В этой статье рассмотрим один из способов разложения на множители многочленов высших степеней. С его помощью вы сможете решать уравнения и неравенства вида:
Пример:
(6x^2+6+x^3+11x) записываем как (x^3+6x^2+11x+6)
1) Подбором найдите один из корней многочлена.
Для этого вместо (x) подставьте по очереди числа: (±1,±2,±3,±4,±5) и т.д. Число, которое сделает многочлен нулем и будет его корнем.
Пример:
(x^3+6x^2+11x+6)
Подставим (1). Имеем: (1^3+6 cdot 1^2+11cdot 1+6=24) — не равно нулю. Ищем дальше.
Подставим (-1). Получим: ((-1)^3+6cdot (-1)^2+11cdot (-1)+6=-1+6-11+6=0) – значит (-1) корень нашего многочлена.
Матхак! Пробуйте сначала числа, на которые свободный член делиться нацело. В данном случае свободный член (6), поэтому в первую очередь нужно пробовать числа: (±1,±2,±3) и (±6).
2) Поделите исходный многочлен на (x-x_0), где (x_0) – найденный корень. Процесс деления многочлена на многочлен сильно похож на обычное деление в столбик — поэтому и называется деление «уголком».
а) Запишите многочлены как числа при делении столбиком:
б) Подберите такой одночлен, чтобы при умножении его на (x), получалось первое слагаемое исходного многочлена, то есть в нашем случае (x^3). Очевидно, что таким одночленом будет (x^2).
в) Умножьте этот одночлен на делитель и запишите результат под исходным многочленом. Таким образом, мы умножаем (x^2) на (x+1) и получаем (x^3+x^2).
г) Теперь точно так же, как в случае деления натуральных чисел, поставьте знак минус, проведите горизонтальную черту и сделайте вычитание.
д) Повторите шаги б) – г) только уже с новым многочленом:
— подберите такой одночлен, чтобы при умножении на (x) первое слагаемое было таким же, как в новом многочлене: в нашем примере этим одночленом будет (5x).
— умножьте этот одночлен на делитель: умножив (5x) на (x+1) получим (5x^2+5x).
— вычтите получившиеся многочлены:
е) И вновь повторяем шаги б) – г) до тех пор, пока после вычитания не останется ноль.
3) Запишите новый вид многочлена, представив его как произведение делителя и частного.
(x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x^2+5x+6))
Матхак! Если есть сомнения в правильности разложения, можно проверить его раскрытием скобок – в результате должен получиться исходный многочлен.
Проверим наш случай: ((x+1)(x^2+5x+6)=x^3+5x^2+6x+x^2+5x+6=x^3+6x^2+11x+6).
Получен исходный многочлен, значит, поделили правильно.
Матхак! Если в результате деления у вас в остатке получился не ноль, значит, скорее всего, в решении есть ошибка.
Давайте теперь решим пример с применением изученного материала.
Пример: Решите неравенство (x^4-3x^3+6x-4≥0).
Найдем один из корней многочлена слева. Проверим (1).
Поделим многочлен (x^4-3x^3+6x-4) на ((x-1)) уголком. Однако замечаем, что у нас нет слагаемого с квадратом. Чтоб нам было удобнее решать, запишем вместо него выражение (0·x^2) (ведь его значение равно нулю, а значит оно ничего не меняет в исходном многочлене).
Запишем новый вид нашего неравенства.
С первой скобкой все хорошо, а вот вторую надо бы разложить еще. Так как высшая степень в ней — куб, то мы можем попробовать разложить методом группировки, что проще чем деление в столбик. У первых двух слагаемых вынесем за скобку (x^2), а у третьего и четвертого – минус двойку.
Теперь выносим общую скобку ((x-2)) за скобку.
Но и это еще не все, потому что (x^2-2) можно разложить с помощью формулы сокращенного умножения «разность квадратов»: (a^2-b^2=(a-b)(a+b)).
Вот сейчас все готово для применения метода интервалов .
Видео:Как делить уголком? Деление столбикомСкачать
Деление в столбик
О чем эта статья:
3 класс, 4 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:Как объяснить деление в столбик? Деление чисел уголком. Деление на многозначного на однозначное.Скачать
Как правильно делить в столбик
Делить столбиком проще, чем высчитывать в уме. Этот способ наглядный, помогает держать во внимании каждый шаг и запомнить алгоритм, который впоследствии будет срабатывать автоматически.
Рассмотрим пример деления трехзначного числа на однозначное 322 : 7. Для начала определимся с терминами:
- 322 — делимое или то, что необходимо поделить;
- 7 — делитель или то, на что нужно поделить:
- частное — результат действия.
Шаг 1. Слева размещаем делимое 322, справа делитель 7, между ставим уголок, а частное посчитаем и запишем под делителем.
Шаг 2. Смотрим на делимое слева направо и находим ту часть, которая больше делителя. 3, 32 или 322? Нам подходит 32. Теперь нужно определить сколько раз наш делитель 7 содержится в числе 32. Похоже, что четыре раза.
Проверяем: 4 × 7 = 28, а 28
Шаг 3. Остаток равен 4. Для продолжения решения его нужно увеличить. Мы сделаем это за счет следующей цифры делимого. Приписываем к четверке оставшуюся двойку и продолжаем размышлять.
Шаг 4. Сколько раз делитель 7 содержится в числе 42? Кажется, шесть раз. Проверяем: 7 × 6 = 42, 42 = 42 — все верно. Записываем полученное число к четверке справа — это вторая цифра частного. Делаем вычитание в столбик 42 из 42, в остатке получаем 0. Значит, числа разделились нацело.
Мы закончили решать пример и в результате получили целое число 46.
Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Как выглядит деление в столбик с остатком
Это такое же деление, только в результате получается неровное число, как получилось в примере выше.
- Например, делим 19 на 5. Наибольшее число, делящееся на 5 до 19 это 15. Проверяем 5*3=15, 19-15=4. Ответ: 3 и остаток 4. Записываем так: 19:5=3(4).
- Еще пример: делим 29 на 6. Также определяем максимальное число, делящееся на 6 до 29. Подходит 24. Ответом будет: 4 и остаток 5. А записываем: 29:6=4(5).
Видео:Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник. Преобразование мостовой схемыСкачать
Примеры на деление в столбик
Давайте закрепим знания на практике. Для этого разделите столбиком примеры ниже, а после проверьте полученные цифры — чур, не подглядывать!
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Деление многочленов столбиком
Алгоритм деления в столбик применяется в частности при нахождении интегралов.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Пример деления в столбик . Найти частное деления и остаток многочлена:
№1.
x 3 -12x 2 -42 | x -3 |
x 3 -3x 2 | x 2 |
-9x 2 -42 |
№2.
x 3 -12x 2 -42 | x -3 |
x 3 -3x 2 | x 2 -9x |
-9x 2 -42 | |
-9x 2 + 27x | |
-27x -42 |
№3.
x 3 -12x 2 -42 | x -3 |
x 3 -3x 2 | x 2 -9x -27 |
-9x 2 -42 | |
-9x 2 + 27x | |
-27x -42 | |
-27x + 81 | |
-123 |
Целая часть: x 2 -9x -27
Остаток: -123
Таким образом, ответ можно записать как:
см. также и другие примеры решение столбиком.
Пример №1 . Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен:
P(x)=2x 5 +3x 3 -x 2 +4x+1, Q(x)=2x 2 -x+1
Пример №2 . Не производя деление найти остаток от деления многочлена на двучлен:
P(x)=-x 4 +6x 3 -2x 2 +x-2, Q(x)=x-6
Решение. Выделим общий множитель (x-6).
-x 3 (x-6)-2x(x-6)-12x+x-2 = -x 3 (x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-66-2 = -x 3 (x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-68
Остаток от деления: -68/(x-6)
💥 Видео
Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать
Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать
Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать
Проверь свои знания по математике за 11 классСкачать
Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Деление многочлена на многочленСкачать
Треугольник ПаскаляСкачать