Как понять разносторонние треугольники

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Содержание
  1. Определение треугольника
  2. Классификация треугольников
  3. 1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
  4. 2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β
  5. 3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
  6. 4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°
  7. 5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
  8. 6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).
  9. Свойства треугольника
  10. 1.Свойства углов и сторон треугольника.
  11. 2.Теорема синусов.
  12. 3. Теорема косинусов.
  13. 4. Теорема о проекциях
  14. Медианы треугольника
  15. Свойства медиан треугольника:
  16. Формулы медиан треугольника
  17. Что такое разносторонний треугольник
  18. Определение разностороннего треугольника
  19. Примеры решения задач
  20. Виды треугольников
  21. Виды треугольников по углам
  22. Виды треугольников по сторонам
  23. 🌟 Видео

Видео:Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Как понять разносторонние треугольники

Треугольник ABC (△ABC)

  • Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
  • Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
  • Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — . После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Видео:Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Как понять разносторонние треугольники

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

Как понять разносторонние треугольники

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Как понять разносторонние треугольники

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

Как понять разносторонние треугольники

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

Как понять разносторонние треугольники

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Как понять разносторонние треугольники

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

Как понять разносторонние треугольники

  • Сумма всех углов треугольника равна 180°:
  • Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c
sin αsin βsin γ

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Как понять разносторонние треугольники

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO=BO=CO=2
ODOEOF1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Как понять разносторонние треугольники

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Что такое разносторонний треугольник

Видео:Виды треугольников 3 классСкачать

Виды треугольников 3 класс

Определение разностороннего треугольника

Разносторонним называется треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Свойства разносторонних треугольников

  1. Против большего угла лежит большая сторона, а против меньшего угла — меньшая сторона.
  2. Неравенство треугольника: $AB + BC > AC$

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Примеры решения задач

Задание. Дан разносторонний треугольник со сторонами 3, 4, 6. Определить какой треугольник (тупоугольный, остроугольный или прямоугольный)?

Решение. Предположим, что треугольник прямоугольный, тогда меньшие стороны $AB$ и $BC$ будут катетами, а $AC$ — гипотенузой. Тогда по теореме Пифагора имеем:

Следовательно, данный треугольник не прямоугольный, а удлинение стороны на единицу автоматически увеличит и угол, он станет тупой.

Таким образом, треугольник, с заданными сторонами, тупоугольный.

Ответ. Треугольник тупоугольный.

Как понять разносторонние треугольники

Задание. Определить могут ли быть треугольники со сторонами:

1) $AB = 3, BC = 5, AC = 8$

2) $AB = 3, BC = 5, AC = 9$

3) $AB = 3, BC = 5, AC = 7$

Решение. Проверим, выполняется ли для каждого набора сторон неравенство треугольника $AB + BC > AC$. Получим:

1) $3 + 5 = 8$ — не выполняется, треугольника с такими сторонами не существует.

2) $3 + 5 7$ — выполняется, следовательно, треугольник с такими сторонами существует.

Ответ. Из заданных наборов длин существует только треугольник со сторонами $AB = 3, BC = 5, AC = 7$

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Виды треугольников

Треугольники различаются между собой по характеру углов и по характеру сторон.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Виды треугольников по углам

  1. Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все углы острые, то есть меньше 90°.
  2. Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов является прямым, то есть равен 90°.

Стороны, образующие прямой угол называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

  • Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов является тупым, то есть больше 90°.
  • Как понять разносторонние треугольники

    Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

    ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

    Виды треугольников по сторонам

    1. Разносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
    2. Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой.

    Равные стороны называются боковыми сторона треугольника, а третья сторона, не равная двум другим, называется его основанием.

  • Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все три стороны равны, то есть имеют одинаковую длину.
  • 🌟 Видео

    Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

    Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

    Треугольники. 7 класс.Скачать

    Треугольники. 7 класс.

    Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

    Найдите сторону треугольника на рисунке

    Найдите третью сторону треугольникаСкачать

    Найдите третью сторону треугольника

    7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

    7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

    Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

    Признаки равенства треугольников. 7 класс.

    Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

    Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

    ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать

    ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрия

    32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

    32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

    7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

    7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
    Поделиться или сохранить к себе: