Классификация треугольников по основанию

Классифицировать треугольники можно по длинам сторон и по величинам углов.

По величинам углов треугольники подразделяются на остроугольные; прямоугольные; тупоугольные.

Определение. Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным; если один угол треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным; если один угол треугольника тупой – тупоугольным. В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

По длинам сторон треугольники подразделяются на разносторонние (произвольные), равнобедренные и равносторонние.

Определение. Если стороны треугольника попарно не равны, то треугольник называется разносторонним. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника.

Теорема 8. (Свойства равнобедренного треугольника).

В равнобедренном треугольнике:

а) углы при основании равны (и острые);

б) медиана, биссектриса, высота и серединный перпендикуляр, проведенные к основанию, совпадают.

в) медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

г) биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны.

д) высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

Теорема 9. (Признаки равнобедренного треугольника).

а) Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный (сторона, к которой прилежат оба равных угла – основание).

б) Если в треугольнике совпадают любые две из четырех линий (медиана, биссектриса, высота, серединный перпендикуляр), проведенные к некоторой стороне треугольника, то треугольник равнобедренный (а эта сторона является основанием).

в) Если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный (а стороны, к которым проведены медианы – боковые).

г) Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный (а стороны, к которым проведены биссектрисы – боковые).

д) Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник равнобедренный (а стороны, к которым проведены высоты – боковые).

Теоремы, связывающие углы треугольника.

Теорема 10. Сумма углов треугольника равна 180 о .

Из этой теоремы непосредственно следует, что в треугольнике не может быть более одного прямого и более одного тупого угла.

Определение. Угол, смежный с углом треугольника, называется внешним углом треугольника.

Теорема 11. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Теорема, связывающая стороны треугольников.

Теорема 12. Сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.

Теорема, связывающая стороны и углы треугольников.

Теорема 13. Против большего угла треугольника лежит большая сторона. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

Дата добавления: 2014-12-22 ; просмотров: 3534 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:Виды треугольниковСкачать

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Видео:ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Треугольник ABC (△ABC)

• Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
• Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
• Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — ∠. После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Видео:Виды треугольниковСкачать

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

• Сумма всех углов треугольника равна 180°:

• Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Видео:Виды треугольников. 6 классСкачать

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

Видео:Виды треугольников. Видеоурок по геометрии 7 классСкачать

Геометрическая фигура: треугольник

В данной публикации мы рассмотрим определение, классификацию и свойства одной из основных геометрических фигур – треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

Видео:Геометрия 7 кл. Треугольники. Определение. Обозначение. Компоненты. Особенности. Виды треугольников.Скачать

Определение треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из трех сторон, которые образованы путем соединения трех точек, не лежащих на одной прямой. Для обозначения используется специальный символ – △.

• Точки A, B и C – вершины треугольника.
• Отрезки AB, BC и AC – стороны треугольника, которые часто обозначаются в виде одной латинской буквы. Например, AB = a, BC = b, AC = c.

Стороны треугольника в вершинах образуют три угла, традиционно обозначающиеся греческими буквами – α , β , γ и т.д. Из-за этого треугольник еще называют многоугольником с тремя углами.

Углы можно, также, обозначать с помощью специального знака “∠“:

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Классификация треугольников

В зависимости от величины углов или количества равных сторон выделяют следующие виды фигуры:

1. Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°.

2. Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

3. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и AC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (BC).

4. Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

5. Равнобедренный – треугольник, имеющие две равные стороны, которые называются боковыми (AB и BC). Третья сторона – это основание (AC). В данной фигуре углы при основании равны (∠BAC = ∠BCA).

6. Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Свойства треугольника

1. Любая из сторон треугольника меньше двух оставшихся, но больше их разности. Для удобства примем стандартные обозначения сторон – a, b и с. Тогда:

Это свойство применяется для проверки отрезков на предмет того, могут ли они образовывать треугольник.

2. Сумма углов любого треугольника равняется 180°. Из этого свойства следует, что в тупоугольном треугольнике два угла всегда являются острыми.

3. В любом треугольнике напротив большей стороны находится больший угол, и наоборот.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Примеры задач

Задание 1
В треугольнике известны два угла – 32° и 56°. Найдите значение третьего угла.

Решение
Примем известные углы за α (32°) и β (56°), а неизвестный – за γ .
Согласно свойству о сумме всех углов, α + β + γ = 180°.
Следовательно, γ = 180° – α – β = 180° – 32° – 56° = 92°.

Задание 2
Даны три отрезка длиной 4, 8 и 11. Выясните, могут ли они образовать треугольник.

Решение
Составим неравенства для каждого из заданных отрезков, исходя из свойства, рассмотренного выше:
11 – 4

📺 Видео

виды и названия треугольников по сторонамСкачать

Виды треугольников 2Скачать

Треугольник и его виды. 5 классСкачать

Виды треугольников 3 классСкачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Урок 7 Треугольники Виды треугольников (7 класс)Скачать

Виды треугольников по видам угловСкачать

Тема 34. Виды треугольниковСкачать

Математика 6 класс. Треугольник. Виды треугольников. ЕГЭ, ОГЭ, ЦТ, экзаменСкачать

Классификация треугольников по сторонам и по угламСкачать