Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Эллипс — определение и вычисление с примерами решения

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Как найти точки пересечения эллипса и окружностиСогласно определению эллипса имеем Как найти точки пересечения эллипса и окружностиИз треугольников Как найти точки пересечения эллипса и окружностии Как найти точки пересечения эллипса и окружностипо теореме Пифагора найдем

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Как найти точки пересечения эллипса и окружностиРаскроем разность квадратов Как найти точки пересечения эллипса и окружностиПодставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Как найти точки пересечения эллипса и окружностиВновь возведем обе части равенства в квадрат Как найти точки пересечения эллипса и окружностиРаскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Как найти точки пересечения эллипса и окружностиСоберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Как найти точки пересечения эллипса и окружностиВведем обозначение для разности, стоящей в скобках Как найти точки пересечения эллипса и окружностиУравнение принимает вид Как найти точки пересечения эллипса и окружностиРазделив все члены уравнения на Как найти точки пересечения эллипса и окружностиполучаем каноническое уравнение эллипса: Как найти точки пересечения эллипса и окружностиЕсли Как найти точки пересечения эллипса и окружностито эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенствавдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки Как найти точки пересечения эллипса и окружностиследовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

  • Как найти точки пересечения эллипса и окружностит.е. точками пересечения эллипса с осью абсцисс будут точки Как найти точки пересечения эллипса и окружности
  • Как найти точки пересечения эллипса и окружностит.е. точками пересечения эллипса с осью ординат будут точки Как найти точки пересечения эллипса и окружности(Рис. 30).

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Как найти точки пересечения эллипса и окружностиКак найти точки пересечения эллипса и окружности

Определение: Если Как найти точки пересечения эллипса и окружностито параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Как найти точки пересечения эллипса и окружностиКроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Если Как найти точки пересечения эллипса и окружностии эллипс вырождается в окружность. Если Как найти точки пересечения эллипса и окружностии эллипс вырождается в отрезок Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Как найти точки пересечения эллипса и окружностиЗная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Как найти точки пересечения эллипса и окружностиСледовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид: Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса Как найти точки пересечения эллипса и окружностиа третья вершина — в центре окружности

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс: Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Как найти точки пересечения эллипса и окружностиСледовательно, большая полуось эллипса Как найти точки пересечения эллипса и окружностиа малая полуось Как найти точки пересечения эллипса и окружностиТак как Как найти точки пересечения эллипса и окружностито эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Как найти точки пересечения эллипса и окружностиИтак, Как найти точки пересечения эллипса и окружностиОкружность: Как найти точки пересечения эллипса и окружностиВыделим полные квадраты по переменным Как найти точки пересечения эллипса и окружности Как найти точки пересечения эллипса и окружностиСледовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Построим в декартовой системе координат треугольник Как найти точки пересечения эллипса и окружностиСогласно школьной формуле площадь треугольника Как найти точки пересечения эллипса и окружностиравна Как найти точки пересечения эллипса и окружностиВысота Как найти точки пересечения эллипса и окружностиа основание Как найти точки пересечения эллипса и окружностиСледовательно, площадь треугольника Как найти точки пересечения эллипса и окружностиравна:

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Эллипс в высшей математике

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

где Как найти точки пересечения эллипса и окружностии Как найти точки пересечения эллипса и окружности—заданные положительные числа. Решая его относительно Как найти точки пересечения эллипса и окружности, получим:

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное Как найти точки пересечения эллипса и окружностипо абсолютной величине меньше Как найти точки пересечения эллипса и окружности, подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению Как найти точки пересечения эллипса и окружности, удовлетворяющему неравенству Как найти точки пересечения эллипса и окружностисоответствуют два значения Как найти точки пересечения эллипса и окружности, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси Как найти точки пересечения эллипса и окружности. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси Как найти точки пересечения эллипса и окружности. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При Как найти точки пересечения эллипса и окружности, при Как найти точки пересечения эллипса и окружности. Кроме того, заметим, что если Как найти точки пересечения эллипса и окружностиувеличивается, то разность Как найти точки пересечения эллипса и окружностиуменьшается; стало быть, точка Как найти точки пересечения эллипса и окружностибудет перемещаться от точки Как найти точки пересечения эллипса и окружностивправо вниз и попадет в точку Как найти точки пересечения эллипса и окружности. Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Полученная линия называется эллипсом. Число Как найти точки пересечения эллипса и окружностиявляется длиной отрезка Как найти точки пересечения эллипса и окружности, число Как найти точки пересечения эллипса и окружности—длиной отрезка Как найти точки пересечения эллипса и окружности. Числа Как найти точки пересечения эллипса и окружностии Как найти точки пересечения эллипса и окружностиназываются полуосями эллипса. Число Как найти точки пересечения эллипса и окружностиэксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом Как найти точки пересечения эллипса и окружности(рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось Как найти точки пересечения эллипса и окружностипримем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось Как найти точки пересечения эллипса и окружностибудет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости Как найти точки пересечения эллипса и окружностивозьмем окружность радиуса Как найти точки пересечения эллипса и окружностис центром в начале координат, ее уравнение Как найти точки пересечения эллипса и окружности.

Пусть точка Как найти точки пересечения эллипса и окружностилежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению Как найти точки пересечения эллипса и окружности.

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Обозначим проекцию точки Как найти точки пересечения эллипса и окружностина плоскость Как найти точки пересечения эллипса и окружностибуквой Как найти точки пересечения эллипса и окружности, а координаты ее—через Как найти точки пересечения эллипса и окружностии Как найти точки пересечения эллипса и окружности. Опустим перпендикуляры из Как найти точки пересечения эллипса и окружностии Как найти точки пересечения эллипса и окружностина ось Как найти точки пересечения эллипса и окружности, это будут отрезки Как найти точки пересечения эллипса и окружностии Как найти точки пересечения эллипса и окружности. Треугольник Как найти точки пересечения эллипса и окружностипрямоугольный, в нем Как найти точки пересечения эллипса и окружности, Как найти точки пересечения эллипса и окружности,Как найти точки пересечения эллипса и окружности, следовательно, Как найти точки пересечения эллипса и окружности. Абсциссы точек Как найти точки пересечения эллипса и окружностии Как найти точки пересечения эллипса и окружностиравны, т. е. Как найти точки пересечения эллипса и окружности. Подставим в уравнение Как найти точки пересечения эллипса и окружностизначение Как найти точки пересечения эллипса и окружности, тогда cos

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

а это есть уравнение эллипса с полуосями Как найти точки пересечения эллипса и окружностии Как найти точки пересечения эллипса и окружности.

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей Как найти точки пересечения эллипса и окружностис коэффициентами деформации, равными Как найти точки пересечения эллипса и окружности

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам Как найти точки пересечения эллипса и окружности(х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

Как найти точки пересечения эллипса и окружностиИными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в Как найти точки пересечения эллипса и окружностираз, если Как найти точки пересечения эллипса и окружности, и увеличиваются в Как найти точки пересечения эллипса и окружностираз, если Как найти точки пересечения эллипса и окружностии т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

Как найти точки пересечения эллипса и окружности

где Как найти точки пересечения эллипса и окружностиУравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины Как найти точки пересечения эллипса и окружностиназываются полуосями эллипсоида; удвоенные величины Как найти точки пересечения эллипса и окружностиназываются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Гипербола
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Шар в геометрии
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Многогранники
  • Окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

65. Исследование эллипса по каноническому уравнению. Эллипса и окружность. Эксцентриситет эллипса. Параметрические уравнения эллипса

В § 1 доказано, что в канонической системе координат OXy Уравнение эллипса имеет вид:

Как найти точки пересечения эллипса и окружности. (1)

1. Эллипс не проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) не удовлетворяют уравнению (1).

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью ОХ полагаем в уравнении (1) У = 0 и находим X = ±A. Таким образом эллипс пересекает ось ОХ В точках A1(-A, 0), A2(A, 0). Аналогично находим, что эллипс пересекает ось ОY В точках B1(0,-B), B2(0, B).

3. Так как все переменные входят в уравнение (1) в четной степени, то вместе с точкой (X, Y) эллипсу принадлежат четыре точки (±X, ±Y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, эллипс симметричен относительно, всех координатных осей OX, OY и начала координат. Точка О называется Центром эллипса.

4. Из уравнения эллипса находим, Как найти точки пересечения эллипса и окружности. Отсюда следует, что эллипс ограниченная линия, которая находится в прямоугольнике: —A £ X £ A, —B £ Y £ B (см. рис. 18).

5. Исследуем поведение эллипса в первой четверти. Для этого выразим Y из уравнения (1) через X:

Как найти точки пересечения эллипса и окружности.

Отсюда видим, в первой четверти на отрезке [0, A] эллипс является графиком убывающей функции.

6. Любая прямая, проходящая через начало координат, пересекает эллипс в двух точках. Действительно, вертикальная прямая, ось OY, пересекает эллипс в двух вершинах, любую другую прямую можно задать уравнением Y = Kx, KR. Подставляя в уравнение (1) находим, что прямая пересекает эллипс в точках Как найти точки пересечения эллипса и окружности, где Как найти точки пересечения эллипса и окружности

📺 Видео

Эта задача спасла жизнь, или ищем площадь пересечения эллипсовСкачать

Эта задача спасла жизнь, или ищем площадь пересечения эллипсов

Видеоурок "Эллипс"Скачать

Видеоурок "Эллипс"

Изображение окружности в перспективе. Эллипс.Скачать

Изображение окружности в перспективе. Эллипс.

Как найти площадь эллипса, или почему современные дети не умеют думатьСкачать

Как найти площадь эллипса, или почему современные дети не умеют думать

Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.ОбразовательныйСкачать

Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.Образовательный

Определение точки пересечения окружности с прямойСкачать

Определение точки пересечения окружности с прямой

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

Найти точку пересечения прямой и плоскостиСкачать

Найти точку пересечения прямой и плоскости

§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

§28 Эксцентриситет эллипса

Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интегралаСкачать

Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интеграла

11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

11 класс, 52 урок, Эллипс

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

#198. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛАСкачать

#198. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА

Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Алгоритмы. Пересечение окружностей

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.
Поделиться или сохранить к себе: