Как найти угол abc треугольника

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Видео:В треугольнике ABC углы А,В и С относятся как 1 :1:7 .Найти углы треугольника ABC.7 кл.ОгэСкачать

В треугольнике ABC углы А,В и С относятся как 1 :1:7 .Найти углы треугольника ABC.7 кл.Огэ

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Как найти угол abc треугольника.

Как найти угол abc треугольника
Как найти угол abc треугольника
Как найти угол abc треугольника
Как найти угол abc треугольника(1)
Как найти угол abc треугольника(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Как найти угол abc треугольника.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Как найти угол abc треугольникаНайти Как найти угол abc треугольника(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Как найти угол abc треугольникаКак найти угол abc треугольника.
Как найти угол abc треугольникаКак найти угол abc треугольника.
Как найти угол abc треугольника, Как найти угол abc треугольника.

И, наконец, находим угол C:

Как найти угол abc треугольникаКак найти угол abc треугольника

Видео:ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16Скачать

ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Как найти угол abc треугольника

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Как найти угол abc треугольника.
Как найти угол abc треугольника.

Далее, из формулы

Как найти угол abc треугольника.
Как найти угол abc треугольника.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти угол abc треугольника.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Как найти угол abc треугольникаи Как найти угол abc треугольника(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Как найти угол abc треугольника,
Как найти угол abc треугольникаКак найти угол abc треугольникаКак найти угол abc треугольника.

Из формулы (3) найдем cosA:

Как найти угол abc треугольникаКак найти угол abc треугольника
Как найти угол abc треугольника.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти угол abc треугольникаКак найти угол abc треугольника.

Видео:№224. Найдите углы треугольника ABC, если ∠A:∠B:∠C= 2:3:4.Скачать

№224. Найдите углы треугольника ABC, если ∠A:∠B:∠C= 2:3:4.

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Как найти угол abc треугольника

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Как найти угол abc треугольника.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Как найти угол abc треугольника, Как найти угол abc треугольника.
Как найти угол abc треугольника, Как найти угол abc треугольника.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Как найти угол abc треугольникаи углы Как найти угол abc треугольника(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Как найти угол abc треугольникаКак найти угол abc треугольника

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Как найти угол abc треугольника
Как найти угол abc треугольника

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Видео:№235. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углыСкачать

№235. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы

Как найти угол abc треугольника

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 72°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,

Как найти угол abc треугольника

Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 54° = 36°.

Читатели, знакомые с теоремой «Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой», могут решить эту задачу в одно действие: ∠ABC = 72° : 2 = 36°.

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 56°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 56°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,

Как найти угол abc треугольника

Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 62° = 28°.

Читатель, знающий правило «Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой», может решить эту задачу в одно действие:

Как найти угол abc треугольника

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Впишем в окружность квадрат так, как показано на рисунке. Стороны квадрата отсекают на окружности равные дуги. Поэтому градусная мера дуги AC, на которую опирается угол ABC, составляет Как найти угол abc треугольникаполного угла 360°, т. е. равна 270°. Угол ABC вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, угол ABC равен 135°.

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Сумма углов треугольника — определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Как найти угол abc треугольника

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Как найти угол abc треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: Как найти угол abc треугольникаАВС (рис. 220).

Как найти угол abc треугольника

Доказать: Как найти угол abc треугольникаA+Как найти угол abc треугольникаB +Как найти угол abc треугольникаC = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда Как найти угол abc треугольникаKBA =Как найти угол abc треугольникаA как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aКак найти угол abc треугольникаMBC =Как найти угол abc треугольникаC как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

Как найти угол abc треугольникаKBA +Как найти угол abc треугольникаABC +Как найти угол abc треугольникаMBC = 180°. ОтсюдаКак найти угол abc треугольникаA +Как найти угол abc треугольникаB +Как найти угол abc треугольникаC = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

Как найти угол abc треугольника

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

Как найти угол abc треугольника

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, тоКак найти угол abc треугольника1 =Как найти угол abc треугольника2.

Как найти угол abc треугольника

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Как найти угол abc треугольника

Решение:

Пусть Как найти угол abc треугольника( Как найти угол abc треугольника— градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Как найти угол abc треугольника

Тогда Как найти угол abc треугольника

Как найти угол abc треугольника

Ответ: Как найти угол abc треугольника

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Как найти угол abc треугольника

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° — 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Как найти угол abc треугольникаКак найти угол abc треугольника

Из треугольника АОС находим: Как найти угол abc треугольника

Замечание. Если Как найти угол abc треугольникато, рассуждая аналогично, получим формулу: Как найти угол abc треугольникаЕсли, например, Как найти угол abc треугольника

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, Как найти угол abc треугольника(рис. 226).

Как найти угол abc треугольника

Докажем, чтоКак найти угол abc треугольникаACB = 90°. Обозначим Как найти угол abc треугольникаA = Как найти угол abc треугольника,Как найти угол abc треугольникаВ = Как найти угол abc треугольника. Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = Как найти угол abc треугольникаАВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как Как найти угол abc треугольникаАМС — равнобедренный, тоКак найти угол abc треугольникаA =Как найти угол abc треугольникаACM = Как найти угол abc треугольникакак углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, Как найти угол abc треугольникаСМВ — равнобедренный и Как найти угол abc треугольникаB =Как найти угол abc треугольникаBCM = Как найти угол abc треугольника. Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 Как найти угол abc треугольника+ 2Как найти угол abc треугольника, с другой — равна 180°. Отсюда 2 Как найти угол abc треугольника+ 2 Как найти угол abc треугольника= 180°, 2( Как найти угол abc треугольника+ Как найти угол abc треугольника) = 180°, Как найти угол abc треугольника+ Как найти угол abc треугольника= 90°. НоКак найти угол abc треугольникаACB = Как найти угол abc треугольника+ Как найти угол abc треугольника, поэтому

Как найти угол abc треугольникаACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Как найти угол abc треугольника

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) Как найти угол abc треугольникаC=90°,Как найти угол abc треугольникаA=Как найти угол abc треугольника,Как найти угол abc треугольникаB=Как найти угол abc треугольника.

Как найти угол abc треугольника

Проведем отрезок СМ так, чтоКак найти угол abc треугольникаACM=Как найти угол abc треугольника, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=Как найти угол abc треугольникаАВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aКак найти угол abc треугольникаBCM дополняетКак найти угол abc треугольникаACM до 90°. Поскольку Как найти угол abc треугольникаACM =Как найти угол abc треугольникаA = Как найти угол abc треугольника, тоКак найти угол abc треугольникаBCM =Как найти угол abc треугольника. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = Как найти угол abc треугольникаАВ.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Внешний угол треугольника
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  • Признаки равенства треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Соотношения в прямоугольном треугольнике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🌟 Видео

№223. Найдите угол С треугольника ABC, если: a) ∠A=65°, ∠B = 57°; б) ∠A = 24°, ∠B= 130Скачать

№223. Найдите угол С треугольника ABC, если: a) ∠A=65°, ∠B = 57°; б) ∠A = 24°, ∠B= 130

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

ЕГЭ 1 задание ✧ В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найти меньший угол ∆ABCСкачать

ЕГЭ 1 задание ✧ В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и  AB = AD = CD. Найти меньший угол ∆ABC

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найти меньший угол треугольника ABCСкачать

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найти меньший угол треугольника ABC

№192. В треугольнике ABC угол А равен 40°, а угол BCE, смежный с углом ACB, равен 80°Скачать

№192. В треугольнике ABC угол А равен 40°, а угол BCE, смежный с углом ACB, равен 80°

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

В треугольнике АВС углы А и С равны 40 и 60 градусовСкачать

В треугольнике АВС углы А и С равны 40 и 60 градусов

Угол наклона плоскости общего положения относительно плоскостям проекцииСкачать

Угол наклона плоскости общего положения относительно плоскостям проекции

Вычисляем угол через координаты вершинСкачать

Вычисляем угол через координаты вершин

🔴 В треугольнике ABC проведена биссектриса ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В треугольнике ABC проведена биссектриса ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7

ОГЭ. Геометрия. 1 часть. Теорема косинусов.Скачать

ОГЭ. Геометрия.  1 часть. Теорема косинусов.

№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°Скачать

№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°
Поделиться или сохранить к себе: