Как правильно записать стороны треугольника

Треугольник

Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трёх звеньев:

Как правильно записать стороны треугольника

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а её звенья — сторонами треугольника. Углы, образованные двумя сторона треугольника, называются углами треугольника:

Как правильно записать стороны треугольника

В треугольнике ABC вершины A, B и C — это вершины треугольника, звенья AB, BC и CA — стороны треугольника. Три угла — ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — углы треугольника. Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C.

Треугольник обычно обозначается тремя буквами, стоящими при его вершинах. Например, треугольник ABC, или BCA, или CBA. Вместо слова треугольник часто используется знак Как правильно записать стороны треугольника. Так, запись Как правильно записать стороны треугольникаABC будет читаться: треугольник ABC .

У каждого треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла.

Содержание
  1. Высота
  2. Биссектриса
  3. Медиана
  4. Как записать стороны треугольника
  5. Треугольник
  6. Высота
  7. Биссектриса
  8. Медиана
  9. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  10. Типы треугольников
  11. По величине углов
  12. По числу равных сторон
  13. Вершины углы и стороны треугольника
  14. Свойства углов и сторон треугольника
  15. Теорема синусов
  16. Теорема косинусов
  17. Теорема о проекциях
  18. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  19. Медианы треугольника
  20. Свойства медиан треугольника:
  21. Формулы медиан треугольника
  22. Биссектрисы треугольника
  23. Свойства биссектрис треугольника:
  24. Формулы биссектрис треугольника
  25. Высоты треугольника
  26. Свойства высот треугольника
  27. Формулы высот треугольника
  28. Окружность вписанная в треугольник
  29. Свойства окружности вписанной в треугольник
  30. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  31. Окружность описанная вокруг треугольника
  32. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  33. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  34. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  35. Средняя линия треугольника
  36. Свойства средней линии треугольника
  37. Периметр треугольника
  38. Формулы площади треугольника
  39. Формула Герона
  40. Равенство треугольников
  41. Признаки равенства треугольников
  42. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  43. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  44. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  45. Подобие треугольников
  46. Признаки подобия треугольников
  47. Первый признак подобия треугольников
  48. Второй признак подобия треугольников
  49. Третий признак подобия треугольников
  50. Треугольники
  51. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  52. Типы треугольников
  53. По величине углов
  54. По числу равных сторон
  55. Вершины углы и стороны треугольника
  56. Свойства углов и сторон треугольника
  57. Теорема синусов
  58. Теорема косинусов
  59. Теорема о проекциях
  60. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  61. Медианы треугольника
  62. Свойства медиан треугольника:
  63. Формулы медиан треугольника
  64. Биссектрисы треугольника
  65. Свойства биссектрис треугольника:
  66. Формулы биссектрис треугольника
  67. Высоты треугольника
  68. Свойства высот треугольника
  69. Формулы высот треугольника
  70. Окружность вписанная в треугольник
  71. Свойства окружности вписанной в треугольник
  72. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  73. Окружность описанная вокруг треугольника
  74. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  75. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  76. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  77. Средняя линия треугольника
  78. Свойства средней линии треугольника
  79. Периметр треугольника
  80. Формулы площади треугольника
  81. Формула Герона
  82. Равенство треугольников
  83. Признаки равенства треугольников
  84. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  85. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  86. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  87. Подобие треугольников
  88. Признаки подобия треугольников
  89. Первый признак подобия треугольников
  90. Второй признак подобия треугольников
  91. Третий признак подобия треугольников

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание. Высота треугольника может быть опущена и на продолжение основания.

Как правильно записать стороны треугольника

Отрезок BN — это высота Как правильно записать стороны треугольникаABC. Отрезок EL высота Как правильно записать стороны треугольникаDEF, опущенная на продолжение стороны DF.

Длина высоты — это длина отрезка от вершины угла до пересечения с основанием.

Каждый треугольник имеет три высоты.

Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — прямая, делящая угол треугольника пополам. Длина отрезка этой прямой от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной называется длиной биссектрисы.

Как правильно записать стороны треугольника

Отрезок BN — это биссектриса Как правильно записать стороны треугольникаABC.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы.

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина этого отрезка называется длиной медианы.

Как правильно записать стороны треугольника

Отрезок BN — это медиана Как правильно записать стороны треугольникаABC.

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Как записать стороны треугольника

Видео:Найдите стороны треугольникаСкачать

Найдите стороны треугольника

Треугольник

Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трёх звеньев:

Как правильно записать стороны треугольника

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а её звенья — сторонами треугольника. Углы, образованные двумя сторона треугольника, называются углами треугольника:

Как правильно записать стороны треугольника

В треугольнике ABC вершины A, B и C — это вершины треугольника, звенья AB, BC и CA — стороны треугольника. Три угла — ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — углы треугольника. Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C.

Треугольник обычно обозначается тремя буквами, стоящими при его вершинах. Например, треугольник ABC, или BCA, или CBA. Вместо слова треугольник часто используется знак Как правильно записать стороны треугольника. Так, запись Как правильно записать стороны треугольникаABC будет читаться: треугольник ABC .

У каждого треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла.

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание. Высота треугольника может быть опущена и на продолжение основания.

Как правильно записать стороны треугольника

Отрезок BN — это высота Как правильно записать стороны треугольникаABC. Отрезок EL высота Как правильно записать стороны треугольникаDEF, опущенная на продолжение стороны DF.

Длина высоты — это длина отрезка от вершины угла до пересечения с основанием.

Каждый треугольник имеет три высоты.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — прямая, делящая угол треугольника пополам. Длина отрезка этой прямой от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной называется длиной биссектрисы.

Как правильно записать стороны треугольника

Отрезок BN — это биссектриса Как правильно записать стороны треугольникаABC.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина этого отрезка называется длиной медианы.

Как правильно записать стороны треугольника

Отрезок BN — это медиана Как правильно записать стороны треугольникаABC.

Видео:Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.

Типы треугольников

По величине углов

Как правильно записать стороны треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

По числу равных сторон

Как правильно записать стороны треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Видео:Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:№549. Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны треугольникаСкачать

№549. Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны треугольника

Медианы треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Биссектрисы треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Высоты треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Окружность вписанная в треугольник

Как правильно записать стороны треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Окружность описанная вокруг треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников

Периметр треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Формулы площади треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Как правильно записать стороны треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Треугольники

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Как правильно записать стороны треугольника

На этом уроке впервые познакомимся с треугольником – важнейшей фигурой геометрии, строить которую в режиме онлайн научит педагог. Вначале дается определение треугольника и его основных элементов: вершин, сторон, углов. Далее рассматривается понятие равных треугольников. В конце урока разбираются задачи, посвященные противолежащим углу сторонам, прилежащим углам, взаимосвязи элементов и расчёта периметра.

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

Как правильно записать стороны треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

По числу равных сторон

Как правильно записать стороны треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Как правильно записать стороны треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Как правильно записать стороны треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Как правильно записать стороны треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: