Как обозначается дуга окружности в математике

Окружность

Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.

Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой O:

Как обозначается дуга окружности в математике

Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:

Как обозначается дуга окружности в математике

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Построение окружности циркулем

Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:

Как обозначается дуга окружности в математике

Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:

Как обозначается дуга окружности в математике

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Радиус, хорда и диаметр

Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:

Как обозначается дуга окружности в математике

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой R или r.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Как обозначается дуга окружности в математике

Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:

Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:

Как обозначается дуга окружности в математике

Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:

Как обозначается дуга окружности в математике

Для обозначения дуг используется символ Как обозначается дуга окружности в математике:

  • Как обозначается дуга окружности в математикеAFB — дуга с концами в точках A и B, содержащая точку F;
  • Как обозначается дуга окружности в математикеAJB — дуга с концами в точках A и B, содержащая точку J.

О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.

Как обозначается дуга окружности в математике

Хорда AB стягивает дуги Как обозначается дуга окружности в математикеAFB и Как обозначается дуга окружности в математикеAJB.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Как обозначается дуга окружности в математике

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение окружности
  • Отрезки в окружности

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Как обозначается дуга окружности в математике

Видео:КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр, хорда, дуга, сектор и длина окружности, площадь круга.Скачать

Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр, хорда, дуга, сектор и длина окружности, площадь круга.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Как обозначается дуга окружности в математикеОсновные определения и свойства. Число π
Как обозначается дуга окружности в математикеФормулы для площади круга и его частей
Как обозначается дуга окружности в математикеФормулы для длины окружности и ее дуг
Как обозначается дуга окружности в математикеПлощадь круга
Как обозначается дуга окружности в математикеДлина окружности
Как обозначается дуга окружности в математикеДлина дуги
Как обозначается дуга окружности в математикеПлощадь сектора
Как обозначается дуга окружности в математикеПлощадь сегмента

Как обозначается дуга окружности в математике

Видео:Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьКак обозначается дуга окружности в математике
ДугаКак обозначается дуга окружности в математике
КругКак обозначается дуга окружности в математике
СекторКак обозначается дуга окружности в математике
СегментКак обозначается дуга окружности в математике
Правильный многоугольникКак обозначается дуга окружности в математике
Как обозначается дуга окружности в математике
Окружность
Как обозначается дуга окружности в математике

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаКак обозначается дуга окружности в математике

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругКак обозначается дуга окружности в математике

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторКак обозначается дуга окружности в математике

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментКак обозначается дуга окружности в математике

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникКак обозначается дуга окружности в математике

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Как обозначается дуга окружности в математике

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Как обозначается дуга окружности в математике

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулы для площади круга и его частей

Как обозначается дуга окружности в математике,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Как обозначается дуга окружности в математике,

если величина угла α выражена в радианах

Как обозначается дуга окружности в математике,

если величина угла α выражена в градусах

Как обозначается дуга окружности в математике,

если величина угла α выражена в радианах

Как обозначается дуга окружности в математике,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаКак обозначается дуга окружности в математике
Площадь сектораКак обозначается дуга окружности в математике
Площадь сегментаКак обозначается дуга окружности в математике
Площадь круга
Как обозначается дуга окружности в математике

Как обозначается дуга окружности в математике,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораКак обозначается дуга окружности в математике

Как обозначается дуга окружности в математике,

если величина угла α выражена в радианах

Как обозначается дуга окружности в математике,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаКак обозначается дуга окружности в математике

Как обозначается дуга окружности в математике,

если величина угла α выражена в радианах

Как обозначается дуга окружности в математике,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Как обозначается дуга окружности в математике,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиКак обозначается дуга окружности в математике
Длина дугиКак обозначается дуга окружности в математике
Длина окружности
Как обозначается дуга окружности в математике

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиКак обозначается дуга окружности в математике

если величина угла α выражена в радианах

Как обозначается дуга окружности в математике,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:МЕРЗЛЯК-6. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА. ПАРАГРАФ-25Скачать

МЕРЗЛЯК-6. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА. ПАРАГРАФ-25

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Как обозначается дуга окружности в математике

Как обозначается дуга окружности в математике

Как обозначается дуга окружности в математике

Как обозначается дуга окружности в математике

Как обозначается дуга окружности в математике

Как обозначается дуга окружности в математике

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?

Длина окружности

Как обозначается дуга окружности в математике

Как обозначается дуга окружности в математике

Как обозначается дуга окружности в математике

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Как обозначается дуга окружности в математике

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как обозначается дуга окружности в математике

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Как обозначается дуга окружности в математике

из которой вытекает равенство:

Как обозначается дуга окружности в математике

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Как обозначается дуга окружности в математике

из которой вытекает равенство:

Как обозначается дуга окружности в математике

Видео:Градусная мера дуги из ЕГЭ по математикеСкачать

Градусная мера дуги из ЕГЭ по математике

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как обозначается дуга окружности в математике

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Как обозначается дуга окружности в математике

из которой вытекает равенство:

Как обозначается дуга окружности в математике

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Как обозначается дуга окружности в математике

из которой вытекает равенство:

Как обозначается дуга окружности в математике

Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как обозначается дуга окружности в математике

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Как обозначается дуга окружности в математике

Как обозначается дуга окружности в математике

Как обозначается дуга окружности в математике

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Поделиться или сохранить к себе: