Как найти центр дуги окружности

Иногда, при выполнении особо заковыристых работ по отделке приходится решать не совсем простые задачи. Например, имеется часть окружности, говоря по научному — дуга и для этой дуги нужно определить радиус и найти центр окружности.

Сделать это можно двумя методами. Первый метод основан на расчетах, а второй — прикладной. Сначала рассмотрим первый метод, его достоинства и недостатки, а затем второй.

Первый метод определения радиуса дуги или сегмента круга

Изначально это выглядит так:

Рисунок 463.1. а) имеющаяся дуга, б) определение длины хорды сегмента и высоты.

Таким образом, когда имеется дуга, мы можем соединить ее концы и получим хорду длиной L. Посредине хорды мы можем провести линию, перпендикулярную хорде и таким образом получим высоту сегмента H. Теперь, зная длину хорды и высоту сегмента, мы можем сначала определить центральный угол α, т.е. угол между радиусами, проведенными из начала и конца сегмента (на рисунке 463.1 не показаны), а затем и радиус окружности.

Решение подобной задачи достаточно подробно рассматривалось в статье «Расчет арочной перемычки», поэтому здесь лишь приведу основные формулы:

Как видим, с точки зрения математики никаких проблем с определением радиуса окружности нет. Данный метод позволяет определить значение радиуса дуги с любой возможной точностью. Это главное достоинство данного метода.

А теперь поговорим о недостатках.

Проблема данного метода даже не в том, что требуется помнить формулы из школьного курса геометрии, успешно забытые много лет назад — для того, чтобы напомнить формулы — есть интернет. А вот калькулятор с функцией arctg, arcsin и проч. есть далеко не у каждого пользователя. И хотя эту проблему также успешно позволяет решить интернет, но при этом не следует забывать, что мы решаем достаточно прикладную задачу. Т.е. далеко не всегда нужно определить радиус окружности с точностью до 0.0001 мм, точность 1 мм может быть вполне приемлема.

Кроме того, для того, чтобы найти центр окружности, нужно продлить высоту сегмента и отложить на этой прямой расстояние, равное радиусу. Так как на практике мы имеем дело с не идеальными измерительными приборами, к этому следует прибавить возможную погрешность при разметке, то получается, что чем меньше высота сегмента по отношению к длине хорды, тем больше может набежать погрешность при определении центра дуги.

Опять же не следует забывать о том, что мы рассматриваем не идеальный случай, т.е. это мы так сходу назвали кривую дугой. В действительности это может быть кривая, описываемая достаточно сложной математической зависимостью. А потому найденный таким образом радиус и центр окружности могут и не совпадать с фактическим центром.

В связи с этим я хочу предложить еще один способ определения радиуса окружности, которым сам часто пользуюсь, потому что этим способом определить радиус окружности намного быстрее и проще, хотя точность при этом значительно меньше.

Второй метод определения радиуса дуги (метод последовательных приближений)

Итак продолжим рассмотрение имеющейся ситуации.

Так как нам все равно необходимо найти центр окружности, то для начала мы из точек, соответствующих началу и концу дуги, проведем как минимум две дуги произвольного радиуса. Через пересечение этих дуг будет проходить прямая, на которой и находится центр искомой окружности.

Теперь нужно соединить пересечение дуг с серединой хорды. Впрочем, если мы из указанных точек проведем не по одной дуге, а по две, то данная прямая будет проходить через пересечение этих дуг и тогда искать середину хорды вовсе не обязательно.

Ну а дальше все просто: измеряем расстояние от пересечения дуг до начала (или конца) рассматриваемой дуги, а затем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента.

Если расстояние от пересечения дуг до начала или конца рассматриваемой дуги больше, чем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента, то значит центр рассматриваемой дуги находится ниже на прямой, проведенной через пересечение дуг и середину хорды. Если меньше — то искомый центр дуги выше на прямой.

Исходя из этого на прямой принимается следующая точка, предположительно соответствующая центру дуги, и от нее производятся те же измерения. Затем принимается следующая точка и измерения повторяются. С каждой новой точкой разница измерений будет все меньше.

Вот собственно и все. Не смотря на столь пространное и мудреное описание, для определения радиуса дуги таким способом с точностью до 1 мм достаточно 1-2 минут.

Теоретически это выглядит примерно так:

Рисунок 463.2. Определение центра дуги методом последовательных приближений.

А на практике примерно так:

Фотография 463.1. Разметка заготовки сложной формы с разными радиусами.

Тут только добавлю, что иногда приходится находить и чертить несколько радиусов, потому на фотографии так много всего и намешано.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

Категории:

• Расчет конструкций . Основы прикладной геометрии

Оценка пользователей:8.5 (голосов: 2)Переходов на сайт:31889Комментарии:

R = H/(1 — cos(a/2))
Радиус прямо пропорционален H.
Как так?

Я достаточно подробно ответил на ваш вопрос в статье «Расчет арочной перемычки», где вы задали подобный вопрос.

Если угол не нужен для дальнейших расчетов, радиус находится проще — без тригонометрических функций и даже можно без калькулятора — на бумажке. R = L^2/(8*H) + H/2

Сначала термины:
Отрезок, соединяющий концы дуги называется хордой (a), а высота сегмента (перпендикуляр из середины хорды) — стрелкой (h).
Теорема Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть R^2=(R-h)^2+(a/2)^2.
А что касается нахождения центра, то перпендикуляры к серединам хорд пересекаются в центре!

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

Определение центра окружности и центра дуги

Определение центра окружности (рис. 28).

• 1) Провести в окружности две непараллельные хорды АВ и CD.
• 2) К середине хорды А В восстановить перпендикуляр (см. деление отрезка на две равные части при помощи циркуля).
• 3) Выполнить аналогичное построение для хорды ВС.

Пересечение перпендикуляров является центром окружности.

Определение центра дуги окружности (рис. 29).

• 1) Назначить на дуге три произвольных точки А, В и С.
• 2) Соединить точки прямыми.
• 3) Через середины полученных хорд АВ и ВС провести перпендикуляры.

Точка О пересечения перпендикуляров является центром дуги.

Сопряжения

Сопряжением называется плавный переход от одной линии к другой.

Из всего многообразия сопряжений различных линий выделяют основные виды сопряжений:

• • сопряжение прямой линии с дугой окружности;
• • сопряжение двух различно расположенных прямых линий с помощью дуги окружности;
• • сопряжение дуг двух окружностей с помощью прямой линии;
• • сопряжение дуг двух окружностей с помощью третьей.

Дуги окружностей, с помощью которых выполняется сопряжение, называют дугами сопряжения. Для построения дуги сопряжения необходимо на чертеже выявить:

• • центр дуги сопряжения;
• • радиус этой дуги;
• • точки сопряжения, в которых дуга сопряжения переходит в сопрягаемые линии.

Задаваясь одним из этих параметров, остальные можно определить графически.

При сопряжении прямой линии с дугой окружности прямая линия является касательной к окружности. В этом случае центр дуги окружности О и точка сопряжения К лежат на перпендикуляре к сопрягаемой прямой (рис. 30).

При сопряжении дуг двух окружностей точка сопряжения К должна лежать на линии, соединяющей центры сопрягаемых дуг (рис. 31).

Сопряжение пересекающихся прямых линий с помощью дуги заданного радиуса.

Сопряжение двух взаимно перпендикулярных прямых а и b дугой окружности заданного радиуса R (рис. 32, а).

• 1) Из точки пересечения прямых как из центра провести дугу окружности радиусом R до пересечения с прямыми в точках А и В (рис. 32, б).
• 2) Из полученных точек/1 и В как из центров тем же радиусом провести дуги окружностей до взаимного пересечения в точке О (рис. 32, в).

3) Из точки О радиусом R провести дугу сопряжения (рис. 32, г). Точки А и В являются точками сопряжения.

Сопряжение двух пересекающихся прямых а и b под произвольным углом дугой заданного радиуса R (рис. 33, 34).

Центр сопряжения О должен лежать на расстоянии R от заданных прямых. Для его определения необходимо:

• 1) Из произвольных точек на заданных прямых провести дуги радиусом R.
• 2) Построить линии, касательные к дугам. Точка О пересечения этих линий является центром сопряжения (рис. 33, а).
• 3) Из точки О опустить перпендикуляры на заданные прямые.

Точки И и i? являются точками сопряжения (рис. 33,6).

4) Из точки О как из центра провести дугу радиуса R. Эта дуга является дугой сопряжения.

На рисунке 34 сопряжение прямых линий выполнено аналогично.

Сопряжение параллельных прямых дугой окружности. Если на одной из прямых а и b задана точка сопряжения А (рис. 35, а), сопряжение выполняют следующим образом.

• 1) Из точки А опустить перпендикуляр на прямую b (рис. 35, б).
• 2) Разделить отрезок АВ пополам (рис. 35, в).
• 3) Из точки О как из центра провести дугу сопряжения радиусом ОА (рис. 35, г).

Сопряжение дуги окружности радиуса R и прямой а дугой заданного радиуса Rj (рис. 36).

Для выполнения этого сопряжения сначала необходимо определить множество центров дуг радиуса R_x.

1) На расстоянии R_x от прямой а провести параллельную ей прямую т. Прямая т является множеством центров дуг радиуса R_x.

2) Из центра О провести дугу концентрической окружности радиусом (R + R). Точка О_х пересечения дуги с прямой т будет центром дуги сопряжения.

Точка сопряжения С получена на перпендикуляре, опущенном из точки 0 на прямую а, а точка В является точкой пересечения окружности с прямой, соединяющей точки О и О_х.

Сопряжение дуг двух окружностей с помощью прямой линии. Это сопряжение сводится к построению внешней (рис. 37) или внутренней (рис. 38) касательной к данным окружностям.

Построение внешней касательной, сопрягающей две окружности радиусов R и R (рис. 37, а).

• 1) Соединить центры окружностей.
• 2) Отрезок 00 разделить точкой О₂ пополам.
• 3) Из точки О провести окружность радиусом (R — R_x), равным разности радиусов заданных окружностей (рис. 31,6).
• 4) На построенной окружности сделать засечки радиусом R₂ = 0₂0. Точки обозначены Е и D (рис. 37, в).
• 5) Продлить отрезки ОЕ и OD до пересечения с окружностью радиуса R. Полученные точки С и В являются точками сопряжения (рис. 37, г).
• 6) Соединить точки Ей D с центром О_х.
• 1) Из точек С и В параллельно отрезкам О_хЕ и O_xD провести отрезки, сопрягающие две окружности.

Точки сопряжения на окружности радиуса R можно получить, опустив перпендикуляры из точки О_х к отрезкам О_хЕ и O_xD.

Построение внутренних касательных, сопрягающих две окружности радиусов R и R (рис. 38, а).

• 1) Из середины отрезка ОО_х — точки 0₂ — проводят дугу радиусом R₂ = 0₂0 (рис. 38, б).
• 2) Из центра О проводят дугу радиусом (R + R), равным сумме радиусов заданных окружностей. В пересечении этих окружностей отмечают точки Е и D.

• 3) Точки Е п D соединить с точкой О (рис. 38, в). Точки С и В пересечения прямых ОЕ и OD с окружностью являются точками сопряжения.
• 4) Точки Е и D соединить с точкой О у.
• 5) Через точки С и В провести прямые линии параллельно отрезкам ЕО и DO у.

Прямые СС_Х и ВВ_х являются касательными, сопрягающими заданные окружности. Точки сопряжения Су и В у лежат на пересечении перпендикуляров, проведенных из центра О, к прямым ССу и В By.

Построение сопряжения двух дуг окружностей. Сопряжение двух дуг окружностей может быть внешнее (рис. 39, а) и внутреннее (рис. 39, б). Точка сопряжения А лежит на прямой, соединяющей центры окружностей.

Расстояние между центрами при внешнем сопряжении равно сумме радиусов окружностей (R + Ry), а при внутреннем сопряжении — разности этих радиусов (R — Ry). В точке сопряжения А окружности имеют общую касательную t.

Построение сопряжения двух дуг окружностей дугой заданного радиуса.

Такой вид сопряжения может быть внешним, внутренним и смешанным.

Построение внешнего сопряжения двух дуг окружностей радиусов R и Ry с помощью дуги радиуса R₂ (рис. 40, а). При внешнем сопряжении дуги находятся с внешней стороны дуги сопряжения, т.е. точки сопряжения представляют собой точки перегиба.

• 1) Из центра О радиусом (R + R₂), а из центра О_х радиусом (R_x + R₂) проводят дуги до пересечения в точке 0₂ (рис. 40, б). Точка 0₂ является центром дуги сопряжения.
• 2) Соединить точку 0₂ с центрами дуг О и О_х. Точки В и С, лежащие на линиях 0₂0 и 0₂0_х, являются точками сопряжения (рис. 40, в).
• 3) Из точки 0₂ как из центра провести дугу сопряжения радиусом R₂ (рис. 40, в).

Построение внутреннего сопряжения двух дуг окружностей радиусов R и R_x при помощи дуги радиуса R₂ (рис. 41, а). При внутреннем сопряжении сопрягаемые дуги находятся внутри дуги сопряжения, т.е. дуга сопряжения и сопрягаемые дуги находятся по одну сторону касательных, проведенных через точки сопряжения. Точки сопряжения в этом случае представляют собой точки самоприкосновения.

Порядок построения следующий (рис. 41,5).

• 1) Из центра О провести дугу радиусом (Л₂ — Л), а из центра О_х — дугу радиусом, равным (R₂ — R_<). В пересечении этих дуг получают точку 0₂ — центр дуги сопряжения.
• 2) Соединить точку 0₂ с центрами дуг О и О^. Точки В иВ, лежащие на прямых 0₂0 и 0₂0_х, являются точками сопряжения.
• 3) Из точки 0₂ как из центра провести дугу сопряжения радиусом R₂.

Построение смешанного сопряжения двух дуг окружностей радиусов Ru RC помощью дуги радиуса R₂ (рис. 42, а). При смешанном сопряжении двух данных дуг окружностей третьей дугой одна сопрягаемая дуга находится внутри дуги сопряжения, а другая — вне ее, т.е. одна точка сопряжения является точкой самоприкосновения, а вторая — точкой перегиба.

Построение смешанного сопряжения аналогично построению внешнего и внутреннего сопряжений. При этом возможны два варианта.

1) Дуга сопряжения с дугой радиуса R имеет внутреннее сопряжение, а с дугой радиуса — внешнее (рис. 42, б).

При таком сопряжении из центра О необходимо провести дугу радиусом (R₂ — R), а из центра О_х — радиусом (R₂ + Ri). Пересечение проведенных дуг определяет центр дуги сопряжения — точку О2—

В этом случае точка В — точка самоприкосновения, а точка В_х — точка перегиба.

2) Дуга сопряжения с дугой радиуса R имеет внешнее сопряжение, а с дугой радиуса R_u внутреннее (рис. 42, в).

В этом случае из центра О необходимо провести дугу радиусом (/?2 + R), а из центра 0 — радиусом (R₂ — R). Точка В стала точкой перегиба, а точка В_ь точкой самоприкосновения.

На рисунке 43 показан случай смешанного сопряжения двух дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса R₂, когда расстояние а между центрами дуг меньше суммы их радиусов (R + R <).Построения ясны из чертежа.

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение окружности

• Отрезки в окружности

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

🎬 Видео