Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность , то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

(() (frac) (;2π)) — четвертая четверть

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций .

Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус , тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Пример (ЕГЭ):

Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла?
Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.

Подставим известное, и проведем вычисления.

Видео:Соответствие чисел точкам числовой окружностиСкачать

Соответствие чисел точкам числовой окружности

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от (0) до (frac) , но и углы от (2π) до (frac) , и от (4π) до (frac) , и от (6π) до (frac) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

((0;-) (frac) ()) — четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Как определить четверти на числовой окружности

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность , то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

(() (frac ) (;2π)) — четвертая четверть

Видео:В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...Скачать

В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций .

Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус , тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла?
Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.

Подставим известное, и проведем вычисления.

Видео:Точки на числовой окружностиСкачать

Точки на числовой окружности

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от (0) до (frac ) , но и углы от (2π) до (frac ) , и от (4π) до (frac ) , и от (6π) до (frac ) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

((0;-) (frac ) ()) — четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.

Видео:Числовая окружностьСкачать

Числовая окружность

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружностиЧисловая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .
Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружностиНайдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
Длина дуги AB: (l_=frac =frac =frac .)
Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac =frac =frac $$
30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
(frac )(frac )(frac )(frac )(frac )(frac )(frac )(pi)(frac )(2pi)

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружностиКаждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
При t=0, M(0)=A.
При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
AM=t. Точка M — искомая.
При t Например:
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac , frac , frac , frac , pi), а также (-frac , -frac , -frac , -frac , -pi)
Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.
Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac , frac , frac ), и (-frac ).
Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(frac right)=Mleft(frac +2pi kright)\ frac -2pi=-frac \ frac +2pi=frac \ frac +4pi=frac end

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Числовой промежутокСоответствующая дуга числовой окружности
Отрезок
$$ -frac lt t lt frac $$ Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности
а также, с учетом периода $$ -frac +2pi klt tltfrac +2pi k $$
Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности
Интервал
$$ -frac leq t leq frac $$ Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности
а также, с учетом периода $$ -frac +2pi kleq tleqfrac +2pi k $$
Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности
Полуинтервал
$$ -frac leq t ltfrac $$ Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности
а также, с учетом периода $$ -frac +2pi kleq tltfrac +2pi k $$
Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^ =frac .\ EC=60^ =frac .\ AE=EC+CD=90^ +30^ =120^ =frac .\ ED=EC+CD=60^ +90^ =150^ =frac . end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac ; frac ; frac ; frac ).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac =-90^ , frac =135^ \ frac =210^ , frac =315^ end

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac ; 5pi; frac ; frac ).

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac =frac cdotpi=-6pi+frac rightarrow frac =90^ \ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^ \ frac =frac pi=3pi-frac rightarrow pi-frac =frac \ frac =frac pi=7pi-frac rightarrow pi-frac =frac end

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружностиСравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac =1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ frac approx frac =4,71, 2piapprox 6,28 end

(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(frac lt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb )), запишите количество полученных базовых точек.

$$ frac $$$$ -frac +2pi k $$
Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности
Четыре базовых точки, через каждые 90°
Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности
Две базовых точки, через каждые 180°
$$ frac +frac $$$$ -frac $$
Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности
Три базовых точки, через каждые 120°
Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности
Пять базовых точек, через каждые 72°

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

Видео:Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | ИнфоурокСкачать

Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | Инфоурок

1. Конспект для учителя по теме «Числовая окружность»

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

Что такое числовая окружность? Для чего она нужна?

Очень часто термины тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность плохо понимаются. И совершенно зря. Эти понятия – мощный и универсальный помощник во всех разделах тригонометрии. Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Заманчиво? Сегодня мы будем учиться использовать единичную окружность.

Для успешной работы с единичной окружностью нужно знать всего три вещи.

Первое. Надо знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в применении к прямоугольному треугольнику.

Второе. Надо знать, что такое тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность.

Третье. Надо знать, как отсчитывать углы на тригонометрическом круге, и что такое градусная и радианная меры углов.

  1. Какой угол называется углом поворота?

Угол поворота – это угол, полученный вращением луча около его начала О от начального положения ОА до конечного положения ОВ.

  1. Какой угол называется углом в 1Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности?

Угол в 1Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности— это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружностичасти окружности.

  1. Какой угол называется углом в 1 радиан?

Угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

  1. Как выразить градусную меру угла в радианной?

Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

  1. Как определить какой четверти принадлежит угол?

В зависимости от того в какой координатной четверти окажется начальный радиус, угол α называют углом этой четверти:

0 Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружностиГлавная

  • Математика
  • 10 класс
  • 1. Алгебра
  • 1.5 Числовая окружность
  • Текущая страница
  • Видео:Найти знак тригонометрической функции (bezbotvy)Скачать

    Найти знак тригонометрической функции (bezbotvy)

    Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

    Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

    Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

    Общий вид числовой окружности.

    1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

    2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти (см.рисунок). Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

    3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка.
    Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.
    Соответственно:

    первая четверть – это дуга AB

    вторая четверть – дуга BC

    третья четверть – дуга CD

    четвертая четверть – дуга DA

    4) Начальная точка числовой окружности – точка А.

    Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
    Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением.
    Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

    Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружностиЧисловая окружность на координатной плоскости.

    Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

    Горизонтальный диаметр соответствует оси x, вертикальный – оси y.

    Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

    Значения x и y в четвертях числовой окружности:

    x 0, y Основные величины числовой окружности:


    Величина
    в радианах


    Величина
    в радиусах

    Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

    Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности
    Как запомнить имена числовой окружности.

    Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.

    Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

    1) Начнем с крайних точек на осях координат.

    Начальная точка – это 2π (крайняя правая точка на оси х, равная 1).

    Как вы знаете, 2π – это длина окружности. Значит, половина окружности – это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х, равная -1, называется π.

    Крайняя верхняя точка на оси у, равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это π, то половина полуокружности – это π/2.

    Одновременно π/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у, равной -1. Но если она включает три четверти – значит имя ей 3π/2.

    Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности

    2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель – причем это противоположные точки и относительно оси у, и относительно центра осей, и относительно оси х. Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

    Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

    — Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) – то есть это точка 3π/4.
    Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

    Как определить какой четверти принадлежит число на числовой окружности— Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше – то есть это 7π/6.

    Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
    Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

    — Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 – то есть 11π/6.

    Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 – то есть 7π/4.
    Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число – то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 – и это точка 5π/3.

    3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти – это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти – это 3π. Числитель середины третьей четверти – это 5π. Числитель середины четвертой четверти – это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей – четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
    (1)π, 3π, 5π, 7π.
    Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

    Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

    Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.

    На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:

    Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
    То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой k, то получим новое выражение:
    t = t + 2πk.

    Отсюда формула:

    Если точка M числовой окружности равна числу t, то она равна и числу вида t + 2πk, где k – любое целое число:

    M(t) = M(t + 2πk),

    где k Z.

    Число k называется параметром.

    Уравнение числовой окружности
    (второе уравнение – в разделе «Синус, косинус, тангенс, котангенс»):

    📽️ Видео

    Промежутки на числовой окружностиСкачать

    Промежутки на числовой окружности

    Определение значений по точкам на числовой окружностиСкачать

    Определение значений по точкам на числовой окружности

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точекСкачать

    Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точек

    Алгебра 10 класс. 15 сентября. Числовая окружность #1Скачать

    Алгебра 10 класс. 15 сентября. Числовая окружность #1

    Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

    Как найти координаты точек на тригонометрической окружности

    10 класс - Алгебра - Числовая окружностьСкачать

    10 класс - Алгебра - Числовая окружность

    Математика 10 класс.Построение точек на числовой окружности 10 классСкачать

    Математика 10 класс.Построение точек на числовой окружности 10 класс

    1. Числовая окружность. 10 классСкачать

    1. Числовая окружность. 10 класс

    АЛГЕБРА 10 класс: Числовая окружность. Общие понятия | ВидеоурокСкачать

    АЛГЕБРА 10 класс: Числовая окружность. Общие понятия | Видеоурок

    10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

    10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскости
    Поделиться или сохранить к себе: