— сторона треугольника
— высота
— радиус описанной окружности
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:
Калькулятор — вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:
Калькулятор — вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне
Окружность, описанная около правильного треугольника
Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.
1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.
Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a
точка O — центр описанной окружности.
AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.
2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:
Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности —
И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности —
3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —
Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:
Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности —
4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.
5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:
Окружность, описанная около треугольника
Определение окружности, описанной около треугольника
Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).
 |
При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .
Теорема об окружности, описанной около треугольника
Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.
 |
Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.
Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.
Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.