Как превратить треугольник в квадрат

Можно ли разрезать треугольник на такое количество частей, чтобы из них можно было сложить квадрат?

Утвердительный ответ на этот вопрос был дан еще в 1807 году. В более общем виде это звучало так: «Любые два многоугольника общей площади должны иметь общее разрезание». Это теорема Бойля –Гервина, доказанная в 1807. Е сли у нас есть треугольник и квадрат и мы знаем, что их площади одинаковы, разрезав треугольник на несколько многоугольников, мы можем как из мозаики сложить квадрат.

Но вот более сложный вопрос. А можно ли разрезать так, чтобы все части оставались соединенными в неразрывную цепочку?

Шарнирное разрезание или разрезания Дью-дени (по имени автора), выполненное в виде анимации, демонстрирует нам как треугольник преобразуется в квадрат, а затем в шестиугольник и обратно в треугольник (использован анимационный ролик из Wikipedia).

Изначально задача о разрезании треугольника была предложена Генри Дьюдени в виде головоломки и опубликована в газете «Дейли мейл» (выпуски от 1 и 8 февраля 1905 г.). Позже эта головоломка вошла в книгу «Кентерберийские головоломки» и по сей день входит в сотню лучших головоломок «всех времен».

В переведенном издании (Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки / Перевод с английского Ю. Н. Сударева. — М.: Мир, 1979. — С. 46—47.) исходный текст звучит следующим образом:

Как из 3 треугольников сделать квадрат

Методы быстрого лоскутного шитья существенно облегчают и ускоряют работу мастерицы. За многие годы рукодельницы придумали огромно количество различных способов упростить себе работу. О самых популярных мы и расскажем.

Квадраты из треугольников.

В англо-американской школе квилтинга все измерения производятся в дюймах ( 2,5 см ). Если если квадрата — это целая единица блока, то треугольники в квилтинге делятся на половинки — половина квадрата (half square triangles), и четвертинки — четверть целого квадрата (quarter square triangles) . Различие есть в направлении долевой нити. Поэтому некоторые треугольники выкраиваются по два треугольника в квадрата, а другие — по четыре треугольника.

При использовании быстрого метода шитья квадрата из треугольников важно правильно рассчитать размер заготовки и припуски .

Квадрат из двух треугольников (half square triangles) :
выкроите квадрат размером, равным стороне треугольника + 2 припуска на шов в 6мм + припуск на диагональный шов 8,4 мм. Величина дополнительного припуска не зависит от размера треугольников и квадратов, она зависит от величины припуска. Если Вы привыкли использовать другой припуск : 7мм или 5 мм , то величина дополнительного припуски рассчитывается по формуле : (припуск х припуск) , вычислить квадратный корень из результата и разделить его на 2. (Обоснование: поскольку по формуле Пифагора квадрат гипотенузы равен сумма квадратов катетов, а в данном случае гипотенуза — это два припуска, то катет — это дополнительный припуск, мы берем гипотенузу, извлекаем из нее квадратный корень и делим на два ).

Пример: Вам нужны 2 детали из двух треугольников — квадрат — размером 5х5см . Вы используете припуски 6 мм ( 0,6 см )
Выкроите два квадрата размером 7 х 7 см ( 5 +0,6 + 0,6 + 0,84) . Сложите их лицевыми сторонами. Для удобства можно обозначить диагональ, вдоль которой вы будете прокладывать строчки, маркером или мелом. Проложите две строчки вдоль диагонали ( на расстоянии 6 мм от диагонали). Сделайте разрез по диагонали, между строчками . Разверните детали и заутюжьте припуски.

Если Вам необходимо больше двух составных квадратов , можно на разрезать ткань на квадраты, а использовать полоску шириной в несколько квадратов или большой квадрат (см схему ниже) .

Квадрат из четырех треугольников (quarter square triangles):
выкроите квадрат размером, равным гипотенузе (длинной) треугольника + 2 припуска на шов в 6мм + 2 припуска на диагональный шов 8,4 мм.
Пример: Вам нужны 2 детали из четырех треугольников — квадрат размером 10 х 10 см (и припуском 0,6см). (см. схему сборки ниже) Нужно выкроить два квадрата размером 10 + (0,6 * 2) + (0,84 * 2) = 12,9 см , т.е. 12,9 х 12,9 см. Сложите квадраты лицевыми сторонами, обозначьте диагонали и линии швов. Прострочите линии швов вдоль одной диагонали. Разрежьте по этой диагонали квадраты пополам. Разверните детали и отутюжьте.
Снова сложите получившиеся квадраты лицевыми сторонами, совмещая линии швов. Прострочите линии швов вдоль второй диагонали. Разрежьте по этой диагонали квадраты пополам. Разверните детали и отутюжьте.
Получилось два квадрата из 4-х треугольников каждый.

Быстрые треугольники — полквадрата . Быстрый метод сборки треугольников в квадраты.

Схема выкройки квадрата для данного метода .

Выкроите квадраты двух цветов. Сложите их лицевыми сторонами. Проложите две строчки вдоль диагонали ( на расстоянии 6 мм от диагонали).

Сделайте разрез по диагонали. Разверните детали и заутюжте припуски

Квадрат из двух треугольников — несколько квадратов в ряд .

Квадрат из четырех треугольников (quarter square triangles): четверть-квадрат Обратите внимание, здесь долевая нить проходит вдоль диагонали будущего квадрата (вдоль гипотенузы треугольника)

Выкроите квадрат. Прострочите швы вдоль сторон квадрата — отмечено красным. Разрежьте квадрат по диагоналям. Раскройте и заутюжьте детали.

Получаются квадраты с долевой нить вдоль диагонали квадрата.

В той же самой выкройке, проложив шов по синим , или по зеленым линиям, и разрезав квадрат по диагоналям, Вы получите составные треугольники из четверть-квадратов с долевой по короткой стороне (катету) треугольника.

Пример сборки блоков 3/3 квадрата из полу-квадратов и четверть-квадратов.

Квадраты из 4-х треугольников (четверть-квадратов).

Выкроите квадраты, сложите, обозначьте линии швов и линии разреза. Прострочите. Разрежьте.

Разутюжьте детали. Сложите их лицевыми сторонами, совмещая линии швов. Обозначьте линии швов и линии разреза. Прострочите. Разрежьте.

Получилось два квадрата с бантиками (квадрат из четверть-квадратов).

Я же хочу представить другой плоский геометрический конструктор, который можно назвать«Пифагор-2».

Квадрат размером 10х10 см разрезается, так как показано на рисунке, в результате чего получаем 9 геометрических фигур: 4 больших треугольника, 2 маленьких, один средний, квадрат и прямоугольник.

Перед тем как работать с образцами, ребята выполняют несколько заданий с определенными фигурами.

Задание 1.
Возьмите 2 больших треугольника и квадрат. Сделайте: прямоугольник, треугольник и 2 разных четырехугольника, один из которых – трапеция.

Задание 2.
Возьмите 2 маленьких треугольника и средний. Сделайте: квадрат, треугольник, прямоугольник и 2 разных четырехугольника, один из которых – трапеция.

Задание 3.
Возьмите 2 маленьких треугольника, средний и большой треугольник. Сделайте: квадрат, треугольник, прямоугольник и 2 разных четырехугольника, один из которых – трапеция.

Далее дети строят разные образы, постепенно переходя к нерасчлененным образцам.

Следующий конструктор тоже авторского исполнения и по аналогии с «Танграмом» я его назвал«Треграм», так как получен путем разрезания равностороннего треугольника. Игровые задания с таким конструктором можно проводить на заполнение и составление плоскостных изображений из наборов геометрических фигур. Равносторонний треугольник из картона (длина стороны 20 см, каждая из которых поделена на 5 равных частей по 4 см) разрезается на 10 фигур, как показано на рисунке.

В итоге получается 4 маленьких треугольника, 2 ромба, трапеция, параллелограмм, большой треугольник и шестиугольник.

Вся работа также строится поэтапно.

На первом этапе дети знакомятся со всеми частями конструктора, составляя их из треугольников и других маленьких фигур:

1. Присоединив друг к другу два треугольника, дети получают ромб.
2. Присоединив к ромбу ещё один треугольник, дети получают трапецию, которую можно сделать и с помощью трёх треугольников.
3. Присоединив к трапеции ещё один треугольник, дети получают параллелограмм. Эту же фигуру можно составить и из других маленьких фигур.
4. Далее дети путём наложения маленьких фигур на большие сами делают выводы, из каких фигур их можно сложить.

На втором этапе дети заполняют внутреннее пространство фигур-силуэтов на листах, используя все части конструктора.

На третьем этапе дети составляют плоскостные изображения по расчленённым образцам с постепенным переходом к частично расчленённым.

На четвёртом этапе дети моделируют изображения по собственному замыслу.

По типу «Никитинских кубиков», я сделал ещё один плоский конструктор. Этот набор состоит из 15 квадратов 5х5 см:

· 8 квадратов закрашены наполовину по диагонали;

· 3 квадрата закрашены полностью;

· 4 квадрата чисто белые.

На первом этапе игровых заданий мы используем только 4 квадрата, закрашенных наполовину, и по образцу все изображения составляем только из них.

На втором этапе дети составляют изображения из 9 квадратов, используя весь набор.

·

·

Цель. Учить детей составлять геометрические фигуры из определенного количества палочек, пользуясь приемом пристроения к одной фигуре, взятой за основу, другой.

Материал: У детей на столах счетные палочки, доска, мел на данном и следующем занятиях.

Ход работы. 1. Воспитатель предлагает детям отсчитать по 5 палочек, проверить и положить их перед собой. Затем говорит: «Скажите, сколько потребуется палочек, чтобы составить треугольник, каждая сторона которого будет равна одной палочке. Сколько потребуется палочек для составления двух таких треугольников? У вас только 5 палочек, но из них надо составить тоже 2 равных треугольника. Подумайте, как это можно сделать, и составляйте».

После того как большинство детей выполнят задание, воспитатель просит их рассказать, как надо составить 2 равных треугольника из 5 палочек. Обращает внимание ребят на то, что выполнять задание можно по-разному. Способы выполнения надо зарисовать. При объяснении пользоваться выражением «пристроил к одному треугольнику другой снизу» (слева и т.д.), а в объяснении решения задачи пользоваться также выражением «пристроил к одному треугольнику другой, используя лишь 2 палочки».

2. Составить 2 равных квадрата из 7 палочек (воспитатель предварительно уточняет, какую геометрическую фигуру можно составить из 4 палочек). Дает задание: отсчитать 7 палочек и подумать, как из них составить на столе 2 равных квадрата.

После выполнения задания рассматривают разные способы пристроения к одному квадрату другого, воспитатель зарисовывает их на доске.

Вопросы для анализа: «Как составил 2 равных квадрата из 7 палочек? Что сделал сначала, что потом? Из скольких палочек составил 1 квадрат? Из скольких палочек пристроил к нему второй квадрат? Сколько потребовалось палочек для составления 2 равных квадратов?»

Цель. Составлять фигуры путем пристроения. Видеть и показывать при этом новую, полученную в результате составления фигуру; пользоваться выражением: «пристроил к одной фигуре другую», обдумывать практические действия.

Ход работы. Воспитатель предлагает детям вспомнить, какие фигуры они составляли, пользуясь приемом пристроения. Сообщает, чем они сегодня будут заниматься — учиться составлять новые, более сложные фигуры. Дает задания:

1. Отсчитать 7 палочек и подумать, как можно из них составить 3 равных треугольника.

После выполнения задания воспитатель предлагает всем детям составить 3 треугольника в ряд так, чтобы получилась новая фигура — четырехугольник (рис. 2). Этот вариант решения дети зарисовывают мелом на доске. Воспитатель просит показать 3 отдельных треугольника, четырехугольник и треугольник (2 фигуры), четырехугольник.

Рис. 2 Составление фигур из треугольников

2. Из 9 палочек составить 4 равных треугольника. Подумать, как это можно сделать, рассказать, затем выполнять задание.

После этого воспитатель предлагает детям нарисовать мелом на доске составленные фигуры и рассказать о последовательности выполнения задания.

Вопросы для анализа: «Как составил 4 равных треугольника из 9 палочек? Какой из треугольников составил первым? Какие фигуры получились в результате и сколько?»

Воспитатель, уточняя ответы детей, говорит: «Начинать составлять фигуру можно с любого треугольника, а потом к нему пристраивать другие справа или слева, сверху или снизу».

Цель. Упражнять детей в самостоятельных поисках путей составления фигур на основе предварительного обдумывания хода решения.

Ход работы. Воспитатель задает детям вопросы: «Из скольких палочек можно составить квадрат, каждая из сторон которого равна одной палочке? 2 квадрата? (из 8 и 7). Как будете составлять 2 квадрата из 7 палочек?»

1. Отсчитать 10 палочек и составить из них 3 равных квадрата. Подумать, как надо составлять, и рассказать.

По мере выполнения воспитатель вызывает нескольких детей зарисовать составленные ими фигуры на доске и рассказать последовательность составления. Предлагает всем детям составить фигуру из 3 равных квадратов, расположенных в ряд, по горизонтали. На доске рисует такую же и говорит: «Посмотрите на доску. Здесь нарисовано, как можно по-разному решать эту задачу. Можно пристраивать к одному квадрату другой, а затем и третий. (Показывает.) А можно составить прямоугольник из 8 палочек, затем разделить его на 3 равных квадрата 2 палочками». (Показывает.) Затем задает вопросы: «Какие фигуры получились и сколько? Сколько прямоугольников получилось? Найдите и покажите их».

2. Из 5 палочек составить квадрат и 2 равных треугольника. Сначала рассказать, а затем составлять.

При выполнении этого задания дети, как правило, допускают ошибку: составляют 2 треугольника усвоенным способом — пристроением, в результате чего получается четырехугольник. Поэтому воспитатель обращает внимание ребят на условие задачи, необходимость составления квадрата, предлагает наводящие вопросы: «Сколько палочек нужно для составления квадрата? Поскольку у вас палочек? Можно ли составить, пристраивая 1 треугольник к другому? Как составить? С какой фигуры надо начинать составлять?» После выполнения задания дети объясняют, как они делали: надо составить квадрат и разделить его 1 палочкой на 2 равных треугольника.

Цель. Упражнять детей в умении высказывать предположительное решение, догадываться.

Ход работы. 1. Из 9 палочек составить квадрат и 4 треугольника. Подумать и сказать, как надо составлять. (Несколько детей высказывают предположения.)

Если дети затрудняются, воспитатель советует: «Вспомните, как составляли из 5 палочек квадрат и 2 треугольника. Подумайте и догадайтесь, как можно выполнить задание. Тот, кто первым решит задачу, зарисует полученную фигуру на доске».

После выполнения и зарисовки ответа воспитатель предлагает всем детям составить у себя одинаковые фигуры (рис. 3).

Рис. 3 Составление фигур из треугольников

Вопросы для анализа: «Какие геометрические фигуры получились? Сколько треугольников, квадратов, четырехугольников? Как составляли? Как удобнее, быстрее составлять?»

2. Из 10 палочек составить 2 квадрата — маленький и большой.

3. Из 9 палочек составить 5 треугольников.

При необходимости в ходе выполнения второго и третьего заданий воспитатель дает наводящие вопросы, советы: «Сначала подумайте, затем составьте. Не повторяйте ошибок, ищите новый ход решения. Говорится ли в задаче о размере треугольников? Это задачи на смекалку, надо сообразить, догадаться, как решить задачу».

Итак, в начальный период обучения детей 5 лет решению простых задач на смекалку они самостоятельно, в основном практически действуя с палочками, ищут путь решения. С целью развития у них умения планировать ход мысли следует предлагать детям высказывать предварительные рассуждения или сочетать их с практическими пробами, объяснять способ и путь решения.

Возможно несколько видов решения задач первой группы. Усвоив способ пристроения фигур при условии общности сторон, дети очень легко и быстро дают 2-3 варианта решения. Каждая фигура при этом отличается от прежней пространственным положением. Одновременно дети осваивают способ построения заданных фигур путем деления полученной геометрической фигуры на несколько (четырехугольник или квадрат на 2 треугольника, прямоугольник — на 3 квадрата).

Решение с детьми 5-6 лет более сложных задач на перестроение фигур следует начинать с тех, в которых с целью изменения фигуры надо убрать определенное количество палочек и наиболее простых — на перекладывание палочек.

Процесс поисков детьми решения задач второй и третьей групп гораздо сложнее, нежели первой группы. Для этого нужно запомнить и осмыслить характер преобразования и результат (какие фигуры должны получиться и сколько) и постоянно в ходе поисков решения соотносить его с предполагаемыми или уже осуществленными изменениями. В процессе решения необходим зрительный и мыслительный анализ задачи, умение представить возможные изменения в фигуре.

Таким образом, в процессе решения задач дети должны овладеть такими мыслительными операциями анализа задачи, в результате которых можно представить мысленно различные преобразования, проверить их, затем, отбросив неверные, искать и пробовать новые ходы решения. Обучение должно быть направлено на формирование у детей умения обдумывать ходы мысленно, полностью или частично решать задачу в уме, ограничивать практические пробы.

В какой последовательности надо предлагать детям 5-6 лет задачи на смекалку второй и третьей групп?

1. В фигуре, состоящей из 5 квадратов, убрать 4 палочки, оставив один прямоугольник (рис. 4).

Рис. 4

1. В фигуре, состоящей из 6 квадратов, убрать 2 палочки, чтобы осталось 4 равных квадрата (рис. 5).

Рис. 5

1. Составить домик из 6 палочек, а затем переложить 2 палочки так, чтобы получился флажок (рис. 6).

Рис. 6

1. В данной фигуре переложить 2 палочки, чтобы получилось 3, равных треугольника (рис. 7).

Рис. 7

1. В фигуре, состоящей из 5 квадратов, убрать 3 палочки, чтобы осталось 3 таких же квадрата (рис. 8).

Рис. 8

1. В фигуре, состоящей из 4 квадратов, убрать 2 палочки, чтобы осталось 2 неравных квадрата (рис. 9).

Рис. 9

1. В фигуре из 5 квадратов убрать 4 палочки, чтобы осталось 2 неравных квадрата (рис. 10).

Рис. 10

1. В фигуре из 5 квадратов убрать 4 палочки, чтобы остались 3 квадрата (рис. 11).

Рис. 11

1. В фигуре из 4 квадратов переложить 2 палочки так, чтобы получилось 5 квадратов (рис. 12).

Рис. 12

1. В фигуре из 5 квадратов убрать 4 палочки, чтобы осталось 3 квадрата (рис. 13).

Рис. 13

Для этих и других аналогичных задач на смекалку характерно то, что преобразование, необходимое для решения, ведет к изменению количества квадратов, из которых составлена заданная фигура (задачи 2, 5 и др.), изменению их размера (задачи 6, 7), видоизменению фигур, например преобразование квадратов в прямоугольник в задаче 1.

В ходе занятий с целью руководства поисковой деятельностью детей воспитатель пользуется различными приемами, способствующими воспитанию у них положительного отношения к длительному настойчивому поиску, но в то же время быстроты реакции, отказа от выработанного пути поисков. Интерес детей поддерживается желанием достичь успеха, для чего нужна активная работа мысли.

Творим, фантазируем, сочиняем из геометрических фигур

Творим, фантазируем, сочиняем

из геометрических фигур?

Задумались ли вы о том, что все можно изобразить с помощью геометрических фигур! Существует очень много игр для развития воображения детей. Во что же можно превратить геометрическую фигуру? Геометрические формы встречаются нам повсюду, их можно разглядеть в большинстве окружающих нас предметов: мяч круглый, стол прямоугольный и т. д. Анализируя сходство окружающих предметов с геометрическими фигурами, ребенок замечательно тренирует ассоциативное и пространственное мышление.

Изучение геометрических фигур полезно для общего развития ребенка, расширения его знаний об окружающем мире. Если знакомить ребенка с формами в раннем возрасте, в школе ему придется гораздо проще. На умении отличать геометрические фигуры основано множество интересных развивающих игр. Итак, игры для изучения и закрепления знаний о геометрических фигурах:

1. Называем геометрические фигуры всегда и везде

Если во время игр или чтения книг вам встречается какая-либо фигура, обязательно обращайте на нее внимание ребенка и называйте ее («Посмотри, мячик похож на круг, а кубик на квадрат»). Даже если вам кажется, что ребенок еще вряд ли запомнит названия фигур, все равно произносите их, и они обязательно отложатся у него в голове. Делать это можно уже до года. Поначалу указывайте только на основные фигуры (квадрат, круг, треугольник), затем, когда поймете, что ребенок их усвоил, начинайте изучать и другие фигуры.

2. Играем в геометрическое лото. При помощи лото можно изучать все, что угодно: цвета, геометрические фигуры, овощи, животных и т. д.

А геометрическое лото к тому же довольно легко сделать самостоятельно: на листе бумаги или картона рисуем или распечатываем два одинаковых набора фигур, один из которых разрезаем на карточки. Все готово, можно играть.

3. Рисуем геометрические фигуры. Во время совместного рисования с ребенком также не забывайте произносить названия форм. «Так, нарисуем квадрат, теперь треугольник — получился домик» и т. д.

Таким образом, ребенок не только запомнит изодражения фигур, то и из каких реометрических фигур можно представить изображаемый объект.

Использовать геометрические фигуры в занятиях по аппликации можно хоть с самого первого занятия.

Аппликации из геометрических фигур – это забавное, интересное и полезное занятие.

С помощью аппликаций у детей развиваются творческие способности, внимание, память, логика, фантазия, мелкая моторика.

Маленьким деткам такие аппликации нужно делать вместе с взрослыми, поскольку нужно заготовить все элементы и вырезать их. Помогая родителям делать аппликации, малыши лучше запоминают геометрические фигуры, цвета, изучают животных и окружающий мир.

Дайте возможность ребеночку подобрать соответствующие геометрические фигуры и приклеить их на нужное место. Когда у него получится какое-то животное, он будет очень рад. Аппликации можно делать из цветной бумаги, а можно из однотонной, а потом разрисовать.

Игры на превращение фигур в формы и изображения.