Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Определение 1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника (Рис.1).

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника также называют биссектрисей угла треугольника или биссектрисей внутреннего угла треугольника.

Биссектриса внешнего угла треугольника − это биссектриса угла, которая является смежным с внутренним углом треугольника (Рис.2).

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника

Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника

Доказательство. Проведем биссектрисы AA1, BB1 и обозначим через O точку их пересечения (Рис.3). Из точки O проведем перпендикуляры OK, OM и OL по сторонам треугольника ABC. По теореме 1 статьи Биссектриса угла. Свойства − OK=OL OK=OM. Следовательно OL=OM. Но последнее равенство означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC, т.е. находится на биссектрисе CC1 (Определение 2 статьи Биссектриса угла. Свойства).

Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром треугольника. Инцентр треугольника является центром вписанной в треугольник окружности (Рис.4).

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника

Доказательство следует из теоремы 1, поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC и, следовательно, является центром окружности равной OK=OL=OM.

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Длина биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольник на Рис.5.

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника

где p − полупериметр треугольника ABC, ( small gamma -) угол между биссектрисой ( small l_c) и вершиной ( small h_c:)

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника, Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника

Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника(1)

А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если lc является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника(2)

Поскольку Калькулятор уравнения биссектрисы треугольникато (2) можно переписать так:

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника(3)
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника(4)
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника(5)

Подставим (4) и (5) в (1):

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольникаКалькулятор уравнения биссектрисы треугольника
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.(6)
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника

Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольникаКалькулятор уравнения биссектрисы треугольникаКалькулятор уравнения биссектрисы треугольникаКалькулятор уравнения биссектрисы треугольника,
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.(7)
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника(8)

Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.(9)

Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольникаКалькулятор уравнения биссектрисы треугольника.
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника(10)

Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника,
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника,
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.

Учитывая, что Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника, получим:

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольникаКалькулятор уравнения биссектрисы треугольника
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.(11)

Для ( small sin C ) применим формулу синуса двойного угла:

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.(12)

Подставляя (12) в (11) получим:

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольникаКалькулятор уравнения биссектрисы треугольника.
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника(13)

Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.
Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.

Остается показать, что Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника.

Поскольку биссектриса lc делит угол C пополам, то:

Видео:найти уравнения биссектрис углов между прямымиСкачать

найти уравнения биссектрис углов между прямыми

Уравнение перпендикулярной биссектрисы

Перпендикуляром является линия или луч, который делит отрезок на две равные части под углом 90 градусов. Биссектриса — линия или луч, который делит отрезок на две равные части.

Рассчитать онлайн уравнения перпендикулярной биссектрисы при заданных значениях координат X и Y для точек A и B.

В приведенном ниже изображении, АВ перпендикуляр линии PQ и точка F является серединой, отрезка АВ.

Калькулятор уравнения биссектрисы треугольника

Пример

Найти уравнение перпендикуляра биссектрисы для отрезка с точками Р (5,7), Q (6,6).

Для начала необходимо вычислить среднюю точку линии PQ, точку F

Шаг 1

Рассчитываем координаты средней точки отрезка по формуле:

Середина отрезка = x1 + x2 / 2, y1 + y2 / 2

Середины отрезка PQ = 5 + 6/2, 7 + 6/2 = (11/2, 13/2)

Шаг 2

Далее, мы должны найти наклон линии PQ, используя формулу
y2-y1 / X2-X1.

Обратите внимание, что наклон обозначается буквой «М».
Наклон PQ (м) = 6-7 / 6-5 = -1.

Шаг 3

Теперь, давайте вычислить наклон перпендикуляра (AB) линии PQ.Наклон перпендикуляре = -1 / наклон линии.
Поэтому для AB = -1 / -1 = 1

Шаг 4

После того, как мы находим наклон, как описано выше, мы можем найти уравнение с наклоном и серединой. Найдем уравнение АВ с серединой (11/2, 13/2) и наклоном 1.

Формулы для нахождения уравнения

Получим уравнение х + у = 1.

🔥 Видео

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин

Найдите биссектрису треугольникаСкачать

Найдите биссектрису треугольника

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Уравнение биссектрисы углаСкачать

Уравнение биссектрисы угла

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы угла

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Свойства биссектрисы треугольникаСкачать

Свойства биссектрисы треугольника

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

В Δ с гипотенузой 5 угол между высотой и биссектрисой равен 30° ★ Найдите площадь ΔСкачать

В Δ с гипотенузой 5 угол между высотой и биссектрисой равен 30° ★ Найдите площадь Δ

3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 ★ Как решать?Скачать

Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 ★ Как решать?

Свойство биссектрисы треугольникаСкачать

Свойство биссектрисы треугольника

Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Уравнение биссектрисы угла (устар.)Скачать

Уравнение биссектрисы угла (устар.)

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика
Поделиться или сохранить к себе: