После изучения темы про прямоугольные треугольники ученики часто выбрасывают из головы всю информацию о них. В том числе и то, как найти гипотенузу, не говоря уже о том, что это такое.
И напрасно. Потому что в дальнейшем диагональ прямоугольника оказывается этой самой гипотенузой, и ее нужно найти. Или диаметр окружности совпадает с самой большой стороной треугольника, один из углов которого прямой. И найти ее без этого знания невозможно.
Существует несколько вариантов того, как найти гипотенузу треугольника. Выбор метода зависит от исходного набора данных в условии задачи величин.
- Способ под номером 1: даны оба катета
- Способ под номером 2: известен катет и угол, который к нему прилежит
- Способ под номером 3: даны катет и угол, который лежит напротив него
- Способ под номером 4: по радиусу описанной окружности
- Пример задачи №1
- Пример задачи №2
- Расчет гипотенузы треугольника
- Свойства прямоугольного треугольника
- 🎬 Видео
Видео:Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать
Способ под номером 1: даны оба катета
Это самый запоминающийся метод, потому что использует теорему Пифагора. Только иногда ученики забывают, что по этой формуле находится квадрат гипотенузы. Значит, чтобы найти саму сторону, нужно будет извлечь квадратный корень. Поэтому формула для гипотенузы, которую принято обозначать буквой «с», будет выглядеть так:
с = √ (а 2 + в 2 ), где буквами «а» и «в» записаны оба катета прямоугольного треугольника.
Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать
Способ под номером 2: известен катет и угол, который к нему прилежит
Для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить тригонометрические функции. А именно косинус. Для удобства будем считать, что даны катет «а» и прилежащий к нему угол α.
Теперь нужно вспомнить, что косинус угла прямоугольного треугольника равен отношению двух сторон. В числителе будет стоять значение катета, а в знаменателе — гипотенузы. Из этого следует, что последнюю можно будет сосчитать по формуле:
с = а / cos α.
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Способ под номером 3: даны катет и угол, который лежит напротив него
Чтобы не запутаться в формулах, введем обозначение для этого угла — β, а сторону оставим прежнюю «а». В этом случае потребуется другая тригонометрическая функция — синус.
Как и в предыдущем примере, синус равен отношению катета к гипотенузе. Формула этого способа выглядит так:
с = а / sin β.
Для того чтобы не запутаться в тригонометрических функциях, можно запомнить простое мнемоническое привило: если в задаче идет речь о противолежащем угле, то нужно использовать синус, если — о прилежащем, то косинус. Следует обратить внимание на первые гласные в ключевых словах. Они образуют пары о-и или и-о.
Видео:Теорема ПИФАГОРА ❤️Скачать
Способ под номером 4: по радиусу описанной окружности
Теперь, для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить свойство окружности, которая описана около прямоугольного треугольника. Оно гласит следующее. Центр окружности совпадает с серединой гипотенузы. Если сказать по-другому, то самая большая сторона прямоугольного треугольника равна диагонали окружности. То есть удвоенному радиусу. Формула для этой задачи будет выглядеть так:
с = 2 * r, где буквой r обозначен известный радиус.
Это все возможные способы того, как находить гипотенузу прямоугольного треугольника. Пользоваться в каждой конкретной задаче нужно тем методом, который больше подходит по набору данных.
Видео:Катеты и гипотенузаСкачать
Пример задачи №1
Условие: в прямоугольном треугольнике проведены медианы к обоим катетам. Длина той, которая проведена к большей стороне, равна √52. Другая медиана имеет длину √73. Требуется вычислить гипотенузу.
Так как в треугольнике проведены медианы, то они делят катеты на два равных отрезка. Для удобства рассуждений и поиска того, как найти гипотенузу, нужно ввести несколько обозначений. Пусть обе половинки большего катета будут обозначены буквой «х», а другого — «у».
Теперь нужно рассмотреть два прямоугольных треугольника, гипотенузами у которых являются известные медианы. Для них нужно дважды записать формулу теоремы Пифагора:
(2у) 2 + х 2 = (√52) 2
(у) 2 + (2х) 2 = (√73) 2 .
Эти два уравнения образуют систему с двумя неизвестными. Решив их, легко можно будет найти катеты исходного треугольника и по ним его гипотенузу.
Сначала нужно все возвести во вторую степень. Получается:
Из второго уравнения видно, что у 2 = 73 — 4х 2 . Это выражение нужно подставить в первое и вычислить «х»:
4(73 — 4х 2 ) + х 2 = 52.
292 — 16 х 2 + х 2 = 52 или 15х 2 = 240.
Из последнего выражения х = √16 = 4.
Теперь можно вычислить «у»:
у 2 = 73 — 4(4) 2 = 73 — 64 = 9.
По данным условия получается, что катеты исходного треугольника равны 6 и 8. Значит, можно воспользоваться формулой из первого способа и найти гипотенузу:
√(6 2 + 8 2 ) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Ответ: гипотенуза равна 10.
Видео:7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать
Пример задачи №2
Условие: вычислить диагональ, проведенную в прямоугольнике с меньшей стороной, равной 41. Если известно, что она делит угол на такие, которые соотносятся как 2 к 1.
В этой задаче диагональ прямоугольника является наибольшей стороной в треугольнике с углом 90º. Поэтому все сводится к тому, как найти гипотенузу.
В задаче идет речь об углах. Это значит, что нужно будет пользоваться одной из формул, в которых присутствуют тригонометрические функции. А сначала требуется определить величину одного из острых углов.
Пусть меньший из углов, о которых идет речь в условии, будет обозначен α. Тогда прямой угол, который делится диагональю, будет равен 3α. Математическая запись этого выглядит так:
Из этого уравнения просто определить α. Он будет равен 30º. Причем он будет лежать напротив меньшей стороны прямоугольника. Поэтому потребуется формула, описанная в способе №3.
Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, то есть:
Видео:Найдите гипотенузуСкачать
Расчет гипотенузы треугольника
Гипотенуза треугольника — это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая против его прямого угла.
Формула расчета гипотенузы:
c = √(a 2 + b 2 ), где
a — катет;
b — катет;
c — гипотенуза.
Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.
На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета гипотенузы прямоугольного треугольника, если известны его катеты. С помощью этой программы вы в один клик сможете рассчитать гипотенузу треугольника.
Видео:Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать
Свойства прямоугольного треугольника
| Фигура | Рисунок | Формулировка | ||||||||
| Прямоугольный треугольник | ||||||||||
| Равнобедренный прямоугольный треугольник | ||||||||||
| Прямоугольный треугольник с углом в 30° |
| Прямоугольный треугольник |
| Равнобедренный прямоугольный треугольник |
 Определение равнобедренного прямоугольного треугольника: Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты. Свойство углов прямоугольного треугольника: Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45° . |
| Прямоугольный треугольник с углом в 30° |
 Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° : Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы. Признак прямоугольного треугольника с углом в 30° : Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° . |
| Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника |
 Свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника: Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным. |
| Центр описанной окружности |
 Свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника: Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности. Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. |
 В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Обратная теорема Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным 🎬 ВидеоНайти величину гипотенузы, пользуясь только знаниями семиклассникаСкачать  Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать  Как найти гипотенузуСкачать  Определение длины гипотенузыСкачать  №256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетовСкачать  Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13Скачать  Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать  №484. В прямоугольном треугольнике а и b — катеты, с — гипотенуза. Найдите b, если:Скачать  Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать  Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать  №171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскостиСкачать  Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать  |