Как найти углы подобных треугольников

Подобные треугольники

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Как найти углы подобных треугольников

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Как найти углы подобных треугольников

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Как найти углы подобных треугольников II признак подобия треугольников

Как найти углы подобных треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Как найти углы подобных треугольников

Видео:8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольников

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Как найти углы подобных треугольников
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Как найти углы подобных треугольников

2. Треугольники Как найти углы подобных треугольникови Как найти углы подобных треугольников, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – Как найти углы подобных треугольников

Как найти углы подобных треугольников

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Как найти углы подобных треугольников

Как найти углы подобных треугольников

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | Математика

Подобные треугольники

Видео:Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline

Определение

Как найти углы подобных треугольников

Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.

Математическое представление двух подобных треугольников A1B1C1 и A2B2C2 , показанных на рисунке, записывается следующим образом:

Два треугольника являются подобными если:

1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2 и∠C1 = ∠C2

2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
$frac=frac=frac$

3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
углы между этими сторонами равны:
$frac=frac
$ и $angle A_1 = angle A_2$
или
$frac
=frac$ и $angle B_1 = angle B_2$
или
$frac=frac$ и $angle C_1 = angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 — угол1 — угол2)

2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);

3) длины двух сторон и угол между ними.

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Практические задачи с подобными треугольниками

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.
Как найти углы подобных треугольников

Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:

Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR. Как найти углы подобных треугольников

Решение:
∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(так как ∠C = 180 — ∠A — ∠B и ∠R = 180 — ∠P — ∠Q)

Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
$frac=frac=frac$

Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.
Как найти углы подобных треугольников

Решение:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.

$frac = frac = frac = frac = frac = frac Rightarrow 2times AB = AB + 4 Rightarrow AB = 4$

Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.
Как найти углы подобных треугольников

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:
$frac = frac = frac = frac Rightarrow CA = frac = 23.57$
x = AC — DC = 23.57 — 15 = 8.57

Практические примеры

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке. Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.
Как найти углы подобных треугольников

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

Решение:

Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.

Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными. Следовательно,

$frac = frac = frac = frac Rightarrow AB = frac = 24 м$
x = AB — 8 = 24 — 8 = 16 м

Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.

А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:

Аналогично, $AC = sqrt = sqrt = 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC — AE = 25.63 — 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.
Как найти углы подобных треугольников

Решение:

Дорожную карту можно геометрически представить в следующем виде, как показано на рисунке.
Как найти углы подобных треугольников

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$frac = frac = frac$

В условии задачи сказано, что:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км

Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:

Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:

A -> B -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км

F -> B -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км

F -> A -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км

F -> A -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км

Следовательно, маршрут №3 является наиболее коротким и может быть предложен Стиву.

Пример 7:
Триша хочет измерить высоту дома, но у нее нет нужных инструментов. Она заметила, что перед домом растет дерево и решила применить свою находчивость и знания геометрии, полученные в школе, для определения высоты здания. Она измерила расстояние от дерева до дома, результат составил 30 м. Затем она встала перед деревом и начала отходить назад, пока верхний край здания стал виден над верхушкой дерева. Триша отметила это место и измерила расстояние от него до дерева. Это расстояние составило 5 м.

Высота дерева равна 2.8 м, а высота уровня глаз Триши равна 1.6 м. Помогите Трише определить высоту здания.
Как найти углы подобных треугольников

Решение:

Геометрическое представление задачи показано на рисунке.
Как найти углы подобных треугольников

Сначала мы используем подобность треугольников ΔABC и ΔADE.

$frac = frac = frac = frac Rightarrow 2.8 times AC = 1.6 times (5 + AC) = 8 + 1.6 times AC$

$(2.8 — 1.6) times AC = 8 Rightarrow AC = frac = 6.67$

Затем мы можем использовать подобность треугольников ΔACB и ΔAFG или ΔADE и ΔAFG. Давайте выберем первый вариант.

Видео:ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ коэффициент подобия 8 классСкачать

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ коэффициент подобия 8 класс

Подобные треугольники

Подобные треугольники — это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Сходственные стороны — это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.

Рассмотрим два треугольника Как найти углы подобных треугольниковABC и Как найти углы подобных треугольниковA1B1C1, у которых ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1:

Как найти углы подобных треугольников

Стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1, лежащие напротив равных углов, называются сходственными сторонами. Следовательно, отношения сходственных сторон равны:

AB=BC=AC= k,
A1B1B1C1A1C1

k — это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если k = 1, то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.

Подобие треугольников обозначается знаком

: Как найти углы подобных треугольниковABC

Как найти углы подобных треугольниковA1B1C1.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами S и S1, то:

S= k 2 .
S1

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Как найти углы подобных треугольников

то Как найти углы подобных треугольниковABC

Как найти углы подобных треугольниковA1B1C1.

Видео:8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать

8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Как найти углы подобных треугольников

ЕслиAB=AC, ∠A = ∠A1,
A1B1A1C1
то Как найти углы подобных треугольниковABC

Как найти углы подобных треугольниковA1B1C1.

Видео:ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

🔍 Видео

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Подобные треугольникиСкачать

Подобные треугольники

Найти подобные треугольники и доказать их подобие. Первый признак. Геометрия 8.Скачать

Найти подобные треугольники и доказать их подобие. Первый признак. Геометрия 8.

Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 классСкачать

Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 класс

Геометрия 8 класс (Урок№14 - Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№14 - Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.)

Подобные треугольники с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Подобные треугольники с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Задача на подобие треугольников 1частьСкачать

Задача на подобие треугольников 1часть

Найти высоту дерева Задача на подобие треугольников 2 частьСкачать

Найти высоту дерева Задача на подобие треугольников 2 часть

Подобные треугольники - 8 класс геометрияСкачать

Подобные треугольники - 8 класс геометрия
Поделиться или сохранить к себе: