Видео:Деление окружности на 12 равных частейСкачать
По следам вавилонян, или почему в окружности 360 градусов?
Видео:Деление окружности на равные части с помощью циркуляСкачать
Наталья Карпушина
Комментарии: 0
Знаете ли вы, почему в окружности 360 градусов, а не 180 или, скажем, не 300? Откуда пошла традиция делить окружность на равные части и почему было выбрано именно такое их число? Оказывается, этому делению мы обязаны вавилонянам. Согласно их календарю, продолжительность года составляла 360 дней — именно столько раз, по наблюдениям древних астрономов, солнечный диск укладывался на годичном пути светила. Иными словами, за каждые сутки солнце делало один «шаг». Поэтому вавилоняне и разделили окружность на 360 равных частей, каждую из которых называют градусом (от лат. gradus — шаг, ступень). Считается, что они же изобрели простейший инструмент для измерения углов − транспортир. Но вот вопрос: как же древние сумели разделить окружность на равные части, не владея техникой геометрических построений и располагая лишь примитивными инструментами? Загадка…
С подобной проблемой однажды столкнулся инженер Сайрес Смит, герой романа Жюля Верна «Таинственный остров». Чтобы определить величину острого угла, образованного ножками самодельного циркуля, он «измерил этот угол по окружности, разделённой на триста шестьдесят равных частей; угол равнялся десяти градусам». Вот, собственно, и всё, что сообщает о решении данной задачи Жюль Верн. Непонятно, зачем для измерения острого угла потребовалось делить на части всю окружность, когда достаточно рассмотреть её четверть, и уж совсем неясно, как удалось добиться их равенства. Можно лишь предположить, что инженер выполнял построения на земле с помощью подручных средств, как он не раз поступал при решении других практических задач, если те требовали знания геометрии.
Сначала прикинем решение на бумаге. Для того чтобы разделить окружность на равные части, пригодится диск, край которого представляет собой окружность фиксированной длины l . Если катить диск по нарисованной на земле окружности длиной L = nl , где n = 2, 3, 4 …, то через n оборотов он обежит линию и вернётся в исходную точку. Пришло время проявить смекалку: сделаем на краю диска «острый выступ», оставляющий на земле отметку после каждого оборота. С его помощью мы разметим окружность, то есть разобьём на равные части. Допустим, нужно разделить окружность на дуги по 10°. В таком случае n = 360° : 10° = 36. Так как L превосходит l в 36 раз, то из соображений подобия и радиус R нарисованной на земле окружности должен быть во столько же раз больше радиуса r диска.
Теперь можно переходить к конкретным действиям. Измерим радиус диска. Пусть для определённости r = 5 см, тогда R = 180 см. Сделаем в диске отверстие по линии радиуса и вставим в него, например, кусочек спицы так, чтобы острый конец чуть торчал наружу. Отмерим кусок верёвки длиной 180 см и привяжем к его концам по колышку. Один колышек вобьём в землю, затем натянем верёвку и, удерживая её в таком состоянии, очертим другим колышком окружность. Наконец, прокатим по нарисованной линии диск; 36 меток (следов спицы) разделят окружность на дуги по 10° в каждой. Задача решена. Ясно, что в общем случае, подбирая подходящую длину радиуса R и количество «зарубок» на диске, легко разделить окружность на нужное число равных частей.
Задачу можно решить и по-другому, как делали древние египтяне, строя прямой угол при помощи верёвки, разделённой узелками на равные части. За единицу измерения примем длину диска. Обмотаем верёвку вокруг диска и завяжем на конце отмеренного отрезка узелок. Проделаем ту же операцию необходимое число раз. Затем положим размеченную таким образом верёвку поверх нарисованной на земле окружности (узелки соответствуют меткам, которые оставил бы на земле катящийся диск в первом способе построения). В данном случае при вычерчивании окружности можно обойтись без рулетки: радиус R окружности получим, отложив на верёвке диаметр диска n /2 раз (при нечётном n придётся добавить длину радиуса).
Проигрывая в точности построений, мы вместе с тем выигрываем в их простоте и доступности, что на практике зачастую ценится больше. Добавим, что верёвка с узелками — это примитивный циркуль, который используется до сих пор, когда надо провести на земле дугу большого радиуса, например при разметке спортивной арены, или очертить круг при разбивке клумбы.
Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать
Почему именно 360 градусов
В самом деле, почему появилась разметка круга именно 360°? Эта тема является продолжением статьи «Что же такое угол». Как всегда, чтобы поднять настроение нужно почитать мнение ученых. Объяснения детей и ученых слушать одинаково любопытно – они говорят внезапными парадоксами и совершенно не заморачиваются сутью. К примеру: – «История развития человечества знала разные системы счисления: двоичную, самую древнюю и примитивную, и десятеричную, при которой счет велся по количеству пальцев рук. В Древнем Вавилоне изобрели шестидесятеричную систему счисления. Вавилоняне считали тройками, по числу суставов на каждом пальце левой руки (без большого пальца), то есть до 12. Затем каждый палец правой руки (включая большой) означал 12. Благодаря этому счет продолжался до 60. Число 60 стало в Древнем Вавилоне ритуальным. Позднее ритуальные значения получили и некоторые числа, кратные 60: 300, 360. Так, Кир, древнеперсидский царь, раздробил реку Гиндес, в которой утонул его любимый конь, на 360 ручьев». Слыхали что-нибудь подобное? В ход пошли костяшки, руки, пальцы, отверстия и прочие выступы. Вот к чему и до чего может привести баловство со счетом – до ритуальности, сакральности и прочих вселенских событий. В этой истории надувания из мухи слона удивительно другое, как простодушно люди не понимают причину и следствие. Причина счёта и удобство счёта им без разницы. Или же ещё: – «Знаете ли вы, почему в окружности 360° градусов, а не 180° или, скажем, не 300°? Откуда пошла традиция делить окружность на равные части и почему было выбрано именно такое их число? Оказывается, этому делению мы обязаны вавилонянам. Согласно их календарю, продолжительность года составляла 360 дней – именно столько раз, по наблюдениям древних астрономов, солнечный диск укладывался на годичном пути светила. Иными словами, за каждые сутки солнце делало один «шаг». Поэтому вавилоняне и разделили окружность на 360 равных частей, каждую из которых называют градусом (от лат. gradus – шаг, ступень)».
Так эти двоечники не знали сколько дней в году. А мы пользуемся. Куда смотрит общественность? Потом-то они узнали, но так и оставили. Так и мы оставили. А какая проблема, братцы? Разделим круг на 365 долей, и все дела. По счастью и несчастью нашей цивилизации фиолетово, 360 или 365. Ученые – господа, сэры, доны, месье и синьоры не понимают самых простых вещей – градуса, угла, аспекта, нуля, плюс числа, минус числа и т.п. Но при этом не устают развлекать нас глупостями вроде малой и большой бесконечности.
Или: – «Измерять угол градусами это всего лишь традиция такая, обычай».
– «Родители тоже согласны. Можно пойти в ЗАГС, но до этого, по обычаю, невесту нужно украсть! – Украсть? О, черт, красивый обычай. Ну, а моя-то какая роль? – Поймать невесту. Сунуть ее в мешок. – В мешок? Это что, тоже по обычаю? Гениально! Ну-ну? – И передать кунакам влюбленного джигита. – Ах, кунакам? – Так требует обычай. Но учтите, обычай требует, чтобы все было натурально. Невеста будет сопротивляться, брыкаться, даже кусаться, звать милицию, кричать: «Я буду жаловаться в обком!», – но Вы не обращайте внимания. Это старинный красивый обычай. – Я понимаю. Не волнуйтесь. Все будет натурально».
И вот мы узнаём про красивый обычай 360-дневного года в Двуречье и Древнем Египте. А для натуральности нам рассказывают байки о поэтапном узнавании подлинного числа дней в году. Но древний мир Двуречья не знал 360-дневного года в своих календарях. Установить начало календарного года по годичному движению Солнца задача трудная. Куда легче связать счет дней с изменением фаз Луны. Поэтому вначале появился лунный календарь. Так вот в Шумере и Вавилоне затем появился лунно-солнечный календарь. Лунный год состоял из 354 дней. Около 2500 лет до н.э. шумеры пользовались календарем с определенными правилами вставки 13-го месяца, чтобы сохранять на своем месте месяцы, названия которых соответствует определенным сезонам года. Причем вставки делались не произвольно, а согласно положению Солнца на эклиптике. Ссылка на представление шумеров о ежедневном сдвиге Солнца к востоку на два своих диаметра, около 1°, стала басней, призванной объяснить 360° меру 360-дневным годом. Шумеры, а так же индийцы прекрасно знали, что скорость движения Солнца в течение года меняется. Весна и осень целиком находились в пределах медленной и быстрой частей года, составляя 94,5 и 88,6 суток. Моменты положения Солнца на экваторе, когда начиналась весна или осень, и в точках солнцестояния определялись в Двуречье с точностью до 12 часов. При общих календарных расчетах жрецы считали, что Солнце на большей части своей орбиты, 194°, двигалось, отступая к востоку на 1° в день, а на меньшей – на 56’15», что как раз и позволяло ему завершить свой путь за 365 суток.
Египетский календарь, да, является древнейшим солнечным календарем. Откуда же в нём появляется число 360? Ученых почему-то не смущает подозрительно круглая и грубая ошибочка в пять дней. Уж не костяшки ли тут впереди астрономии? Но, нет. В результате дальнейших астрономических наблюдений египетские жрецы установили, что продолжительность солнечного года, вот те на, близка к 365 дням. Поэтому и календарь пришлось дополнить пятью днями, греческое название которых – эпагомены – «те, что над годом». По этому поводу обычно приводится легенда, рассказанная Плутархом, о том, как мудрый Тот выиграл у богини Луны от каждого дня 360-дневного года по 172 части – искомые пять дней. Но и тут у жрецов вышла промашка. Пришлось еще немножко покумекать. «Позже египетские ученые обнаружили, что и вставки пяти дней недостаточно». И если бы египтяне приняли длину года равной 365,25 суток, то они были бы правильные ребята. В этих эпических поисках правды жизни остается открытым вопрос, что же всё-таки является причиной суточной маеты египтян – счет костяшками или же астрономия? Да знали египтяне прекрасно, что год состоит из 365,25 дней, но жрецы упорно избегали реформы календаря по своим мотивам, которые к данной теме не относятся. У древних китайцев солнечный год был равен 366 дням. Восходящий на трон фараон должен был давать клятву не менять календаря. Вразумлять жрецов пытались как собственные правители, так и владыки завоевателей. Так царь гиксосов Салитис, завоевавший в XVIII в. до н.э. Египет провёл календарную реформу. Он требовал добавлять каждые четыре года по одному дню, выравнивающему ход времени. Но когда через 100 лет гиксосы были изгнаны из страны, время продолжали считать по календарю, «установленному Тотом».
Тогда в чем тут дело? Шумеры и египтяне прекрасный и способный народ. И много чего полезного сделали. Но при этом нужно понимать, что не они были первыми. Математика круга (МК) была создана задолго до них в палеолите. И в этом отношении они были эпигонами. Число 360, так же, как 7, 12 и 30 знал весь древний мир без всяких заимствований. И никакой связи с числом дней в году оно не имеет. Это разные и самостоятельные числа. Поэтому и выводить их одно из другого нельзя и бессмысленно. Фактически это число является самым ценным подарком человечеству. Одними из важнейших указателей на знание МК в палеолите являются многочисленные культовые диски с дырой – плюс круг и минус круг. В неолите они появились как хенджи – круговые насыпь и ров. Таким же прямым указателем является повсеместный культ головы-черепа, который впервые появился уже у Homo erectus и неандертальцев («Вытянутые черепа. Происхождение»). Для этого нужно было знать механизм образования геометрической фигуры аспекта. А, значит, правильно понимать угол, аспект, градус. Конструкция – череп на длинных костях косым крестом, поставленные на прямоугольное основание, является прообразом храма и алтаря на все времена («Почему мировое дерево, пуп земли, трон, алтарь»). Они соответствуют шумерской концепции «места божества» и «обители божества». Знаки зодиака, прообразом которых послужили геометрические фигуры больших аспектов, возможно, также достались шумерам в наследство из прошлых времен. Вместе с шумерами ушло понимание МК. Круг 360°, конечно, достался египтянам в наследство. А вот объяснить его они уже не могли, поскольку утратили МК. Отсюда и появилась легенда об увязке числа 360 и 365.
А теперь, почему именно 360. В самом деле, почему круг нельзя разметить на какое-нибудь другое число долей, что от этого изменится? Что нам традиции, возьмем, да разметим. Ну, предположим, на 100 долей. Практично и удобно. Но перед этим надо понять, что дали нам 360°. Мы уже знаем, что каждый порядковый градус уже является аспектом, углом. Просто потому, что он составляет дистанцию на круге к нулю. Это значит, что можно составить геометрическую фигуру каждого градуса и определить его силу («Доказательство знаков Зодиака»). И вот на адресах больших знакообразующих градусов через каждые 30° появляются наиболее простые фигуры. Чем они проще, тем более выгодный и сильный градус. Красные точки – первые точки аспекта. Синие точки – вторые точки аспекта.
1. 0° и 360° – Точка. 2. 30° и 330° –Трапеция короткая, основания которой 60° и 120°. 3. 60° и 300° – Прямоугольник. 4. 90° и 270° – Треугольник равнобедренный. 5. 120° и 240° – Линия вертикальная. 6. 150° и 210°– Трапеция длинная, основания которой 60° и 120°. 7. 180° – Линия горизонтальная.
Доказываем утверждение шумеров и египтян: «То, что внизу подобно тому, что вверху». И наоборот. Зеркальные по горизонтальной оси градусы 360°, 330°, 300°, 270°, 240°, 210° будут иметь точно такую же фигуру аспекта, как их напарники. В ней только зеркально поменяется порядок первых и вторых точек аспекта. 180° не имеют зеркального плюс напарника. Число линий, соединяющих эти зеркальные градусы, равно семи.
«То, что справа подобно тому, что слева». Это утверждение звучит более приглушенно, чем первое. К примеру, зеркальные по срединной оси фигуры. Так и есть. 1. 0° и 180°. Точка и горизонтальная Линия. 2. 30° и 150°. Трапеция короткая и Трапеция длинная. 3. 60° и 120°. Прямоугольник и Линия вертикальная. 4. 90° и 270° – не имеют напарника право-лево. Полное подобие точек. Поэтому, в том числе, вертикальная линия это основное место божества «при исполнении».
Получается, что 8 точек круга являются безусловно наиболее выгодными, поскольку фигуры этих градусов-аспектов отличаются от Трапеции. Это 0° и 180°, 60° и 300°, 90° и 270°, 120° и 240°. Назовем их «Большие градусы». Все остальные градусы имеют фигуру Трапеции разной степени выгодности. Тогда почему шумеры добавили к этой группе еще четыре градуса, открывающих Знаки – 30°, 150°, 210° и 330°? Дело в том, когда в основаниях или сторонах или диагоналях Трапеции появляются угловые расстояния равные Большим градусам, то они выделяют такой градус как умеренно сильный. Их надо отметить. Назовем их выгодные «Малые градусы». И оказывается, что 10-й и 20-й градус каждого Знака является умеренно сильным. Так вот для Малых выгодных градусов Большим будет что-то одно – или ОСНОВАНИЯ, или СТОРОНЫ, или ДИАГОНАЛИ Трапеции. А для упомянутой четверки Больших градусов Большими являются ОСНОВАНИЯ (60° и 120°), а также или СТОРОНЫ или ДИАГОНАЛИ Трапеции, что позволяет войти им в Большую лигу. Так для 30° и 330° также Большими являются диагонали Трапеции(90°), а для 150° и 210° Большими являются стороны Трапеции(90°).
По-своему правы были египтяне, когда размечали круг на 36 деканов по 10°. Но в эти деканы попадали как Большие, так и Малые градусы без разницы. Шумеры же выделяли Большие градусы особо как Знаки зодиака. Но тогда пропадали Малые градусы. И всё же каждая разметка оправдана. Долевое деление круга должно соответствовать числу сильных и слабых точек или сильных и слабых долей. Очевидно, что по обе стороны сильных точек находятся слабые точки, поскольку фигура градуса переходит в невыгодную трапецию. Но нам нужно знать пропорцию интервала такой доли, иначе всё будет приблизительно. Но, оказывается, что помимо шумерской и египетской разметки круга нужно обязательно выделить градусы каждой середины Знака. Например, на Линии полуквадрата, 45°-315°, и полутароквадрата, 135°-225°, есть довольно сильные точки. Но они, как и прочие Малые градусы, не сильнее, чем 30° и 150°. Для примера в сравнении показываю фигуру аспекта 40-го градуса и зеркального ему 320-го. (8 – первая). Диагонали Трапеции – тригоны (120°). Вторая фигура примечательна тем, что она немного уступает фигурам Больших градусов, имеющих вид трапеции – 30-у, 330-у и 150-у, 210-у. Это фигура 45-го и 315-го градуса. Точно такая фигура, только зеркальная по вертикальной оси, будет для 135-го и 225-го градуса. Основания Трапеции – это сильные угловые расстояния – 90° и 180°. И они сильнее соответственно, чем основания Трапеции у 30-го и 150-го градуса (60° и 120°). Отличие в том, что диагонали или стороны Трапеции у последних градусов также принадлежат к Большим градусам. Для 30-го градуса это диагонали (90°), а для 150-го градуса это стороны (90°).
И вот эти градусы середины Знака 15°, 45°, 75° и т.д. дают нам пропорции интервалов каждой доли, поскольку по обе стороны от них так же находятся слабые градусы. Эти интервалы-доли отмечаем числами. Пока мы не знаем, что это градус, декада или Знак, но условно будем так называть некие интервалы.
Теперь считаем: 1. В каждом Знаке 4 сильные точки (доли) – 1-я, 10-я, 15-я и 20-я. На круге – 48. 2. По обе стороны каждой сильной точки – две слабые точки. На круге – 96. 3. В середине первой и третьей декады каждого Знака отмечаем по три слабые точки. На круге – 72. 4. Во второй декаде каждого Знака остается интервал, который соответствует четырем слабым долям – 12 по 4. На круге – 48. 5. В первой и третьей декаде остается по четыре слабых интервала – 24 по 4. На круге – 96. Итого, мы должны отметить сильные доли – 48, слабые доли – 312. Всего – 360 долей.
Это означает, что разделив круг на 360 долей, можно наиболее полно определить энергетику круга, определить уровень сильных и слабых точек. Если мы захотим любое другое количество долей, то можем напрочь потерять всю информацию о круге. Круг может иметь любой размер в сантиметрах или триллионах километрах, но у него всегда одна дистанция – 360° или 360 долей. Соответственно каждая доля в метрах у разных кругов будет отличаться. Но любой круг будет всегда ранжирован по уровню энергетики одинаково согласно положению градусов. Число 360 отмечает не просто количество, а качество, физику дистанции круга. Сделаем проекцию прямой линии на круг и узнаем энергетику прямой.
Поскольку для ученых круг это просто бублик, то градусы им нужны лишь как указатели направлений, вроде румбов. Иногда по кругу они гоняют частицы, потому что больше негде. А между тем, математика круга должна иметь неоценимое значение для физики, прежде всего квантовой. Представим себе Точку в начале времен. Это +-ноль, и там всё обнуляется, нет дистанции. Но вот появляется дистанция, и Точка принимает размеры Вселенной. Большая перемена, но это всего лишь Большая Точка. Помимо плюс размерности появляется минус размерность. А, значит, сохраняются отношения соединения с любой точкой круга. Поскольку за счет минус размерности Адреса аспектов прописаны моментально, то любая точка знает информацию о другой точке.
Видео:Как поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.Скачать
Деление круга на равные части
Статья содержит два калькулятора, рассчитывающие параметры деления круга на равные по площади части радиусами и параллельными хордами
Ниже представлены два калькулятора, рассчитывающие параметры разделения круга на равные части. Сначала — традиционный калькулятор, который делит круг на равные части радиусами (примерно так, как режут пиццу или торт), под ним — нетрадиционный калькулятор, который делит круг на равные по площади части параллельными хордами. Оба калькулятора визуализируют результат рисунком. Методы расчета с формулами для обоих калькуляторов приведены ниже, под калькуляторами.
Деление круга на равные по площади части радиусами
Деление круга на равные по площади части параллельными хордами
Деление круга на равные части радиусами
Традиционный и очень простой метод деления круга — по факту, нарезка равных секторов. Метод и формулы очень просты:
Определяем угловой размер каждого сектора в радианах, путем деления 360 градусов на нужное число секторов.
Определяем размер дуги сектора, перемножая радиус на угол в радианах
Определяем размер хорды по теореме косинусов (хорда является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и противолежащим углом альфа.
Собственно и всё — мы получили все характеристики для N равных секторов
Деление круга на равные части параллельными хордами
Этот способ более любопытен, чем предыдущий. Для простоты будем рассматривать верхнюю половину круга, так как с нижней все будет симметрично.
Задача состоит в определении x-вой координаты точек, через которые нужно проводить хорды (на рисунке это точки x1 и x2). Выведем для начала формулу площади куска, отсекаемого хордой слева.
Верхнюю полуокружность можно представить графиком функции y=f(x), где x — это координата вдоль оси абсцисс, а y — это функция, численно равная y координате соответствующей точки верхней полуокружности.
По теореме Пифагора получаем следующую функцию
Чтобы получить площадь фигуры, отсекаемой хордой слева, надо проинтегрировать эту функцию от -R до x. Первообразная функции равна:
Осталось определиться с константой. Нам надо, чтобы в точке с координатами -R площадь была равна нулю. Подставив -R вместо x в формулу выше, получаем
Итак, полное выражение
Теперь рассмотрим нахождение координат крайней левой точки. Нам известна площадь, которую она должна отсечь (напоминаю, речь идет о полуокружности)
Таким образом мы можем приравнять
Что дает нам такое финальное уравнение
Данное уравнение является трансцендентным, а поэтому находить координату первой точки придется численным методом, например, методом бисекции или методом Ньютона. Калькулятор использует метод Ньютона.
Вторая и последующие точки находится аналогично, путем изменения размера отсекаемой площади. Для второй точки это будет , для третьей и так далее.
Зная координаты точек, несложно рассчитать все остальные параметры, в частности, длину хорды.
