Как найти расстояние от прямой до окружности

Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Как найти расстояние от прямой до окружности

Как найти расстояние от прямой до окружности

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Как найти расстояние от прямой до окружности

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Как найти расстояние от прямой до окружности

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Как найти расстояние от прямой до окружности

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Как найти расстояние от прямой до окружности

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Как найти расстояние от прямой до окружности

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Как найти расстояние от прямой до окружности

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Как найти расстояние от прямой до окружности

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Как найти расстояние от прямой до окружности

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Видео:Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэСкачать

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ

Расстояние между двумя фигурами

Общее определение расстояния между двумя произвольными фигурами выходит за рамки школьной программы, и мы его не приводим. Ряд частных случаев, когда расстояние между двумя фигурами можно ввести на базе школьного материала, перечислен в следующей таблице.

ФигурыРисунокОпределение расстояния
Две точкиКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстоянием между двумя точками называют длину отрезка AB.
Точка, лежащая на прямойКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстояние равно 0.
Точка, не лежащая на прямойКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Две параллельные прямыеКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстоянием между параллельными прямыми называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую.
Две пересекающиеся прямыеКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстояние равно 0.
Две скрещивающиеся прямыеКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину общего перпендикуляра к этим прямым.
Точка, лежащая на плоскостиКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстояние равно 0.
Точка, не лежащая на плоскостиКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Прямая, пересекающая плоскостьКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстояние равно 0.
Прямая, лежащая на плоскостиКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстояние равно 0.
Прямая, параллельная плоскостиКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстоянием от прямой, параллельной плоскости, до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки данной прямой на плоскость.
Две пересекающиеся плоскостиКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстояние равно 0.
Две параллельные плоскостиКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстоянием между параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую плоскость (все такие перпендикуляры имеют одну и ту же длину).
Парабола
y = a x 2 + b x + c ,
не пересекающая ось абсцисс, и ось абсцисс
Как найти расстояние от прямой до окружностиРасстоянием от параболы, не пересекающей ось абсцисс, до оси абсцисс называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на параболе, а другой на оси абсцисс.
Этим кратчайшим отрезком является перпендикуляр, опущенный из вершины параболы на ось абсцисс.
Окружность и не пересекающая ее прямаяКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстоянием между окружностью и непереcекающей ее прямой называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на окружности, а другой конец – на прямой.
Если перпендикуляр OB , опущенный из центра O окружности на прямую, пересекает окружность в точке A, то расстояние от окружности до прямой равно длине отрезка AB.
Две непересекающиеся окружности, каждая из которых лежит вне другойКак найти расстояние от прямой до окружностиРасстоянием между непересекающимися окружностями называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на одной окружности , а другой конец – на другой окружности.
Если линия центров O1O2 пересекает окружность с центром O1 в точке A1, а окружность с центром O2 – в точке A2, то расстояние между окружностями будет равно длине отрезка A1A2.
Гипербола Как найти расстояние от прямой до окружностигде k – любое, отличное от нуля, число, и ось абсцисс.Как найти расстояние от прямой до окружностиРасстояние между гиперболой и осью абсцисс считается равным 0, поскольку гипербола неограниченно приближается к оси абсцисс (длина отрезка, один из концов которого лежит на гиперболе, а другой конец – на оси абсцисс, может быть сколь угодно малой).
Две точки
Как найти расстояние от прямой до окружности

Определение расстояния:
Расстоянием между двумя точками называют длину отрезка AB.

Точка, лежащая на прямойКак найти расстояние от прямой до окружности

Расстояние равно 0.

Точка, не лежащая на прямойКак найти расстояние от прямой до окружности

Определение расстояния:
Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Две параллельные прямые параллельные прямыеКак найти расстояние от прямой до окружности

Определение расстояния:
Расстоянием между параллельными прямыми называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую.

Две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямыеКак найти расстояние от прямой до окружности

Расстояние равно 0.

Как найти расстояние от прямой до окружности

Как найти расстояние от прямой до окружности

Определение расстояния:
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину общего перпендикуляра к этим прямым.

Точка, лежащая на плоскости

Как найти расстояние от прямой до окружности

Как найти расстояние от прямой до окружности

Расстояние равно 0.

Точка, не лежащая на плоскости

Как найти расстояние от прямой до окружности

Как найти расстояние от прямой до окружности

Определение расстояния:
Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Как найти расстояние от прямой до окружности

Как найти расстояние от прямой до окружности

Расстояние равно 0.

Как найти расстояние от прямой до окружности

Как найти расстояние от прямой до окружности

Расстояние равно 0.

Как найти расстояние от прямой до окружности

Как найти расстояние от прямой до окружности

Определение расстояния:
Расстоянием от прямой, параллельной плоскости, до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки данной прямой на плоскость.

Две пересекающиеся плоскости

Как найти расстояние от прямой до окружности

Как найти расстояние от прямой до окружности

Расстояние равно 0.

Две параллельные плоскости

Как найти расстояние от прямой до окружности

Как найти расстояние от прямой до окружности

Определение расстояния:
Расстоянием между параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую плоскость (все такие перпендикуляры имеют одну и ту же длину).

Парабола y = a x 2 + b x + c , не пересекающая ось абсцисс, и ось абсцисс

Как найти расстояние от прямой до окружности

Как найти расстояние от прямой до окружности

Определение расстояния:
Расстоянием от параболы, не пересекающей ось абсцисс, до оси абсцисс называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на параболе, а другой на оси абсцисс.
Этим кратчайшим отрезком является перпендикуляр, опущенный из вершины параболы на ось абсцисс.

Окружность и не пересекающая ее прямаяКак найти расстояние от прямой до окружности

Определение расстояния:
Расстоянием между окружностью и непереcекающей ее прямой называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на окружности , а другой конец – на прямой.
Если перпендикуляр OB , опущенный из центра O окружности на прямую, пересекает окружность в точке A , то расстояние от окружности до прямой равно длине отрезка AB.

Две непересекающиеся окружности, каждая из которых лежит вне другой Две непересекающиеся окружности, каждая из которых лежит вне другойКак найти расстояние от прямой до окружности

Определение расстояния:
Расстоянием между непересекающимися окружностями называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на одной окружности, а другой конец – на другой окружности.
Если линия центров O1O2 пересекает окружность с центром O1 в точке A1, а окружность с центром O2 – в точке A2, то расстояние между окружностями будет равно длине отрезка A1A2.

Видео:"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружностиСкачать

"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружности

Окружность

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Найти расстояние от центра окружности до вершины прямого углаСкачать

Найти расстояние от центра окружности до вершины прямого угла

Определение окружности

Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на равном расстоянии от заданной точки.

В рамках определения 1, заданная точка называется центром окружности.

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой называется радиусом окружности $(r)$ (Рис. 1).

Как найти расстояние от прямой до окружности

Рисунок 1. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром $(d)$.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Взаимное расположение прямой и окружности

Окружность имеет три возможных взаимных расположений относительно прямой:

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ — произвольная точка этой окружности (рис. 2).

Как найти расстояние от прямой до окружности

Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат

Готовые работы на аналогичную тему

Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом

Но, так как $M$ лежит на окружности, то по определению 3, получаем $CM=r$. Тогда получим следующее

Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Длина окружности

Выведем формулу длины окружности $C$ через её радиус. Для этого рассмотрим две окружности с длинами $C$ и $C’$ и радиусами $R$ и $R’$. Впишем в ним правильные $n-угольники$ с периметрами $P$ и $P’$ и длинами сторон $a$ и $a’$ соответственно. Как нам известно, сторона вписанного -угольника равна

Неограниченно увеличивая количество сторон правильных многоугольников $n$ получим, что

Получили, что отношение длины окружности к её диаметру постоянное число для любой окружности. Эту константу принято обозначать числом $pi approx 3,14$. Таким образом, получим

Формула (2) и есть формула для вычисления длины окружности.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Пример задачи на понятие окружность

Найти уравнение окружности с центром в точке $(1, 2)$. Проходящей через начало координат и найти длину данной окружности.

Решение.

Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать формулу (1). Так как центр окружности лежит в точке $(1, 2)$, получим

Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(1, 2)$ до точки $(0,0)$

Получаем, уравнение окружности имеет вид:

Найдем длину окружности по формуле (2). Получим

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 03 2022

📽️ Видео

10 класс, 19 урок, Расстояние от точки до плоскостиСкачать

10 класс, 19 урок, Расстояние от точки до плоскости

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Расстояние. Математика. 6 классСкачать

Расстояние. Математика. 6 класс

Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскостиСкачать

Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскости

Расстояние от точки до прямойСкачать

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулыСкачать

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулы

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Найти расстояние от центра описанной около треугольника окружности до его ортоцентраСкачать

Найти расстояние от центра описанной около треугольника окружности до его ортоцентра

Лекция 48. Как найти расстояние между прямой и началом координат?Скачать

Лекция 48. Как найти расстояние между прямой и началом координат?

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #ShortsСкачать

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #Shorts

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

7. Расстояние от точки до плоскости (вывод формулы примеры)Скачать

7. Расстояние от точки до плоскости (вывод формулы примеры)
Поделиться или сохранить к себе: