Косинус всех углов в треугольнике

Косинус угла. Таблица косинусов.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Косинус угла через градусы, минуты и секунды

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Косинус угла через десятичную запись угла

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Как найти угол зная косинус этого угла

У косинуса есть обратная тригонометрическая функция — arccos(y)=x

Пример cos(60°) = 1/2; arccos(1/2) = 60°

Видео:8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Определение косинуса

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла α называется абсцисса точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого углаСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Теорема косинусов и синусов

Косинус всех углов в треугольнике

О чем эта статья:

Видео:ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16Скачать

ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Косинус всех углов в треугольнике

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

Косинус всех углов в треугольнике

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

Косинус всех углов в треугольнике

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2

cos 2 α + sin 2 α = 1основное тригонометрическое тождество.

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:


Косинус всех углов в треугольнике

  • Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

  • AD = b × cos α,
  • DB = c – b × cos α.

Косинус всех углов в треугольнике

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

  • h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
  • h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

  • b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2
  • a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

  • b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
  • c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.

Видео:СИНУС И КОСИНУС ЛЮБЫХ УГЛОВ | ТригонометрияСкачать

СИНУС И КОСИНУС ЛЮБЫХ УГЛОВ | Тригонометрия

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ

Косинус всех углов в треугольнике

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Видео:№1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8),Скачать

№1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8),

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Косинус всех углов в треугольнике

Косинус всех углов в треугольнике

Косинус всех углов в треугольнике

Косинус всех углов в треугольнике

Косинус всех углов в треугольнике

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Косинус всех углов в треугольнике

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Видео:ОГЭ как найти тангенс угла, если нет треугольника #математика #огэ #огэматематика #геометрияСкачать

ОГЭ как найти тангенс угла, если нет треугольника #математика #огэ #огэматематика #геометрия

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Косинус всех углов в треугольнике

    Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
    Из треугольника АВС найдем cos B:

Косинус всех углов в треугольнике

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Косинус всех углов в треугольнике

Косинус всех углов в треугольнике

Косинус всех углов в треугольнике

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

Косинус всех углов в треугольнике

  • Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Косинус всех углов в треугольнике

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Таблица КОСИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов

КОСИНУС (COS α) острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к его гипотенузе…

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

α (радианы)0π/6π/4π/3π/2π3π/2
α (градусы)30°45°60°90°180°270°360°
cos α (Косинус)13/22/21/20-101

Полная таблица косинусов для углов от 0° до 360°

Угол в градусахCos (Косинус)
1
0.9998
0.9994
0.9986
0.9976
0.9962
0.9945
0.9925
0.9903
0.9877
10°0.9848
11°0.9816
12°0.9781
13°0.9744
14°0.9703
15°0.9659
16°0.9613
17°0.9563
18°0.9511
19°0.9455
20°0.9397
21°0.9336
22°0.9272
23°0.9205
24°0.9135
25°0.9063
26°0.8988
27°0.891
28°0.8829
29°0.8746
30°0.866
31°0.8572
32°0.848
33°0.8387
34°0.829
35°0.8192
36°0.809
37°0.7986
38°0.788
39°0.7771
40°0.766
41°0.7547
42°0.7431
43°0.7314
44°0.7193
45°0.7071
46°0.6947
47°0.682
48°0.6691
49°0.6561
50°0.6428
51°0.6293
52°0.6157
53°0.6018
54°0.5878
55°0.5736
56°0.5592
57°0.5446
58°0.5299
59°0.515
60°0.5
61°0.4848
62°0.4695
63°0.454
64°0.4384
65°0.4226
66°0.4067
67°0.3907
68°0.3746
69°0.3584
70°0.342
71°0.3256
72°0.309
73°0.2924
74°0.2756
75°0.2588
76°0.2419
77°0.225
78°0.2079
79°0.1908
80°0.1736
81°0.1564
82°0.1392
83°0.1219
84°0.1045
85°0.0872
86°0.0698
87°0.0523
88°0.0349
89°0.0175
90°0

Таблица косинусов для углов от 91° до 180°

Уголcos (Косинус)
91°-0.0175
92°-0.0349
93°-0.0523
94°-0.0698
95°-0.0872
96°-0.1045
97°-0.1219
98°-0.1392
99°-0.1564
100°-0.1736
101°-0.1908
102°-0.2079
103°-0.225
104°-0.2419
105°-0.2588
106°-0.2756
107°-0.2924
108°-0.309
109°-0.3256
110°-0.342
111°-0.3584
112°-0.3746
113°-0.3907
114°-0.4067
115°-0.4226
116°-0.4384
117°-0.454
118°-0.4695
119°-0.4848
120°-0.5
121°-0.515
122°-0.5299
123°-0.5446
124°-0.5592
125°-0.5736
126°-0.5878
127°-0.6018
128°-0.6157
129°-0.6293
130°-0.6428
131°-0.6561
132°-0.6691
133°-0.682
134°-0.6947
135°-0.7071
136°-0.7193
137°-0.7314
138°-0.7431
139°-0.7547
140°-0.766
141°-0.7771
142°-0.788
143°-0.7986
144°-0.809
145°-0.8192
146°-0.829
147°-0.8387
148°-0.848
149°-0.8572
150°-0.866
151°-0.8746
152°-0.8829
153°-0.891
154°-0.8988
155°-0.9063
156°-0.9135
157°-0.9205
158°-0.9272
159°-0.9336
160°-0.9397
161°-0.9455
162°-0.9511
163°-0.9563
164°-0.9613
165°-0.9659
166°-0.9703
167°-0.9744
168°-0.9781
169°-0.9816
170°-0.9848
171°-0.9877
172°-0.9903
173°-0.9925
174°-0.9945
175°-0.9962
176°-0.9976
177°-0.9986
178°-0.9994
179°-0.9998
180°-1

Таблица косинусов для углов от 180° до 270°

Уголcos (косинус)
181°-0.9998
182°-0.9994
183°-0.9986
184°-0.9976
185°-0.9962
186°-0.9945
187°-0.9925
188°-0.9903
189°-0.9877
190°-0.9848
191°-0.9816
192°-0.9781
193°-0.9744
194°-0.9703
195°-0.9659
196°-0.9613
197°-0.9563
198°-0.9511
199°-0.9455
200°-0.9397
201°-0.9336
202°-0.9272
203°-0.9205
204°-0.9135
205°-0.9063
206°-0.8988
207°-0.891
208°-0.8829
209°-0.8746
210°-0.866
211°-0.8572
212°-0.848
213°-0.8387
214°-0.829
215°-0.8192
216°-0.809
217°-0.7986
218°-0.788
219°-0.7771
220°-0.766
221°-0.7547
222°-0.7431
223°-0.7314
224°-0.7193
225°-0.7071
226°-0.6947
227°-0.682
228°-0.6691
229°-0.6561
230°-0.6428
231°-0.6293
232°-0.6157
233°-0.6018
234°-0.5878
235°-0.5736
236°-0.5592
237°-0.5446
238°-0.5299
239°-0.515
240°-0.5
241°-0.4848
242°-0.4695
243°-0.454
244°-0.4384
245°-0.4226
246°-0.4067
247°-0.3907
248°-0.3746
249°-0.3584
250°-0.342
251°-0.3256
252°-0.309
253°-0.2924
254°-0.2756
255°-0.2588
256°-0.2419
257°-0.225
258°-0.2079
259°-0.1908
260°-0.1736
261°-0.1564
262°-0.1392
263°-0.1219
264°-0.1045
265°-0.0872
266°-0.0698
267°-0.0523
268°-0.0349
269°-0.0175
270°0

Таблица косинусов для углов от 270° до 360°

УголCos (Косинус)
271°0.0175
272°0.0349
273°0.0523
274°0.0698
275°0.0872
276°0.1045
277°0.1219
278°0.1392
279°0.1564
280°0.1736
281°0.1908
282°0.2079
283°0.225
284°0.2419
285°0.2588
286°0.2756
287°0.2924
288°0.309
289°0.3256
290°0.342
291°0.3584
292°0.3746
293°0.3907
294°0.4067
295°0.4226
296°0.4384
297°0.454
298°0.4695
299°0.4848
300°0.5
301°0.515
302°0.5299
303°0.5446
304°0.5592
305°0.5736
306°0.5878
307°0.6018
308°0.6157
309°0.6293
310°0.6428
311°0.6561
312°0.6691
313°0.682
314°0.6947
315°0.7071
316°0.7193
317°0.7314
318°0.7431
319°0.7547
320°0.766
321°0.7771
322°0.788
323°0.7986
324°0.809
325°0.8192
326°0.829
327°0.8387
328°0.848
329°0.8572
330°0.866
331°0.8746
332°0.8829
333°0.891
334°0.8988
335°0.9063
336°0.9135
337°0.9205
338°0.9272
339°0.9336
340°0.9397
341°0.9455
342°0.9511
343°0.9563
344°0.9613
345°0.9659
346°0.9703
347°0.9744
348°0.9781
349°0.9816
350°0.9848
351°0.9877
352°0.9903
353°0.9925
354°0.9945
355°0.9962
356°0.9976
357°0.9986
358°0.9994
359°0.9998
360°1

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите нужную часть таблицы, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Чему равен косинус 30? …

— Ищем в таблице соответствующее значение. Правильный ответ: 0.866

🌟 Видео

Тригонометрия за 50 секундСкачать

Тригонометрия за 50 секунд

Как запомнить значения синусов и косинусов?! #математика #синус #косинус #геометрия #егэ #shortsСкачать

Как запомнить значения синусов и косинусов?! #математика #синус #косинус #геометрия #егэ #shorts

Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

Нахождение косинуса и синуса угла в прямоугольном треугольникеСкачать

Нахождение косинуса и синуса угла в прямоугольном треугольнике

Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать

Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.

В треугольнике АВС найдите косинус угла ВАС.Скачать

В треугольнике АВС найдите косинус угла ВАС.

Что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Часть 1Скачать

Что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Часть 1
Поделиться или сохранить к себе: