получаем результат:

Пример 4. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл

,

если L — окружность .

Решение. Функции , и их частные производные и непрерывны в замкнутом круге . Подставляем всё в формулу Грина и вычисляем данный интеграл:

Видео:Криволинейный интеграл II рода вдоль плоской кривойСкачать

Криволинейный интеграл вдоль треугольника

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Видео:Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать

Криволинейные интегралы — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Видео:Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго родаСкачать

Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл первого рода

Пусть К — некоторая гладкая (или кусочно-гладкая) плоская кривая

где t — параметр, а

— ее дифференциал дуги. Здесь если , то dt > 0 и ; если же , то dt 2 . Так как парабола проходит через точку , то 2 = k — 1 2 и, значит, k = 2, т. е. у = 2х 2 . Отсюда dу = 4х dx и

3) На основании свойства 2 имеем

Так как уравнение ОВ есть у = 0 , то = 0. Далее, уравнение ВА записывается так: х = 1 ; поэтому х'(у) = 0. Из формулы (7) получаем

Заметим, что здесь интеграл I при фиксированных концах пути интегрирования К зависит от вида этого пути.

Пример:

вдоль линий К, указанных в примере 1.

Воспользовавшись приведенными выше уравнениями линии К, последовательно имеем:

Таким образом, здесь интеграл I имеет одно и то же значение для различных путей, соединяющих точки О и А. Принципиальное различие примеров 1 и 2 будет разъяснено. Если

есть кусочно-гладкая пространственная кривая — тройка функций, непрерывных на кривой К, то под соответствующим криволинейным интегралом второго рода понимается интеграл

Физический смысл криволинейного интеграла второго рода

Пусть — непрерывно меняющаяся переменная сила и

— путь К, пробегаемый точкой ее приложения (рис. 241); обозначим через бесконечно малый вектор перемещения из текущей точки М (х, у) кривой К в бесконечно близкую точку (мы здесь пренебрегаем бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с ds). Имеем ds = . Так как на бесконечно малом пути ds непрерывную силу F можно считать постоянной, то элементарная работа силы равна

Интегрируя выражение (1) вдоль кривой К, получим работу силы

Выражение (2), очевидно, есть соответствующий криволинейный интеграл второго рода.

Итак, криволинейный интеграл второго рода представляет собой работу переменной силы вдоль пути интегрирования, проекциями которой на координатные оси являются соответствующие коэффициенты при дифференциалах переменных.

Пример:

Найти работу А переменной силы , точка приложения которой описывает параболу ОВ (рис. 242)

Решение:

Согласно формуле (2) имеем

Из уравнения (3) получаем dy = 2х dx, поэтому

Аналогично, работа пространственной силы

вдоль пути К: выражается криволинейным интегралом второго рода

Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

Пусть — непрерывные функции в области G (рис. 243). Рассмотрим две произвольные точки области и всевозможные пути соединяющие эти точки (М₁ — начало пути, М₂ — конец пути) и не выходящие за пределы области G. Может случиться, что

В таком случае говорят, что криволинейный интеграл второго рода

не зависит от вида пути интегрирования в данной области G.

Если выполняются условия (1), то для интеграла (2) нет необходимости указывать путь интегрирования, а достаточно отметить лишь его начальную точку и его конечную точку М₂ пути. Поэтому здесь употребляется обозначение

Справедлива следующая теорема:

Теорема: Если в области G подынтегральное выражение X dx + Y dy является полным дифференциалом некоторой функции U = U (х, у), т. е.

то криволинейный интеграл (2) не зависит от пути интегрирования в области G.

Доказательство: Пусть

— произвольный путь К в области G, соединяющий точки , причем

Из формулы (4) имеем

Далее, используя соотношения (6), будем иметь

Таким образом, значение интеграла I одно и то же при любом выборе функций , и, следовательно, интеграл I не зависит от вида пути, соединяющего точки

Следствие 1. Если выполнено соотношение (4), то в силу (9) имеем

(обобщенная формула Ньютона — Лейбница).

Следствие 2. Если подынтегральное выражение X dx + Y dy есть полный дифференциал и путь интегрирования К замкнутый, то

(кружок при интеграле обозначает интегрирование вдоль замкнутого пути).

Пример:

Решение:

Так как у dx + х dy = d (ху), то, независимо от вида пути, соединяющего точки , имеем

Работа потенциальной силы

Теорема предыдущего параграфа имеет физическое содержание. Пусть в области G определено силовое поле

Примером силового поля может служить поле силы тяжести у поверхности Земли, где на любую материальную точку массы т действует сила mg (g — ускорение свободного падения). Более общим примером силового поля является гравитационное поле, создаваемое массой М. Здесь на материальную точку массы находящуюся на расстоянии г от притягивающего центра, согласно закону Ньютона действует сила (k — гравитационная постоянная), направленная к притягивающему центру. Другим примером силового поля служит электрическое поле Кулона.

Если существует функция такая, что

то говорят, что поле потенциальное (иначе, F — потенциальная сила), а функцию U называют потенциалом поля. В этом случае, очевидно,

Отсюда для работы А потенциальной силы F вдоль пути, соединяющего точки , имеем

т. е. работа потенциальной силы не зависит от вида пути и равна разности потенциалов силы для конечной и начальной точек пути.

В частности, если путь замкнут, то работа А = 0.

Пример:

Найти работу А силы тяжести при перемещении в вертикальной плоскости Оху (вблизи поверхности Земли) точки массы т из положения в положение (рис. 244).

Решение:

Если ось Ох горизонтальна, а ось Оу вертикальна, то проекции силы тяжести, действующей на материальную точку массы т, равны X = 0, У = -mg. Имеем

Поэтому за потенциал поля силы тяжести можно принять

Отсюда работа силы тяжести, независимо от пути , равна

Замечание. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного интеграла, взятого по пространственной кривой. В частности, если

• Двойные и тройные интегралы
• Делимость чисел в математике
• Обыкновенные дроби
• Отношения и пропорции
• Уравнения поверхности и линии в пространстве
• Общее уравнение плоскости
• Угол между плоскостями
• Понятие о производной вектор-функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📹 Видео

Формула ГринаСкачать

Криволинейный интеграл 1 родаСкачать

Криволинейный интеграл по длине дуги ➜ Криволинейный интеграл 1-го родаСкачать

Формула Остроградского - ГринаСкачать

Криволинейный интеграл 1-го рода ★ Криволинейный интеграл по длине дуги ★ ∫(x+y)dsСкачать

Формула ГринаСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Криволинейный интеграл 2 родаСкачать

Криволинейный и двойной интеграл. Формула Грина.Ч1Скачать

Криволинейные интегралыСкачать

Криволинейный интеграл 1 рода.Скачать

Формула Стокса.ЦиркуляцияСкачать

Циркуляция векторного поля. Вычисление при при помощи криволинейного интеграла.Скачать

Непосредственное вычисление циркуляцииСкачать

Криволинейный интеграл II рода по пространственной кривойСкачать

Криволинейный интеграл первого родаСкачать