Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как вписать окружность в треугольник 8 классСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как вписать окружность в треугольник 8 классФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как вписать окружность в треугольник 8 классВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Содержание
  1. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  2. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  3. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  4. Окружность, вписанная в треугольник
  5. Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
  6. Описание презентации по отдельным слайдам:
  7. Краткое описание документа:
  8. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  9. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  10. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  11. Дистанционные курсы для педагогов
  12. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  13. Другие материалы
  14. Вам будут интересны эти курсы:
  15. Оставьте свой комментарий
  16. Автор материала
  17. Дистанционные курсы для педагогов
  18. Подарочные сертификаты
  19. Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение
  20. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник
  21. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
  22. Формулировка теоремы о вписанной окружности
  23. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник
  24. 🔥 Видео

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как вписать окружность в треугольник 8 класс.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак вписать окружность в треугольник 8 класс
Равнобедренный треугольникКак вписать окружность в треугольник 8 класс
Равносторонний треугольникКак вписать окружность в треугольник 8 класс
Прямоугольный треугольникКак вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как вписать окружность в треугольник 8 класс.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как вписать окружность в треугольник 8 класс.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Произвольный треугольник
Как вписать окружность в треугольник 8 класс
Равнобедренный треугольник
Как вписать окружность в треугольник 8 класс
Равносторонний треугольник
Как вписать окружность в треугольник 8 класс
Прямоугольный треугольник
Как вписать окружность в треугольник 8 класс
Произвольный треугольник
Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как вписать окружность в треугольник 8 класс.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как вписать окружность в треугольник 8 класс.

Равнобедренный треугольникКак вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Равносторонний треугольникКак вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как вписать окружность в треугольник 8 класс– полупериметр (рис. 6).

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

с помощью формулы Герона получаем:

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, вписанная в треугольник

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Описание презентации по отдельным слайдам:

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Окружность, вписанная в треугольник

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности. A B C O

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

A B C D F E M N O K r r r Как вписать в окружность треугольник В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника. Проведём биссектрисы треугольника: АK, ВM, СN. Построим перпендикуляры ОD, OE, OF, которые равны между собой, т.к. равны соответствующие треугольники. Получаем ОD= OE= OF=r.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник 1.Строим две биссектрисы треугольника. Точка пересечения — центр вписанной окружности. 2. Строим перпендикуляр на основание из точки пересечения. 3. Этот перпендикуляр является радиусом вписанной окружности. 4. Строим вписанную окружность.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Задача №1 Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный треугольник; 2. тупоугольный треугольник; 3. прямоугольный треугольник. Самостоятельная работа Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный равнобедренный треугольник; 2. тупоугольный равнобедренный треугольник; 3. прямоугольный равнобедренный треугольник.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Положение центра вписанной окружности

Краткое описание документа:

Презентация по геометрии для урока в 8 классе создана для наглядного изучения вопроса о том, как вписать окружность в треугольник. В ней просто и доходчиво доказывается, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника. Важная часть презентации — это то, что в ней показан алгоритм построения окружности, вписанной в треугольник. В презентации есть три задачи для закрепления нового материала. Также даны задачи для самостоятельной работы, решение которых поможет ребятам ещё лучше разобраться в новой теме. Последний слайд обращает внимание ребят на положение центра окружности, вписанной в треугольник.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 943 человека из 80 регионов

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 679 человек из 75 регионов

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 306 человек из 67 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 502 613 материалов в базе

Другие материалы

  • 13.05.2015
  • 3538
  • 8
  • 13.05.2015
  • 764
  • 0
  • 13.05.2015
  • 601
  • 0
  • 13.05.2015
  • 3374
  • 140
  • 13.05.2015
  • 1211
  • 1
  • 13.05.2015
  • 621
  • 5
  • 13.05.2015
  • 702
  • 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 13.05.2015 6314
  • PPTX 227.7 кбайт
  • 6 скачиваний
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сазонова Татьяна Фёдоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

  • На сайте: 7 лет
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 30347
  • Всего материалов: 17

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

В Петербурге дали рекомендации по переводу школьников на дистант

Время чтения: 3 минуты

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

День памяти жертв холокоста включен в примерный план воспитательной работы

Время чтения: 1 минута

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Новые курсы: педагогический дизайн, ФГОС третьего поколения, управление школой и другие направления подготовки

Время чтения: 14 минут

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Большинство российских школьников недовольны качеством питания в столовых

Время чтения: 1 минута

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Рособрнадзор заявил о возможности переноса сроков проведения досрочного периода ГИА

Время чтения: 2 минуты

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

В Петербурге введут новые COVID-ограничения для несовершеннолетних

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение

Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука «геометрия» от греческих слов «геос» — земля и «метрио» — измеряю.

Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие — теорема Пифагора.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс Вам будет интересно: Казахская академия спорта и туризма. Факультеты, структура вуза

Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:

В треугольник можно вписать только одну окружность.

При таком расположении окружность — вписанная, а треугольник — описанный около окружности.

Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:

Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Видео:Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.

На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено — она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.

Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:

  • Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
  • Радиус окружности (вписанной) — это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.

Видео:Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.

Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника — периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулировка теоремы о вписанной окружности

В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

Как вписать окружность в треугольник 8 класс

На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник

Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.

Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.

🔥 Видео

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Вписанная окружность. Видеоурок по геометрии 8 классСкачать

Вписанная окружность. Видеоурок по геометрии 8 класс

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Вписанная окружностьСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Вписанная окружность

ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА радиус 8 классСкачать

ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА радиус 8 класс

Урок по теме ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 8 классСкачать

Урок по теме ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 8 класс

Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4
Поделиться или сохранить к себе: