Касательная и радиус окружности образуют прямой угол

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Угол между хордой и касательнойСкачать

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Видео:Геометрия К окружности радиусом 12 см проведены две касательные, образующие прямой угол. ПрямаяСкачать

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!Скачать

Касательная к окружности, почему прямой угол?

Окружность — это множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центра окружности. Центр окружности как правило обозначается литерой «О». Расстояние от центра «О» до любой из точек окружности называется радиусом. Радиус обозначается литерой «R» или «r».

Касательная — это прямая линия, которая касается окружности только в одной точке. Потому и касательная. Другими словами, окружность и касательная имеют только одну общую точку, назовем ее точкой касания.

Если прямая линия имеет две общих точки с окружностью, то такая линия пересекает окружность, а значит, касательной не является. Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°.

— А почему 90°? Не понимаю. — Сказала дочь и погрустнела. — Я вообще ничего в этой геометрии не понимаю.

Упс. Теперь пришла моя очередь выпасть в осадок.

— Ну как же! — бодро начал я, — Это же элементарно.

Когда я проходил эту тему в школе лет 40 назад, у меня вообще в этом месте вопросов не возникало. Все вроде по умолчанию понятно, на инстинктивном уровне. А тут, вишь ты, почему угол между касательной и радиусом именно прямой? Не 30, не 60, не 89,9, а именно 90°? Попробуй тут объясни.

— Вам что, на уроке не объясняли?

— Мы эту тему в прошлом году проходили. Я еще тогда ничего не поняла.

— Чего ж тогда не сказала?! Ладно, щас объясню.

Дочка у меня звезд с неба не хватает, но учится в целом неплохо. На геометрию давно жалуется, но за помощью не подходит. Ей проще за 5 минут найти и списать ГДЗ, чем полчаса, а то и час слушать мои объяснения вперемешку с язвительными замечаниями по поводу знаний.

В этот вечер, а точнее ночь, началось все с того, что в начале одиннадцатого жена погнала детей спать, на что дочка ответила, что у нее еще геометрия не сделана. Дальше состоялся эмоциональный диалог, который меня и разбудил. Я вышел из спальни помочь ребенку решить задачу.

Задача такая: Наибольшая диагональ ромба равна 24 см, наименьший угол между сторонами — 60°. Определить радиус окружности, вписанной в ромб.

— Мда. Так сразу не решу. — Я зевнул, прощаясь с остатками сна. — Давай эти словесные формулировки трансформируем в зрительные образы, так оно понятнее будет.

Я потянулся за тетрадью, но был остановлен.

— Это у меня чистовик!

— Оба-на! А черновик где?

— У меня нет черновика, я сразу в чистовик делаю.

Блллллин. Получается ребенок настолько ничего не понимает в геометрии, что даже черновик себе не завел. Тупо копирует ГДЗ в чистовик, даже не пытаясь разобраться. Плохи дела!

— Ну, — говорю, — то, что ты циркуль не любишь, потому что он колется, это я еще могу понять, планшетное поколение все-таки. Но вот как можно разобраться в задачах по геометрии без черновика? Ведь восьмой класс уже.

В общем, нашли листок в клетку. Я нарисовал ромб, диагонали, окружность, вписанную в ромб, радиусы окружности, проведенные в точки касания. Все это без циркуля, транспортира (тоже давно в руках у дочери не видел) и линейки. Только простой карандаш. Получилось примерно так:

— Во! Совсем другое дело! Ну, смотри. Так как АС = 24 см, то ОА = АС/2 = 24/2 = 12 см. При этом угол ОАВ= углу DАВ/2 = 60/2 = 30. Пока понятно?

— Хорошо, попробуем поподробнее. Одна из особенностей ромбов в том, что между диагоналями ромба всегда образуются прямые углы, Т.е. угол АОВ — прямой. — Я добавил соответствующий значок на рисунок.

— Все потому, что любой ромб с одной диагональю можно рассматривать как два одинаковых равнобедренных треугольника с одной общей стороной. Например АDВ и DВС. Их общая сторона DВ — это и есть одна из диагоналей ромба. Далее, мы знаем, что у любого треугольника есть высота. Знаем, нет?

— Уже хорошо. Высота — это прямая линия соединяющая вершину с основанием. Угол между высотой и основанием — 90°. У любого треугольника. Есть еще такое понятие, как биссектриса. Знаешь, что это?

— Да, такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

— Правильно. Так вот у равнобедренного треугольника высота и биссектриса совпадают. Таким образом АО – это высота треугольника АDВ и одновременно его биссектриса. Ну то есть так как треугольник АDВ равнобедренный, то у него равные по значению 2 стороны и два угла, а когда мы опускаем высоту из вершины, то получаем два прямоугольных треугольника АDО и АОВ. Два угла АDО и АОВ изначально были одинаковыми, прямые углы у треугольников тоже одинаковые. Соответственно и неизвестные углы тоже одинаковые и составляют половину от угла, из которого проведена высота. Если мы проведем биссектрису или высоту, что в данном случае одно и тоже, для угла DСВ, то высоты треугольников АDВ и DВС соединятся в одной точке, точке О и таким образом станут второй диагональю ромба. Вот поэтому угол между диагоналями ромба всегда прямой. Понятно?

— А значит мы имеем прямоугольный треугольник АОВ, у которого одна сторона равна половине диагонали ОА = АС/2 = 24/2 = 12 см, а угол ОАВ= углу DАВ/2 = 60/2 = 30. Соответственно сторона ОВ чему равна?

Дело в том, что не смотря на восьмой класс, ученикам еще не рассказывали про синусы-косинусы (похоже берегут психику современных детей). Их просто заставили выучить следующую аксиому: У прямоугольного треугольника сторона, противоположная углу 30 равна 1/2 гипотенузы. Поэтому и в условии задачи угол DАВ = 60°.

— Правильно, 6 см. – Тут я спросонья тупанул, перепутал катет с гипотенузой. – Осталось найти радиус… Так, значит, вот радиусы, вот стороны ромба, они касательные к окружности. Значит угол между радиусом ОМ и касательной АВ прямой. Так… Тут через подобие треугольников АМО и МОВ решать надо. Сейчас-сейчас… Ясно, что меньше 6 см, где то 5,1-5.2, но придется повозиться. А что там в твоем ГДЗ пишут?

— Как 6 см?! Они гонят, ведь тут же. А нет, это я гоню, катет с гипотенузой перепутал. Не тот прямоугольный треугольник рассматривал. — Я добавил знак прямого угла в углу АМО. — Ну да, задача совсем простая, так как треугольник АОМ прямоугольный, то при угле ОАВ = 30° и длине гипотенузы АО = 12 см ОМ = АО/2 = 12/2 = 6 см. Стоило меня из-за такой мелочи будить?

— Па, а почему угол между радиусом и касательной — прямой?

Тут я понял, что начинать нужно действительно издалека и рассказал то, что изложено в начале статьи. Дочь слушала, но понимания в ее глазах я не видел.

— Хорошо, давай от противного. Предположим, что угол между радиусом и касательной не прямой. Что это означает? Это означает, что если мы проведем окружность через эту точку, а для этого как раз и нужен циркуль, то увидим, что линия пересекает окружность еще в одной точке. При этом угол ОАВ = углу АВС. А как мы уже говорили, если прямая имеет с окружностью две общих точки, то такая прямая не является касательной, а пересекает окружность, понятно?

— Хорошо, копнем еще глубже. Вот смотри, есть некая прямая DN и есть несколько точек, например А, О, С. Как определить расстояние от DN до любой из этих точек?

— Провести прямую! — подсказала из спальни жена.

— Правильно. Но не просто прямую, а прямую, перпендикулярную DN и проходящую через рассматриваемую точку, например О. — Я нарисовал перпендикуляр и обозначения прямого угла. — Таким образом мы можем сказать, что линия ОN делит развернутый угол DMN (любую прямую мы можем рассматривать как развернутый угол) на два одинаковых угла и эти углы — прямые. Ну то есть линию DN мы можем соединить с точкой О любым количеством отрезков, но при этом все отрезки будут длиннее, чем отрезок ОМ. Вот смотри.

Я пририсовал отрезок NO.

— Таким образом мы получили прямоугольный треугольник MNO. Если мы представим, что ON — это радиус, то отрезок такой же длины будет у треугольника DMO. Тут мы как бы опять возвращаемся к особенностям равнобедренного треугольника, в данном случае треугольника DNO. То есть DM = DN, DO = ON, угол MDO = углу MNO, угол MOD = углу MON. И если мы теперь нарисуем окружность с радиусом ON, то увидим, что радиусы ON и DO — это не самые короткие расстояния до прямой DN. А самое короткое расстояние — это отрезок ОМ, который одновременно является высотой треугольника ODN и биссектрисой угла NOD. Так понятно?

— Вроде да. А почему любой треугольник, вписанный в окружность так, что его гипотенуза совпадает с диаметром окружности, является прямоугольным. Мы это недавно проходили, но я не поняла.

Было уже начало первого и я был не готов опять погружаться в глубины геометрии.

— Я тебе потом объясню. На синусах-косинусах, а сейчас уже время позднее, спи давай.

Тем не менее сам я заснуть не смог и начал крутить в полусонном уме эту задачку. Тут все не так наглядно, как с касательной, но тем не менее, должно же быть какое-то достаточно простое объяснение, понятное даже ученику восьмого класса?!

К 3 часам я нашел пару возможных объяснений.

1. Проведем радиус в точку В. Таким образом имеем 2 треугольника АВО и ВОС — оба равнобедренные, их бедра — радиусы окружности. Мы не знаем значения углов в этих треугольниках, но это не проблема! Например угол ВОА = х, то есть тупо нам неизвестен. Тогда угол ОВА = углу ОАВ = (180 -х)/2. По вышеизложенным причинам и потому, что сумма углов треугольника всегда равна 180°.

АОС — это у нас развернутый угол, равный 180°. Соответственно угол ВОС = 180 — х. Тогда угол ОВС = углу ОСВ = (180 — угол ВОС)/2 = (180 — 180 + х)/2 = х/2.

Так как угол АВС = угол ОВА + угол ОВС = (180 -х)/2 + х/2 = 180/2 = 90°. Вне зависимости от того, какое значение имеет неизвестная величина х.

Вроде бы красивое решение, но спать еще не хотелось (проклятый мозг перевозбудился). Поэтому второй возможный вариант выглядел так:

2. Вернемся к рисунку . Если мы продлим сторону ОN так, чтобы она стала диаметром, т.е. АN = D = 2R = 2ON, а точку А соединим с точкой D, то получим треугольник ADN.

У треугольника MNO и DNA есть общий угол MNO, ON = NA/2, MN = DN/2. Т.е. эти треугольники — подобные. Отсюда следует, что угол DAN = углу МОА, а угол ADN = углу OMN и является прямоугольным.

Но тут опять же, я рассуждал, то ли сидя, то ли лежа на вершине своего жизненного опыта. Я ж не знаю, какую тему дети уже проходили в школе, а какую — нет. Возможно и подобные треугольники будут для моей дочери великим откровением. Как знать.

А какой вариант можете предложить вы? Мне-то по-любому еще придется искать решение под синусы-косинусы. В общем ни хрена я не выспался. Заснул только под утро, часов в 5 или в 6. Будь она неладна эта геометрия, не дает нормальным людям спать! А особенно касательная с окружности, да еще и под прямым углом.

P.S. Дочка на следующий день принесла из школы отличную оценку по геометрии, а из предложенных мной двух вариантов объяснения, почему любой треугольник вписанный в окружность так, что его гипотенуза совпадает с диаметром, является прямоугольным, выбрала второй. И вроде бы можно порадоваться, но меня смутил ответ на вопрос:

— Ну так что, теперь все понятно?

— Кое-что начинает проясняться.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

Категории:	Расчет конструкций . Основы прикладной геометрии
Оценка пользователей:	10.0 (голосов: 1)
Переходов на сайт:	346
Комментарии: Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта). 📹 Видео ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.Скачать 8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать Построение касательной к окружностиСкачать #4 Самое сложное задание 16 ОГЭ 2021. Углы в окружности. Касательная к окружности.Скачать Угол между хордой и касательнойСкачать Касательная и секущая к окружности.Скачать Угол между хордой и касательной. 9 класс.Скачать Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать Секретная теорема из учебника геометрииСкачать №635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности.Скачать Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать Прямая касается окружности в точке K ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 60 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 40 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности диаметром 20 Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности диаметром Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле Электрон и протон ускоренные разностью потенциалов движутся по окружности Шарик скатывается по желобу изогнутому в виде дуги окружности