Координаты треугольника на плоскости

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Видео:Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | МатематикаСкачать

Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | Математика

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Содержание:

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение к простейшим задачам

Прямоугольные координаты точки на плоскости

Координатами точки на плоскости называются числа, определяющие положение этой точки на плоскости.

Прямоугольные декартовы координаты (по имени математика Декарта) на плоскости вводятся следующим образом: на этой плоскости выбираются точка О (начало координат) и проходящие через нее взаимно перпендикулярные направленные прямые Ох и Оу (оси координат) (рис. 1). Для удобства рассмотрения будем предполагать, что ось Ох 0ось абсцисс) горизонтальна и направлена слева направо, а ось Оу (ось ординат) вертикальна и направлена снизу вверх; таким образом, ось О у повернута относительно оси Ох на угол 90° против хода часовой стрелки 1 ). Кроме того, выбирается единица масштаба для измерения расстояний.

Координаты треугольника на плоскости

Для данной точки М введем в рассмотрение два числа: абсциссу х и ординату у этой точки.

Абсциссой х называется число, выражающее в некотором масштабе расстояние от точки до оси ординат, взятое со знаком плюс, если точка лежит вправо от оси ординат, и со знаком минус, если точка лежит влево от оси ординат. Ординатой у называется число, выражающее в некотором масштабе (обыкновенно в том же, как и для абсциссы) расстояние от точки до оси абсцисс, взятое со знаком плюс, если точка лежит выше оси абсцисс, и со знаком минус, если точка лежит ниже оси абсцисс.

Эти два числа х и у и принимаются за координаты точки М, так как они полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка, координатами которой являются эти числа; и обратно, каждая точка плоскости имеет определенные координаты х и у. Если точка М имеет координаты х и у, то это обстоятельство обозначают так: М (х, у) (на первом месте ставится абсцисса х, а на втором — ордината у). При записи координат знак плюс, как обычно, можно опускать.

Оси Ох и Оу разбивают плоскость на четыре части, называемые квадрантами. Производя нумерацию квадрантов (I, II, III и IV) в направлении против хода часовой стрелки, отправляясь от того квадранта, где обе координаты положительны, получим следующую таблицу знаков координат: Координаты треугольника на плоскости

Отрезок ОМ у соединяющий начало координат О с точкой М (рис. 2), называется ее радиусом-вектором. Обозначая через ф угол, образованный отрезком ОМ с положительным направлением оси Ох, и через Координаты треугольника на плоскостиего длину, для точки М, лежащей в I квадранте, из треугольников ОММ’ и ОММ» получим Координаты треугольника на плоскостиКоординаты треугольника на плоскости

Нетрудно убедиться, что формулы (1) будут справедливы для координат точек всех квадрантов. Таким образом, знак абсциссы х точки М совпадает со знаком косинуса, а знак ее ординаты у — со знаком синуса в соответствующем квадранте.

Легко видеть, что если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината у равна нулю; если же она лежит на оси ординат, ее абсцисса х равна нулю, и обратно. Следовательно, если точка совпадает с началом координат, то равны нулю обе ее координаты.

Координаты треугольника на плоскости

В дальнейшем прямоугольные декартовы координаты для краткости будем называть просто прямоугольными координатами.

В следующих параграфах рассмотрим некоторые простейшие задачи на применение прямоугольных координат на плоскости.

Преобразование прямоугольной системы координат

При решении задач иногда выгодно вместо данной прямоугольной системы координат Координаты треугольника на плоскостивыбрать другую прямоугольную систему координат О’х’у определенным образом ориентированную относительно первой. Например, при межпланетных путешествиях можно пользоваться системой координат, связанной с центром Земли (геоцентрическая система координат); однако более удобно использовать систему координат, связанную с центром Солнца (гелиоцентрическая система координат).

Возникает вопрос о том, как от одной системы координат перейти к другой.

Рассмотрим сначала простейший случай (рис. 3), когда оси «новой системы координат» О’х’у’ параллельны соответствующим осям «старой системы координат о Оху и имеют одинаковые направления с ними (параллельный перенос системы координат).

Координаты треугольника на плоскости

Пусть начало новой системы координат — точка О’ — имеет координаты (а, Ь) в старой системе координат. Точка М плоскости со «старыми координатами» (х, у) будет иметь некоторые «новые координаты» [х у’] (для ясности мы их обозначаем квадратными скобками). Из рис. 3 непосредственно получаем

х’ = х — а, у’ = у — b, (1)

т. е. новые координаты точки равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала.

Обратно, из (1) находим

х = х’ + а, у = у’ + Ь. (2)

Пусть теперь «новая система» координат Ох’у при неизменном начале О, повернута относительно «старой системы» Оху на угол а (рис. 4), т. е. Координаты треугольника на плоскости, причем а считается положительным, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, и отрицательным — в противоположном случае (поворот системы координат). Координаты треугольника на плоскости

Обозначим через Координаты треугольника на плоскостиугол, образованный радиусом-вектором г = ОМ точки М с осью Ох’; тогда отрезок ОМ, с учетом знака угла Координаты треугольника на плоскости), будет составлять с осью Ох угол Координаты треугольника на плоскости. Отсюда на основании формул (1) из при любом расположении точки М имеем

Координаты треугольника на плоскости

Координаты треугольника на плоскости

Так как новые координаты точки М, очевидно, есть

Координаты треугольника на плоскости

то из формул (3) и (4) получаем

Координаты треугольника на плоскости

Для запоминания формул (6) используют следующий мнемонический прием: говорят, что первая формула (6) содержит полный беспорядок, а вторая — полный порядок. Действительно, в первой формуле на первом месте стоит cos, на втором — sin; кроме того, присутствует знак минус. Во второй формуле (6) никаких нарушений правильности в этом смысле нет.

Формулы (6) выражают старые координаты х и у точки М через ее новые х’ и у’. Чтобы выразить новые координаты х’ и у’ через старые х и у, достаточно разрешить систему (6) относительно х’и у’. Однако можно поступить проще, а именно принять систему Ох’у’ за «старую», а систему Оху за «новую». Тогда, учитывая, что вторая система повернута относительно первой на угол — а, заменяя в формулах (6) х’ и у’ соответственно на х и у и обратно и принимая во внимание, что cos (-a) = cos a, sin (-a) = -sin a, будем иметь

Координаты треугольника на плоскости

Наконец, в общем случае, когда новое начало координат есть точка О’ (a, Ь) и ось О’х’ образует с осью Ох угол а, соединяя формулы (2) и (6), находим

Координаты треугольника на плоскости

Здесь угол Р считается положительным, если радиус-вектор ОМ повернут относительно оси Ох’ против хода часовой стрелки, и отрицательным, если он повернут относительно этой оси по ходу часовой стрелки.

Аналогично, из формул (1) и (7) получаем

Координаты треугольника на плоскости

Из формул (8) и (9) вытекает, что формулы перехода от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат являются линейными функциями как новых, так и старых координат, т. е. содержат эти координаты в первой степени.

Пример:

Отрезок ОМ, где точка М имеет координаты (х, г/), повернут на угол а = 120° против хода часовой стрелки (рис. 5). Каковы будут координаты х’ и у’ нового положения М’ точки М?

Решение:

Предполагая, что с точкой М связана подвижная система координат Ох’у на основании формул (6) будем иметь

Координаты треугольника на плоскости

Расстояние между двумя точками на плоскости

1) Найдем сначала расстояние г от начала координат О (0, 0) до точки М (х, у) (рис. 6).

Расстояние г = ОМ, очевидно, является гипотенузой прямоугольного Координаты треугольника на плоскостиОММ’ с катетами Координаты треугольника на плоскости. По теореме Пифагора получаем

Координаты треугольника на плоскости

Таким образом, расстояние от начала координат до некоторой точки равно корню квадратному из суммы квадратов координат этой точки.

Координаты треугольника на плоскости

2) В общем случае, пусть для точек A Координаты треугольника на плоскостии Б Координаты треугольника на плоскости(рис. 7) требуется найти расстояние d = АВ между этими точками.

Выберем новую систему координат Ах’у’ начало которой совпадает с точкой А и оси которой параллельны прежним осям и имеют, соответственно, одинаковые направления с ними. Тогда в новой системе координат точки Л и В будут иметь координаты А [0, 0] и Б Координаты треугольника на плоскости. Отсюда на основании формулы (1) получаем

Координаты треугольника на плоскости

т. е. расстояние между двумя точками плоскости (при любом их расположении) равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Замечание. Формула (2) дает также длину отрезка АВ. Легко определить направление этого отрезка. Из прямоугольного А ABC имеем

Координаты треугольника на плоскости

(dx и dy называются проекциями отрезка АВ на оси координат Оху). Отсюда получаем Координаты треугольника на плоскостигде d определяется формулой (2).

Пример:

Танк на местности переместился из точки А (-30, 80) в точку Б (50, 20) (относительно некоторой системы координат Оху)> причем координаты точек даны в километрах. Найти путь d, пройденный танком, если он двигался, не меняя направления.

Решение:

Применяя формулу (2), имеем

Координаты треугольника на плоскости

Деление отрезка в данном отношении

Предположим, что отрезок АВ (рис. 8), соединяющий точки A (xl9 уг) и В (x2t у2), разделен точкой С на два отрезка АС и СБ, причем отношение АС к СБ равно I (I > 0):

Координаты треугольника на плоскости

Требуется выразить координаты х и у точки С(х, у) через координаты концов отрезка АВ.

Опустим перпендикуляры Координаты треугольника на плоскостисоответственно из точек А, В и С на ось Ох. Тогда получим, что три параллельные прямые Координаты треугольника на плоскостипересекают стороны угла (не обозначенного на рисунке), образованного прямыми АВ и Ох. Как известно из элементарной геометрии, пучок параллельных прямых рассекает стороны угла на пропорциональные части; поэтому

Координаты треугольника на плоскости

откуда на основании равенства (1) будем иметь

Координаты треугольника на плоскости

Из рис. 8 видно, что Координаты треугольника на плоскостих2 — х. Подставляя эти выражения в формулу (2), получимКоординаты треугольника на плоскости

Координаты треугольника на плоскости

Решая уравнение (3) относительно неизвестной абсциссы х, будем иметь

Координаты треугольника на плоскости

Координаты треугольника на плоскостиИтак, координаты точки С (ху у), делящей отрезок АВ в отношении / (считая от А к В), определяются формулами Координаты треугольника на плоскостиЕсли точка С делит отрезок АВ пополам, то АС = СВ и, следовательно, I = АС/СВ = 1. Обозначая координаты середины отрезка АВ через х, у, получим на основании формул (4) Координаты треугольника на плоскости

т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Примечание. При выводе формул (4) и (5) мы предполагали, что концы А и В отрезка АВ лежат в первом квадранте и, следовательно, координаты точек Аи В положительны. Легко доказать, что формулы (4) и (5) будут справедливы и в случае произвольного расположения отрезка АВ на координатной плоскости.

Пример:

Вычислить координаты точки С (х, у)> делящей отрезок АВ между точками А (-5, -3) и В (4, -6) в отношении АС/СВ = 3/2.

Решение:

В этом случае I = 3/2 и, следовательно,

Координаты треугольника на плоскости

Площадь треугольника

Пусть требуется найти площадь S треугольника ABC (рис. 9) с вершинами

Координаты треугольника на плоскости

Пусть АВ = с, АС = Ь, а углы, образованные этими сторонами с осью Ох, соответственно равны Координаты треугольника на плоскости.

На основании (см. замечание) имеем (рис. 9)

Координаты треугольника на плоскости

и Координаты треугольника на плоскости

Координаты треугольника на плоскости

Пусть Координаты треугольника на плоскости; очевидно (рис. 9), Координаты треугольника на плоскости. По известной формуле тригонометрии получаем

Координаты треугольника на плоскости

Отсюда в силу (1) и (2) имеем

Координаты треугольника на плоскости

Заметим, что формула (4) при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком минус. Поэтому формулу для площади треугольника обычно пишут в виде

Координаты треугольника на плоскости

где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число,

Используя понятие определителя второго порядка

Координаты треугольника на плоскости

формулу (4′) можно записать в удобной для запоминания форме:

Координаты треугольника на плоскости

Формула (4′) упрощается, если точка А Координаты треугольника на плоскостинаходится в начале координат. А именно, полагая Координаты треугольника на плоскостиполучим

Координаты треугольника на плоскости

Отметим, что если точки А, В, С находятся на одной прямой, то площадь S = 0; и обратно, если S = 0, то вершины А, Б и С расположены на одной прямой.

Пример:

Вспаханное поле имеет форму треугольника с вершинами А (-2, -1), В (3, 5) и С (-1, 4) (размеры даны в километрах). Определить площадь S этого поля.

По формуле (5) имеемКоординаты треугольника на плоскости

Замечание. Вычисление площади многоугольника сводится к вычислению площадей треугольников. Для этого достаточно разбить многоугольник на треугольники, площади которых вычисляют по формуле (4).

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Линии второго порядка
  • Полярные координаты
  • Непрерывность функции
  • Уравнения поверхности и линии в пространстве
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование тригонометрических функций
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование иррациональных функций

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Как найти площадь треугольника, зная координаты его вершины.Скачать

Как найти площадь треугольника, зная координаты его вершины.

Уравнения сторон треугольника

Как составить уравнение сторон треугольника по координатам его вершин?

Зная координаты вершин треугольника, можно составить уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Дано: ΔABC, A(-5;1), B(7;-4), C(3;7)

Составить уравнения сторон треугольника.

1) Составим уравнение прямой AB, проходящей через 2 точки A и B.

Для этого в уравнение прямой y=kx+b подставляем координаты точек A(-5;1), B(7;-4) и из полученной системы уравнений находим k и b:

Координаты треугольника на плоскости

Таким образом, уравнение стороны AB

Координаты треугольника на плоскости

2) Прямая BC проходит через точки B(7;-4) и C(3;7):

Координаты треугольника на плоскости

Отсюда уравнение стороны BC —

Координаты треугольника на плоскости

3) Прямая AC проходит через точки A(-5;1) и C(3;7):

🔥 Видео

Видеоурок "Координатная плоскость, координата точки"Скачать

Видеоурок "Координатная плоскость, координата точки"

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Построение следов плоскостиСкачать

Построение следов плоскости

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)

Построение точек по координатамСкачать

Построение точек по координатам

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольникаСкачать

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольника

Прямоугольная система координат. Координатная плоскость. 6 класс.Скачать

Прямоугольная система координат. Координатная плоскость. 6 класс.

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебра

Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

Основные задачи на плоскость. Часть 2 (от bezbotvy)Скачать

Основные задачи на плоскость. Часть 2 (от bezbotvy)

Введение в аналитическую геометрию. Треугольник в системе координатСкачать

Введение в аналитическую геометрию. Треугольник в системе координат

Построение треугольника. Математика.Скачать

Построение треугольника. Математика.

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин
Поделиться или сохранить к себе: