Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Как вписать окружность в тупоугольный треугольникСерединный перпендикуляр к отрезку
Как вписать окружность в тупоугольный треугольникОкружность описанная около треугольника
Как вписать окружность в тупоугольный треугольникСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Как вписать окружность в тупоугольный треугольникДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Содержание
  1. Серединный перпендикуляр к отрезку
  2. Окружность, описанная около треугольника
  3. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  4. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
  5. Окружность, вписанная в треугольник
  6. «Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
  7. Описание презентации по отдельным слайдам:
  8. Краткое описание документа:
  9. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  10. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  11. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  12. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  13. Дистанционные курсы для педагогов
  14. Другие материалы
  15. Вам будут интересны эти курсы:
  16. Оставьте свой комментарий
  17. Автор материала
  18. Дистанционные курсы для педагогов
  19. Подарочные сертификаты
  20. Вписать окружность в тупоугольном треугольнике
  21. Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
  22. Серединный перпендикуляр к отрезку
  23. Окружность, описанная около треугольника
  24. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  25. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
  26. Вписанная окружность
  27. Свойства вписанной окружности
  28. В треугольник
  29. В четырехугольник
  30. Примеры вписанной окружности
  31. Верные и неверные утверждения
  32. Окружность вписанная в угол
  33. Окружность, вписанная в треугольник
  34. «Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
  35. Дистанционные курсы для педагогов
  36. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  37. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  38. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  39. Оставьте свой комментарий
  40. Дистанционные курсы для педагогов
  41. Подарочные сертификаты
  42. 📹 Видео

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Как вписать окружность в тупоугольный треугольникВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаКак вписать окружность в тупоугольный треугольникОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольникЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольникЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовКак вписать окружность в тупоугольный треугольник
Площадь треугольникаКак вписать окружность в тупоугольный треугольник
Радиус описанной окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольник
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Построить окружность, вписанную в треугольникСкачать

Построить окружность, вписанную в треугольник

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Окружность, вписанная в треугольник

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружность

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Описание презентации по отдельным слайдам:

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Окружность, вписанная в треугольник

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности. A B C O

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

A B C D F E M N O K r r r Как вписать в окружность треугольник В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника. Проведём биссектрисы треугольника: АK, ВM, СN. Построим перпендикуляры ОD, OE, OF, которые равны между собой, т.к. равны соответствующие треугольники. Получаем ОD= OE= OF=r.

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник 1.Строим две биссектрисы треугольника. Точка пересечения — центр вписанной окружности. 2. Строим перпендикуляр на основание из точки пересечения. 3. Этот перпендикуляр является радиусом вписанной окружности. 4. Строим вписанную окружность.

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Задача №1 Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный треугольник; 2. тупоугольный треугольник; 3. прямоугольный треугольник. Самостоятельная работа Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный равнобедренный треугольник; 2. тупоугольный равнобедренный треугольник; 3. прямоугольный равнобедренный треугольник.

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Положение центра вписанной окружности

Краткое описание документа:

Презентация по геометрии для урока в 8 классе создана для наглядного изучения вопроса о том, как вписать окружность в треугольник. В ней просто и доходчиво доказывается, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника. Важная часть презентации — это то, что в ней показан алгоритм построения окружности, вписанной в треугольник. В презентации есть три задачи для закрепления нового материала. Также даны задачи для самостоятельной работы, решение которых поможет ребятам ещё лучше разобраться в новой теме. Последний слайд обращает внимание ребят на положение центра окружности, вписанной в треугольник.

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 318 человек из 69 регионов

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 695 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 480 743 материала в базе

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

  • 13.05.2015
  • 3535
  • 13.05.2015
  • 764
  • 13.05.2015
  • 601
  • 13.05.2015
  • 3371
  • 13.05.2015
  • 1210
  • 13.05.2015
  • 619
  • 13.05.2015
  • 701

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 13.05.2015 6217 —> —> —> —>
  • PPTX 227.7 кбайт —> —>
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сазонова Татьяна Фёдоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

  • На проекте: 7 лет
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 30138
  • Всего материалов: 17

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Дистанционные курсы
для педагогов

548 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Первые результаты по сокращению отчетности у учителей ожидаются осенью

Время чтения: 1 минута

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Крупнейшие вузы Татарстана откроют цифровые кафедры в 2022 году

Время чтения: 1 минута

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Федеральный перечень учебников будет дополнен новыми учебниками

Время чтения: 3 минуты

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Пандемия позволила детям получить больше внимания со стороны родителей

Время чтения: 1 минута

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

«Учителя года» проведут открытые занятия для педагогов России

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:4K Как вписать окружность в треугольник, inscribed circle for triangleСкачать

4K Как вписать окружность в треугольник, inscribed circle for triangle

Вписать окружность в тупоугольном треугольнике

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Как вписать окружность в тупоугольный треугольникСерединный перпендикуляр к отрезку
Как вписать окружность в тупоугольный треугольникОкружность описанная около треугольника
Как вписать окружность в тупоугольный треугольникСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Как вписать окружность в тупоугольный треугольникДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение равностронего треугольника.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Как вписать окружность в тупоугольный треугольникВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаКак вписать окружность в тупоугольный треугольникОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольникЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольникЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиКак вписать окружность в тупоугольный треугольник

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Вписанная окружность

Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac (a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac (a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Как вписать окружность в тупоугольный треугольник
    • Четырехугольник
      Как вписать окружность в тупоугольный треугольник
    • Многоугольник
      Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Задание 24 Тупоугольный вписанный треугольник ПлощадьСкачать

    Задание 24 Тупоугольный вписанный треугольник  Площадь

    Окружность, вписанная в треугольник

    Видео:В тупоугольном треугольнике все углы тупые. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В тупоугольном треугольнике все углы тупые. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    «Управление общеобразовательной организацией:
    новые тенденции и современные технологии»

    Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

    Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Дистанционные курсы для педагогов

    Описание презентации по отдельным слайдам:

    Окружность, вписанная в треугольник

    Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности. A B C O

    A B C D F E M N O K r r r Как вписать в окружность треугольник В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника. Проведём биссектрисы треугольника: АK, ВM, СN. Построим перпендикуляры ОD, OE, OF, которые равны между собой, т.к. равны соответствующие треугольники. Получаем ОD= OE= OF=r.

    Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник 1.Строим две биссектрисы треугольника. Точка пересечения — центр вписанной окружности. 2. Строим перпендикуляр на основание из точки пересечения. 3. Этот перпендикуляр является радиусом вписанной окружности. 4. Строим вписанную окружность.

    Задача №1 Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный треугольник; 2. тупоугольный треугольник; 3. прямоугольный треугольник. Самостоятельная работа Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный равнобедренный треугольник; 2. тупоугольный равнобедренный треугольник; 3. прямоугольный равнобедренный треугольник.

    Положение центра вписанной окружности

    Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    Курс повышения квалификации

    Дистанционное обучение как современный формат преподавания

    • Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов

    Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    Курс повышения квалификации

    Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

    • Сейчас обучается 318 человек из 70 регионов

    Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    Курс профессиональной переподготовки

    Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

    • Сейчас обучается 698 человек из 75 регионов

    Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

    Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    Презентация по геометрии для урока в 8 классе создана для наглядного изучения вопроса о том, как вписать окружность в треугольник. В ней просто и доходчиво доказывается, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника. Важная часть презентации — это то, что в ней показан алгоритм построения окружности, вписанной в треугольник. В презентации есть три задачи для закрепления нового материала. Также даны задачи для самостоятельной работы, решение которых поможет ребятам ещё лучше разобраться в новой теме. Последний слайд обращает внимание ребят на положение центра окружности, вписанной в треугольник.

    • Сазонова Татьяна ФёдоровнаНаписать 6171 13.05.2015

    Номер материала: 278228

      13.05.2015 3072
      13.05.2015 653
      13.05.2015 508
      13.05.2015 2285
      13.05.2015 1059
      13.05.2015 499
      13.05.2015 543

    Не нашли то, что искали?

    Вам будут интересны эти курсы:

    Оставьте свой комментарий

    Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

    Московский институт профессиональной
    переподготовки и повышения
    квалификации педагогов

    Видео:Окружность построена на высоте тупоугольного треугольникаСкачать

    Окружность построена на высоте тупоугольного треугольника

    Дистанционные курсы
    для педагогов

    530 курсов от 690 рублей

    Выбрать курс со скидкой

    Выдаём документы
    установленного образца!

    Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

    Время чтения: 11 минут

    Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    В Госдуме обсудят введение обязательных тестов на наркотики в школах

    Время чтения: 1 минута

    Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

    Время чтения: 11 минут

    Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    В Подмосковье вводят систему голосования оценки качества школьных столовых

    Время чтения: 1 минута

    Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

    Время чтения: 1 минута

    Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

    Время чтения: 1 минута

    Как вписать окружность в тупоугольный треугольник

    В России ежегодно будут обучать плаванию не менее 500 тыс. детей

    Время чтения: 2 минуты

    Подарочные сертификаты

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

    📹 Видео

    Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.
    Поделиться или сохранить к себе: