Решение уравнений cos(x)
— это абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу .
cosx = 1
cosx = 1
На единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1.
Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, , , , . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов . Все эти углы могут быть записаны одной формулой:
где, — множество целых чисел.
cosx = -1
cosx = -1
Снова, на единичной окружности есть всего лишь одна точка с абсциссой -1.
Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны.
cosx = 0
cosx = 0
Точки с абсциссой образуют на единичной окружности вертикальную диаметральную пару.
Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из прибавлением целого числа (полуоборотов):
cosx = 1/2
Имеем вертикальную пару точек с абсциссой 1/2.
Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой:
Все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:
Обе формулы можно записать одной формулой:
Другие уравнения с косинусом
Остальные уравнения с косинусом решаются аналогично:
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
cosx=0
Эта ассоциация помогает легко запомнить формулу для решения тригонометрического уравнения cosx=0.
Используем ассоциацию косинус-колобок.
Начинаются они одинаково, на ко-. Колобок движется влево-вправо, в силу особенностей своей фигуры. А влево-вправо на координатной плоскости происходит движение вдоль оси ox. Значит косинус — это x.
Для решения уравнения cosx=0 нам нужно найти точки, в которых косинус обращается в нуль. Как и в других частных случаях косинуса, решение ищем на единичной окружности, то есть на окружности с радиусом R=1.
Итак, cosx=0, косинус — это x, значит, двигаться ни влево, ни вправо не надо (колобок подпрыгнул на месте:)).
На единичной окружности x=0 соответствуют две точки: одна вверху, это п/2, другая — внизу, -п/2. Чтобы из одной точки попасть в другую, надо пройти половину окружности, то есть п.
Но через каждый интервал длиной п мы будет получать все новые и новые точки, в которых косинус равен нулю.
Чтобы учесть все такие точки, к первой точке прибавляем пn, где n — целое число (то есть принадлежит Z).
Таким образом, решение уравнения cosx=0 есть множество точек x=п/2+пn, где n — целое число. И соответствующий чертеж для иллюстрации ассоциации:
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.
Вот что мы видим на этом рисунке:
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.
Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.
Легко заметить, что
Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:
где — целое число. То же самое можно записать в радианах:
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,