Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Как найти стороны параллелограмма

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними.

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

a , b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α , β — углы между диагоналями

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), ( a , b ):

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, ( a , b ):

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Формулы сторон параллелограмма , ( a , b ):

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

a , b — стороны параллелограмма

H b — высота на сторону b

H a — высота на сторону a

α , β — углы параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма через высоту, ( a , b ):

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

a , b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол между диагоналями

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружностьВписанные четырехугольники и их свойства
Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружностьТеорема Птолемея

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаКак найти стороны параллелограмма вписанного в окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаКак найти стороны параллелограмма вписанного в окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииКак найти стороны параллелограмма вписанного в окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаКак найти стороны параллелограмма вписанного в окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникКак найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Окружность, описанная около параллелограмма
Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность
Окружность, описанная около параллелограмма
Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаКак найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииКак найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаКак найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникКак найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Докажем, что справедливо равенство:

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

откуда вытекает равенство:

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Задание 24 ОГЭ по математике #5Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #5

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 8.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 6.

Пусть длин сторон параллелограмма равны a и Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружностьВ выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружностьПериметр параллелограмма Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

🎦 Видео

Сможешь найти сторону параллелограмма?Скачать

Сможешь найти сторону параллелограмма?

Планиметрия 29 | mathus.ru | Окружность, касающаяся биссектрисы и двух сторон параллелограммаСкачать

Планиметрия 29 | mathus.ru | Окружность, касающаяся биссектрисы и двух сторон параллелограмма

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

№461. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30°. НайдитеСкачать

№461. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30°. Найдите

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Свойства параллелограмма. Все задачи на периметр. Геометрия 8 классСкачать

Свойства параллелограмма. Все задачи на периметр. Геометрия 8 класс

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Задача на нахождение высоты параллелограммаСкачать

Задача на нахождение высоты параллелограмма

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в  равносторонний  треугольник.

Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность
Поделиться или сохранить к себе: