Как обозначаются равные элементы треугольника

Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .

Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.

Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.

Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла B− b, сторона напротив угла C− c. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.

Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.

Вышеизложенное можно сформулировать так:

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁ обозначается так:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Первый признак равенства треугольников

Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁ (Рис.3). Пусть AB=A₁B₁, AС=A₁С₁ и ∠A=∠A₁. Докажем, что .

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁С₁ (Рис.4). Пусть AB=A₁B₁, ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁. Докажем, что .

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁С₁. Пусть AB=A₁B₁, AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁. Докажем, что . Приложим треугольник ABC к треугольнику A₁B₁С₁ так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A₁, вершина B совмещалась с вершиной B₁, а вершины С и С₁ находились по разные стороны от прямой A₁B₁.

Возможны три варианта: луч CC₁ проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC₁ совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC₁ проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.

.

Имеем AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ ∠ACB=∠A₁C₁B₁ и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то треугольник BСС₁ равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то треугольники AСС₁ и BСС₁ равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и и, следовательно:

.

Имеем AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Задачи и решения

Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).

Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства .

Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T

Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства .

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Треугольник и его виды. Элементы треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, попарно соединенных между собой отрезками. Точки называются вершинами треугольника, отрезки – сторонами треугольника. Треугольник имеет три вершины и три стороны. Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Внутренние углы треугольника – это углы, образованные его сторонами. Угол А – это угол, образованный сторонами АВ и АС.

Виды треугольников по углам:

1. Остроугольный треугольник – это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).
2. Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).
3. Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

Виды треугольников по сторонам:

1. Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) – это треугольник, у которого все три стороны равны.
2. Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны.
3. Разносторонний треугольник – треугольник, все стороны которого имеют разную длину.

Элементы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три медианы, которые пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.

Биссектриса – это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части. Любой треугольник имеет три биссектрисы, которые пересекаются в одной точке.

Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Любой треугольник имеет три высоты, которые пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: (MN=frac12AC; MNparallel AC) .

Серединный перпендикуляр к отрезку – прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину. Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга.

Основные свойства треугольников

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
3. Сумма углов треугольника равна 180º. Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60º.
4. Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности (a b – c; b a – c; c a – b).

Один из внешних углов треугольника равен 65 (^circ) . Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 6:7. Найдите наибольший из них.

Внутренние углы треугольника относятся как 3:7:8. Найдите отношение внешних углов треугольника.

Чему равна градусная мера одного из углов прямоугольного треугольника?

Если в треугольнике один угол больше суммы двух других углов, то он

Если в треугольнике один внешний угол острый, то этот треугольник

Периметр равнобедренного треугольника равен 11 см, а основание равно 3 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Как обозначаются равные элементы треугольника

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.

Треугoльник — жесткая фигура. Это свойство используют при строительстве мостовых арок, конструировании подъемных кранов и т.д. Свойства треугольника системно изложены в «Началах» Эвклида. Знак для обозначения треугольника еще в I в. н.э. применил древнегреческий учений Герон, а знак Δ применяется с IV в. н.э.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Равные треугольники

Аксиома существования треугольника, равного данному.
Каким бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Свойства равных треугольников
1. В равных треугольниках соответствующие стороны равны.
2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
3. Периметры равных треугольников равны.
4. Площади равных треугольников равны.
5. Против равных сторон лежат равные углы.
6. Против равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников

Дополнительные признаки равенства
• Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника, такие треугольники равны.
• Если два угла и высота,проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы, одного треугольника, соответственно равны двум углам и высоте, проведенной к стороне, к которой прилегают эти углы, другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Если сторона, высота и медиана, проведенные к стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Если медиана и углы, на которые она делит угол, одного треугольника, соответственно равны медиане и углам,на которые она делит угол, другого треугольника, эти треугольники равны.

Это конспект по теме «Треугoльник. Равенство треугольников». Выберите дальнейшие действия:

🎥 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Треугольник и его элементыСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать

РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Высоты. Медианы. Биссектрисы. §7 геометрия 7 классСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

треугольник. Равные треугольники. Определения. Обозначения. геометрия 7Скачать

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника - геометрия 7 классСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Равные треугольникиСкачать

ТреугольникСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать