Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Касательная к окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

О чем эта статья:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Найти расстояние от центра окружности до вершины прямого углаСкачать

Найти расстояние от центра окружности до вершины прямого угла

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

Проведём радиусы к концам хорды, пусть точка H — её середина. Треугольник AOB равнобедренный, его медиана OH является высотой, поэтому треугольник AOH прямоугольный. По теореме Пифагора:

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Следовательно, расстояние от хорды до параллельной ей касательной равно 75 + 85 = 160.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Как найти расстояние от касательной до центра окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как найти расстояние от касательной до центра окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Как найти расстояние от касательной до центра окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как найти расстояние от касательной до центра окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как найти расстояние от касательной до центра окружностиТеорема о бабочке

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак найти расстояние от касательной до центра окружности
КругКак найти расстояние от касательной до центра окружности
РадиусКак найти расстояние от касательной до центра окружности
ХордаКак найти расстояние от касательной до центра окружности
ДиаметрКак найти расстояние от касательной до центра окружности
КасательнаяКак найти расстояние от касательной до центра окружности
СекущаяКак найти расстояние от касательной до центра окружности
Окружность
Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак найти расстояние от касательной до центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак найти расстояние от касательной до центра окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак найти расстояние от касательной до центра окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак найти расстояние от касательной до центра окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак найти расстояние от касательной до центра окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак найти расстояние от касательной до центра окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак найти расстояние от касательной до центра окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак найти расстояние от касательной до центра окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак найти расстояние от касательной до центра окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак найти расстояние от касательной до центра окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак найти расстояние от касательной до центра окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКак найти расстояние от касательной до центра окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКак найти расстояние от касательной до центра окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКак найти расстояние от касательной до центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКак найти расстояние от касательной до центра окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКак найти расстояние от касательной до центра окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКак найти расстояние от касательной до центра окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак найти расстояние от касательной до центра окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак найти расстояние от касательной до центра окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак найти расстояние от касательной до центра окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак найти расстояние от касательной до центра окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Пересекающиеся хорды
Как найти расстояние от касательной до центра окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как найти расстояние от касательной до центра окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как найти расстояние от касательной до центра окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как найти расстояние от касательной до центра окружности
Пересекающиеся хорды
Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Видео:КАСАТЕЛЬНАЯ к ОКРУЖНОСТИ 8 класс геометрия АтанасянСкачать

КАСАТЕЛЬНАЯ к ОКРУЖНОСТИ 8 класс геометрия Атанасян

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Тогда справедливо равенство

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CDСкачать

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Как найти расстояние от касательной до центра окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

📽️ Видео

ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.Скачать

ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

№795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.Скачать

№795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.

Радиус окружности с центром в точке O равен 85 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Радиус окружности с центром в точке O равен 85 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
Поделиться или сохранить к себе: