Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник: решение
Содержание
  1. Содержание:
  2. Особенности явления
  3. Способ вычислить площадь круга, вписанного в треугольник
  4. Задачи
  5. Как найти площадь треугольника
  6. Основные понятия
  7. Формула площади треугольника
  8. Общая формула
  9. 1. Площадь треугольника через основание и высоту
  10. 2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
  11. 3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
  12. 4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
  13. 5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
  14. 6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
  15. Для прямоугольного треугольника
  16. Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
  17. Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
  18. Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
  19. Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
  20. Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
  21. Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
  22. Для равнобедренного треугольника
  23. Вычисление площади через основание и высоту
  24. Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
  25. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  26. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  27. Площадь равностороннего треугольника через сторону
  28. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  29. Таблица формул нахождения площади треугольника
  30. Найти площадь вписанной окружности в треугольник
  31. Как найти площадь треугольника
  32. По формуле Герона
  33. Через основание и высоту
  34. Через две стороны и угол
  35. Через сторону и два прилежащих угла
  36. Площадь прямоугольного треугольника
  37. Площадь равнобедренного треугольника через стороны
  38. Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
  39. Площадь равностороннего треугольника через стороны
  40. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  41. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  42. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  43. Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
  44. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
  45. Как найти площадь треугольника
  46. Основные понятия
  47. Формула площади треугольника
  48. Общая формула
  49. 1. Площадь треугольника через основание и высоту
  50. 2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
  51. 3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
  52. 4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
  53. 5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
  54. 6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
  55. Для прямоугольного треугольника
  56. Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
  57. Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
  58. Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
  59. Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
  60. Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
  61. Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
  62. Для равнобедренного треугольника
  63. Вычисление площади через основание и высоту
  64. Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
  65. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  66. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  67. Площадь равностороннего треугольника через сторону
  68. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  69. Таблица формул нахождения площади треугольника
  70. Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник: решение
  71. Содержание:
  72. Особенности явления
  73. Способ вычислить площадь круга, вписанного в треугольник
  74. Задачи

Содержание:

В геометрии встречаются понятия описанной и вписанной геометрических фигур. Описанным будет треугольник, через вершины которого проходит окружность, вписанным – если его стороны соприкасаются с кругом. Такое построение в обоих случаях обладает рядом особенностей, которые применяются на практике и упрощают решение задач. Рассмотрим свойства и формулы для расчёта описанного 3-угольника.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Особенности явления

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Окружность с центром O, проходящая через одну из точек: D, E либо F обязательно будет лежать и на двух остальных. Прямые, разделяющие углы пополам, или биссектрисы равностороннего треугольника пересекаются в общей точке – центре вписанной окружности, который находится на одинаковом удалении от сторон геометрической фигуры.

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Из вышесказанного следуют свойства:

  • В треугольник вписывается лишь один круг.
  • Его центр находится на одинаковом расстоянии от ближайших точек на сторонах 3-угольника.
  • Перпендикуляры, опущенные из центра O, и биссектрисы пересекаются в одной точке, называемой центром вписанной окружности.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Способ вычислить площадь круга, вписанного в треугольник

Для вычисления площади, если дан только размер стороны правильного треугольника, применяется ряд формул.
S=πr 2 .

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольникa, где:

  • a – длина стороны геометрической фигуры;
  • r – радиус круга, расположенного внутри многоугольника с тремя равными сторонами.

После подстановки значения получается выражение для вычисления площади вписанной окружности:

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник.

В задачах могут давать длину сторон, тогда Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник
Выражение Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольникдля равностороннего треугольника можно записать в виде Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольниктак как 3-угольник равносторонний. С иной стороны Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник– это полупериметр рассматриваемой геометрической фигуры – p.

Зная это, формула записывается в виде: S = r * p.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Задачи

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

В формулу подставим длину сторон треугольника, после вычислений получим результат.

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Вычислить занимаемое вписанным в 3-угольник кругом пространство, если его сторона равна 10 см.

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольникДля вычислений необходимо найти радиус r.

Известно, что он определяется по формуле:

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

После преобразований выражение упрощается до Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник.

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник– полупериметр.

Начинаем проводить вычисления.

P = a + a + a = 10 +10 +10 или 10 * 3 = 30 см.

Видео:Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

Как найти площадь треугольника

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Найти площадь вписанной окружности в треугольник

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Видео:Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71Скачать

Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71

Как найти площадь треугольника

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Видео:Вписанная окружность в равностороннем треугольникеСкачать

Вписанная окружность  в равностороннем треугольнике

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Видео:Сможешь найти радиус вписанной окружности?Скачать

Сможешь найти радиус вписанной окружности?

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Видео:Площадь многоугольника через радиус вписанной окружностиСкачать

Площадь многоугольника через радиус вписанной окружности

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник: решение

Содержание:

В геометрии встречаются понятия описанной и вписанной геометрических фигур. Описанным будет треугольник, через вершины которого проходит окружность, вписанным – если его стороны соприкасаются с кругом. Такое построение в обоих случаях обладает рядом особенностей, которые применяются на практике и упрощают решение задач. Рассмотрим свойства и формулы для расчёта описанного 3-угольника.

Особенности явления

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Окружность с центром O, проходящая через одну из точек: D, E либо F обязательно будет лежать и на двух остальных. Прямые, разделяющие углы пополам, или биссектрисы равностороннего треугольника пересекаются в общей точке – центре вписанной окружности, который находится на одинаковом удалении от сторон геометрической фигуры.

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Из вышесказанного следуют свойства:

  • В треугольник вписывается лишь один круг.
  • Его центр находится на одинаковом расстоянии от ближайших точек на сторонах 3-угольника.
  • Перпендикуляры, опущенные из центра O, и биссектрисы пересекаются в одной точке, называемой центром вписанной окружности.

Способ вычислить площадь круга, вписанного в треугольник

Для вычисления площади, если дан только размер стороны правильного треугольника, применяется ряд формул.
S=πr 2 .

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольникa, где:

  • a – длина стороны геометрической фигуры;
  • r – радиус круга, расположенного внутри многоугольника с тремя равными сторонами.

После подстановки значения получается выражение для вычисления площади вписанной окружности:

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник.

В задачах могут давать длину сторон, тогда Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник
Выражение Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольникдля равностороннего треугольника можно записать в виде Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольниктак как 3-угольник равносторонний. С иной стороны Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник– это полупериметр рассматриваемой геометрической фигуры – p.

Зная это, формула записывается в виде: S = r * p.

Задачи

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

В формулу подставим длину сторон треугольника, после вычислений получим результат.

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

Вычислить занимаемое вписанным в 3-угольник кругом пространство, если его сторона равна 10 см.

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольникДля вычислений необходимо найти радиус r.

Известно, что он определяется по формуле:

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник

После преобразований выражение упрощается до Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник.

Как вычислить площадь вписанной окружности в треугольник– полупериметр.

Начинаем проводить вычисления.

P = a + a + a = 10 +10 +10 или 10 * 3 = 30 см.

Поделиться или сохранить к себе: