Как вписать квадрат в окружность за 7

Видео:1 2 3 деление окружности на 7 равных частейСкачать

Определение

Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата и окружность, вписанная в квадрат.

Видео:Как вписать квадрат в окружностьСкачать

Формулы

Радиус вписанной окружности в квадрат

1. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:
   

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:

Радиус описанной окружности около квадрата

1. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:
   

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнаплощадь:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнадиагональ:

Сторона квадрата

1. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнаплощадь:
   

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнадиагональ:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата

1. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Периметр квадрата

1. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известенрадиус вписанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Диагональ квадрата

1. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Видео:Построение 7 угольника циркулем, приближенноеСкачать

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Свойства квадрата

• Длины всех сторон квадрата равны.
• Все углы квадрата прямые.
• Диагонали квадрата равны.
• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Видео:Euclidea - 1. Альфа (Alpha) - 1.7 - Квадрат, вписанный в окружностьСкачать

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

.

(1)

Из равенства (1) найдем d:

.

(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Видео:Как построить квадрат, два способаСкачать

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Видео:Построение 8 угольника циркулемСкачать

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Видео:ВПИСАТЬ И ОПИСАТЬ квадрат в окружность, окружность в квадратСкачать

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Видео:Построение правильного квадрата.Скачать

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

(5)

Из формулы (5) найдем R:

(6)

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

.

(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Видео:Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

.

(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

(9)

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

(13)

Из (13) следует, что

(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Как вписать квадрат в окружность за 7

В Euclidea нет встроенных решений. Проверяется не построение, а его результат.

Вероятно, ваше решение не принимается, поскольку оно приблизительное, то есть не является точным. Есть несколько способов это проверить:

Перечитайте условие задачи. Его можно посмотреть, нажав на карточку в левом верхнем углу экрана. Если вы забыли какое-нибудь определение, нажмите на знак вопроса, расположенный под условием.

Убедитесь, что искомый объект действительно построен. К примеру, вы могли забыть поставить точку на одном из концов отрезка.

Выберите инструмент «Перемещение» («Рука») и попробуйте подвигать разные точки. Решение должно удовлетворять условию задачи для любой конфигурации точек и фигур из условия.

Проверьте красные точки. Они не закреплены и их можно перемещать. В общем случае их не нужно избегать: некоторые оптимальные решения невозможны без красных точек. Однако стоит помнить, что, например, средняя точка или точка касания никогда не могут быть красными.

Войдите в режим Исследования (оранжевая кнопка) и посмотрите, как ответ зависит от конфигурации точек. Сравните это со своим решением.

Попробуйте доказать, что ваше построение удовлетворяет условию задачи. Визуального совпадения с правильным ответом недостаточно.

Если ничего не помогает, напишите нам, пожалуйста: support@euclidea.xyz.

Каждое решение оценивается в двух типах ходов: L (линии) и E (элементарные евклидовы построения). При этом построение точек не учитывается.

L подсчитывает действия инструментов: построение прямой, перпендикуляра, и так далее. E — количество ходов, как если бы построение делалось только с помощью настоящих циркуля и линейки. Каждый продвинутый инструмент имеет свою условную Е цену (см. таблицу).

Целью является решение задачи за наименьшее количество ходов. L и E цели могут достигаться независимо. Многие задачи имеют универсальное решение, удовлетворяющее обеим целям. Но некоторые задачи придётся решить дважды: одно решение, чтобы достигнуть L цели, второе — для E цели.

Если условию задачи удовлетворяет несколько фигур, вы можете получить скрытую V-звезду, построив их все на одном экране. Например, по заданной стороне можно построить два квадрата (V-звезда доступна), а если изначально дана диагональ, то квадрат определяется единственным образом (V-звезды нет). Обычно дополнительные решения получаются простым отражением или подразумевают некую симметрию.

Полезные подсказки:

Внимательно читайте формулировку задачи. Например, если в ней упоминается диагональ, рассмотрите варианты использования разных диагоналей.

Проверьте точки пересечения, на которых основано ваше построение. Например, окружность может пересекать прямую или другую окружность в двух точках. Если одна из этих точек используется при построении следующих фигур, попробуйте использовать для этого и вторую.

У некоторых задач может быть 3 или даже 4 ответа. Если вторая фигура принимается (подсвечена оранжевым), но V-звезда не дается, значит нужно продолжить поиск других ответов и достроить их.

В игре есть подсказки про V-звёзды. Они показывают количество ответов в текущем уровне. Откройте меню в правом верхнем углу игрового экрана (три горизонтальные линии), нажмите на «Лампочку» и выберите подсказку «V-звезда».

Нажмите на кнопку для вызова меню в правом верхнем углу игрового экрана, затем на стрелку вправо.

Чтобы переключить язык в игре:

1. Нажмите на шестерёнку на главном экране.
2. В открывшемся диалоге выберите второй пункт.
3. Выберите нужный язык в списке и нажмите на нижнюю кнопку, чтобы его применить.

Вы можете переносить свой игровой прогресс (полученные звёзды и сохраненные решения задач) между устройствами, используя учетную запись Euclidea. Авторизуйтесь, чтобы не потерять свои результаты.

Euclidea — это игра, соревнование. Наша цель — пробудить у людей желание изучать геометрию.

Euclidea не хочет лишать своих пользователей удовольствия самостоятельно найти решение. Поэтому мы не предоставляем готовых ответов к задачам, а только даём подсказки.

Если вы хотите продолжить игру без совершения встроенной покупки, необходимо собрать все звёзды в первых двух разделах. Пожалуйста, проверьте, что у вас всего 74 звезды. (См. Как найти скрытые V-звёзды?)

Примечание. После покупки звёзды перестают учитываться, и задачи открываются одна за другой по мере их решения. Можно также пропустить любую задачу.

Есть несколько способов играть в Euclidea бесплатно.

На мобильном устройстве (телефоне или планшете) с iOS либо Android:

• Решать каждую задачу на максимальный балл. Вы можете пройти всю игру, если получаете все звёзды (L, E и V). Это трудно, но возможно.
• Если у вас нет возможности приобрести встроенную покупку, снимающую это ограничение, но вы любите геометрию, то можно попросить промокод в нашей группе ВКонтакте. Там также помогут с решением задач, если они не поддаются.

• Играйте в браузерную версию Euclidea. В ней не надо собирать все звёзды, чтобы пройти дальше. Новые задачи открываются по мере решения предыдущих.

Android: Чтобы выйти из приложения Euclidea, используйте системную кнопку «назад». Если виртуальные кнопки скрыты, проведите пальцем вверх от нижнего края экрана для вызова панели навигации.

Точки не учитываются. Любой другой инструмент, порождающий прямую или окружность, стоит 1L. E-цена индивидуальна:

Подсказка. E-цена выбранного инструмента отображается в левом верхнем углу кнопки в виде маленьких точек.

Циркуль Евклида «схлопывался», отрываясь от чертежа. В Euclidea ему соответствует инструмент «Окружность». Циркуль, сохраняющий расстояние, тоже есть, он появляется в разделе Дзета.

Покупки восстанавливаются автоматически, если вы используете тот же Google аккаунт или Apple ID. Т.е. после прохождения паков Альфа и Бета, пак Гамма должен разблокироваться автоматически. Если вы используете другой аккаунт, то покупка не восстановится.

iOS: Чтобы восстановить покупки выберите «Настройки» -> «Покупки» -> «Восстановить покупки».

Euclidea: Типичные ошибки и заблуждения

Распространённой ошибкой в обучающем уровне «Равносторонний треугольник» является построение окружностей на глаз.

Выберите инструмент «Перемещение» («Рука») и убедитесь, что ваше построение не содержит красные точки. Красным помечаются точки, которые не являются фиксированными и могут быть перемещены.

Чтобы пройти этот уровень, при построении окружности следует провести пальцем от центра до второй точки так, чтобы она «прилипла».

Точное построение

Приближенное построение

Пунктирная линия является только декорацией инструмента «Серединный перпендикуляр», и для построений её нельзя использовать.

Неправильное построение

Красная точка не закреплена, её можно перемещать.

Напомним, что ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны.

Общей ошибкой в уровне «Ромб, вписанный в прямоугольник» является предположение, что угол ромба равен 60 градусам.

Чтобы проверить правильность своего построения, выберите инструмент «Перемещение» («Рука») и подвигайте левую верхнюю вершину прямоугольника. Правильное построение должно быть устойчивым к подобным трансформациям, и ромб должен оставаться ромбом.

Для решения этой задачи вспомните, что диагональ ромба — серединный перпендикуляр к другой диагонали.

Пример неправильного построения

В задаче «Квадрат, вписанный в окружность» данная точка, лежащая на окружности, должна быть одной из вершин квадрата.

Пример неправильного построения

Чтобы проверить правильность своего построения в уровне 2.5 «Разрезание прямоугольника»:

1. Включите режим Исследования с помощью оранжевой кнопки в правом нижнем углу экрана (в нем отображаются искомые объекты).
2. Повторите свои построения.
3. Выберите инструмент «Перемещение» («Рука») и подвигайте левую верхнюю вершину прямоугольника.

Правильное построение должно совпадать с ответом (оранжевая прямая) при любой конфигурации точек и фигур.

Ключ к решению этой задачи легко найти, заметив закономерность движения оранжевой прямой (ответа) при перемещении заданной точки в режиме Исследования.

Пример неправильного построения

Euclidea: Подсказки и хитрости

Чтобы получить 3 звезды в задаче 1.6 «Центр окружности», нужно её решить два раза — одно решение за 2L (две линии) для L-звезды, а другое за 5E (пять элементарных построений — окружностей или прямых) для E-звезды.

L и E цели являются независимыми, хотя у некоторых задач существуют универсальные решения, за которые можно получить сразу три звезды.

Чтобы найти решение 5E для задачи 1.6 «Центр окружности», попробуйте построить 2 серединных перпендикуляра с помощью окружностей и прямых. Затем останется понять, как сэкономить одну окружность. Последовательность инструментов — OOO// (3 окружности и 2 прямые).

Задача 1.7 «Квадрат, вписанный в окружность» может быть решена с помощью следующей последовательности инструментов: OO///// (2 окружности и 5 прямых). Попробуйте проанализировать, как именно надо построить эти линии.

• Первая окружность — единственно возможная.
• Вторая окружность позволяет получить нижнюю вершину искомого квадрата.
• Последние 4 прямые — стороны квадрата.

Остаётся понять, как построить третью прямую, чтобы получить ещё полезные точки. Экспериментировать удобно в режиме Исследования (оранжевая иконка), в котором отображаются искомые объекты.

Прием, используемый для оптимизации решения задачи 2.2, аналогичен примененному в уровне 1.6 («Центр окружности»). Две биссектрисы строятся с помощью окружностей и прямых, но некоторые окружности используются повторно, сокращая количество ходов. В частности, все 4 окружности оказываются одного радиуса.

Чтобы решить задачу 2.6 «Опустить перпендикуляр» за 3Е, постройте точку, симметричную данной относительно прямой (2 окружности). Затем соедините точки.

Для решения задачи 2.7 «Восстановить перпендикуляр» за 3E можно заметить, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Последовательность инструментов: O// (окружность и 2 прямые).

Чтобы решить задачу 2.7 «Восстановить перпендикуляр» за один ход, вам понадобится всего один единственный инструмент. Обратите внимание, что 180 / 2 = 90.

Задача 2.8 «Касательная к окружности в точке» может быть решена с помощью следующей последовательности инструментов: OO/ (2 окружности и прямая). Примечательно, что для этого решения не нужен центр окружности.

Чтобы решить задачу 4.1 «Удвоенный отрезок», пользуясь только циркулем, необходимо построить 3 окружности. Первые 2 окружности — единственно возможные. Остаётся понять, как построить третью окружность, чтобы получить в пересечении искомую точку.

Последовательность инструментов для решения: OOА (2 окружности и биссектриса). Последний шаг даст вам ключ к первым двум. Обратите внимание, что не всякая точка подходит в качестве центра первой окружности. В частности, она не лежит на заданном луче.

Задача о трисекции угла в общем случае неразрешима. Поэтому нужно воспользоваться одним из равенств:

• 54 / 3 = 18
• 90 — 54 = 36 = 2 * 18

Euclidea: Предложения и пожелания

Сейчас Euclidea доступна на следующих языках:

• английский
• русский
• французский
• немецкий
• итальянский
• испанский
• португальский (Бразилия)
• греческий
• японский
• корейский
• упрощенный китайский
• голландский
• украинский
• польский
• словацкий

Если вы хотите помочь с переводом на другие языки, пожалуйста, напишите нам на support@euclidea.xyz.

Мы рассматривали возможность добавить отдельный режим для свободного рисования, однако пришли к выводу, что в игре это будет выглядеть неуместно. Поэтому мы решили сделать отдельное приложение, основанное на Euclidea, где можно было бы выполнять произвольные построения, сохранять их, изменять стили линий и т.д.

iOS: Встречайте Euclidea: Sketches.

Мы не планируем добавлять в игру инструмент, стирающий линии.

Пифагория: Общие вопросы

Чтобы пропустить уровень в Пифагории и Пифагории 60°, несколько раз нажмите на кнопку Вперед (стрелка вправо), пока она не заполнится цветом. Можно посмотреть видео в нашем Instagram. С каждым разом количество нажатий для пропуска будет увеличиваться, так что не злоупотребляйте.

Пифагория: Подсказки

Чтобы пройти уровень 1.13, попробуйте построить вспомогательную прямую, которая проходила бы через середину данного отрезка.

Например, это может быть вертикальная линия — серединный перпендикуляр отрезка (для его построения тоже потребуются дополнительные линии, как в задаче 1.12).

Задача со звёздочкой: решить 1.13 с помощью всего одной дополнительной прямой.

Есть несколько способов решить задачу 2.19.

Например, можно подобрать такой треугольник с вершинами в узлах сетки, чтобы одна его сторона лежала на заданной прямой, данная точка была серединой второй стороны, и можно было легко найти середину третьей. Средняя линия такого треугольника будет ответом к задаче.

Пифагория: Распространенные ошибки

Вершины искомой трапеции в задаче 8.3 должны находиться в узлах сетки, то есть в точках пересечения линий сетки. Чтобы посмотреть определения в глоссарии, нажмите кнопку «i» на игровом экране.

XSection: Общие вопросы

XSection на Android мы выпустили позднее iOS версии и реализовали в нем несколько новых идей. Дизайн приложения был полностью обновлен, а задачи распределены по-новому.

Обновление XSection для iOS пока не планируется.

XSection: Типичные заблуждения

В задаче 9.5 нет ошибки. В диагональном сечении куба прямоугольник, а не квадрат, и его диагонали не перпендикулярны. Это заблуждение очень популярно у наших пользователей, поэтому мы специально выложили визуализацию таких сечений куба.

🎬 Видео

Построение девятиугольника циркулем, приближенноеСкачать

Окружность в квадрате 1,7Скачать

Задача как разрезать колбасуСкачать

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Как нарисовать пятиконечную ЗВЕЗДУ с помощью циркуляСкачать

Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать