Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.
| № | Треугольник Паскаля |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 |
| 6 | 1 6 15 20 15 6 1 |
| … | … |
Треугольник Паскаля можно получить из таблицы натуральных степеней бинома x + y
Натуральные степени бинома x + y
| № | Степень | Разложение в сумму одночленов |
| 0 | (x + y) 0 = | 1 |
| 1 | (x + y) 1 = | 1x + 1y |
| 2 | (x + y) 2 = | 1x 2 + 2xy + 1y 2 |
| 3 | (x + y) 3 = | 1x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + 1y 3 |
| 4 | (x + y) 4 = | 1x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + 1y 4 |
| 5 | (x + y) 5 = | 1x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + 1y 5 |
| 6 | (x + y) 6 = | 1x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + 1y 6 |
| … | … | … |
Свойства треугольника Паскаля
- Сумма чисел n-ной строки (отсчет ведется с нуля) треугольника Паскаля равна 2 n . Действительно, при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 2 0 =1 .
- Все строки треугольника Паскаля симметричны. Потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична.
- Каждое число в треугольнике Паскаля равно Cn k , где n — номер строки, k — номер (отсчет ведется с нуля) элемента в строке.
- Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный диагоналями, на пересечении которых находится этот элемент.
- Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа, тетраэдрические числа и т.д.
- Если посчитать для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, то получится соответствующее число Фибоначчи.
Определения
Треугольными числами называется количество шаров, которые можно выложить в виде равностороннего треугольника.
Тетраэдрическими числами называется количество шаров, которые можно выложить в виде правильного тетраэдра.
Последовательность f1 = f2 = 1 , fn = fn−1 + fn−2 при n>2 называется последовательностью Фибоначчи, а ее члены — числами Фибоначчи.
Написать разложение вида: (x + y) 7
Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером 6 и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером 7:
Треугольник Паскаля
Если говорить о треугольнике Паскаля, то его можно охарактеризовать как бесконечную таблицу. В данной таблице используются биномиальные коэффициенты. А сама таблица представлена в виде треугольника. Чтобы произвести расчет, можно использовать калькулятор, где указывается только количество строк. При самостоятельном расчете потребуется время и знание формул.
Как уже говорилось, данный треугольник представляет собой таблицу, начинается которая с нулевой строки. Вершина таблицы и боковые стороны каждой строки имеют единицы. Остальные числа (в середине) равны сумме 2-ух чисел, которые находятся в предыдущей строке (над ними).
В данном случае используются натуральные степени бинома: х+у
Для нулевой строки: (x + y)° =
Для первой: (x + y)¹ =
Для второй: (x + y)² =
И так далее.
Если разложить в сумму одночленов, получим для нулевой: 1
Для первой: 1x + 1y
Для второй: 1x² + 2xy + 1y²
Треугольника Паскаля, для расчетов используется формула:
где
All-Calc.com
Архивы
Треугольник Паскаля
Данный калькулятор строит треугольник Паскаля заданного размера.
Треугольник Паскаля представляет собой таблицу чисел в виде треугольника. Числа, находящиеся в таблице являются биномиальными коэффициентами, т.е. коэффициентами перед слагаемыми при раскрытии выражения вида (a+b)^n.
Строки треугольника отсчитываются начиная с нулевой (нулевая, первая, вторая и т.д.) с вершины. Чтобы найти коэффициенты при раскрытии выражения (a+b)^n необходимо воспользоваться n-ой строкой. При этом i-ый коэффициент в строке будет стоять перед слагаемым вида a^(n-i)*b^(i), элементы в строке отсчитываются с нулевого.
Рассмотрим это на примере раскрытия квадрата суммы. Известная формула (a+b)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2. Теперь посмотрим на коэффициенты второй строки в треугольнике Паскаля: 1 2 1. Попробуем раскрыть выражение при помощи треугольника Паскаля:
(a+b)^2 = 1*a^(2-0) + 2 * a^(2-1) * b^1 + 1 * b^2 = a^2 + 2*a*b + b^2. Формулы совпали.
Чтобы воспользоваться калькулятором, введите количество строк (n) в треугольнике, который хотите получить (обычно в качестве n используется степень раскрываемого выражения). Калькулятор построит треугольник нужного размера и по полученным коэффициентам можно будет раскрыть скобки.