Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

где a – сторона треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Радиус описанной около треугольника окружности

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по одной из двух общих формул.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус описанной около произвольного треугольника окружности

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

То есть радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

В общем виде эту формулу записывают так:

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

То есть чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, надо произведения длин сторон треугольника разделить на четыре площади треугольника.

Если площадь треугольника находить по формуле Герона

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

где p — полупериметр,

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

то получим формулу радиуса описанной около треугольника окружности через длины сторон:

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Обе эти формулы можно применить к треугольнику любого вида. Следует только учесть положение центра.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннегоФормула:

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

То есть в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Обычно гипотенузу обозначают через c (AB=c) и формулу записывают так:

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Если без иррациональности в знаменателе, то

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннегоСерединный перпендикуляр к отрезку
Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннегоОкружность описанная около треугольника
Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннегоСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннегоДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Видео:Радиус описанной около треугольника окружностиСкачать

Радиус описанной около треугольника окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннегоВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннегоОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннегоЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннегоЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего
Площадь треугольникаКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего
Радиус описанной окружностиКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиКак найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Как найти радиус описанной окружности около треугольника разностороннего

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

📺 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Радиус окружности описанной около равностороннего треугольникаСкачать

Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Три способа нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольникаСкачать

Три способа нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Как найти радиус описанной окружности (Задача №324618)Скачать

Как найти радиус описанной окружности (Задача №324618)

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Как найти радиус описанной окружности? / ПРОФИЛЬ /#541815Скачать

Как найти радиус описанной окружности? / ПРОФИЛЬ /#541815
Поделиться или сохранить к себе: