Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Нахождение радиуса описанной вокруг квадрата окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около квадрата. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Через сторону квадрата

Радиус R окружности, описанной около квадрата, равняется длине его стороны a, умноженной на квадратный корень из двух и деленной на два.

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Через диагональ квадрата

Радиус R описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали d.

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Видео:Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Примеры задач

Задание 1

Длина стороны квадрата равняется 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Применим первую формулу, рассмотренную выше:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Задание 2

Вычислите длину диагонали квадрата, если радиус описанной вокруг него окружности составляет 6 см.

Как мы знаем, радиус описанной окружности равняется половине диагонали квадрата. Следовательно, общая длина диагонали равняется 12 см (6 см ⋅ 2).

Видео:2092 найдите радиус окружности описанной около квадрата со стороной 27 корней из 2Скачать

2092 найдите радиус окружности описанной около квадрата со стороной 27 корней из 2

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6
Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Ответ: Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Ответ: Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Ответ: Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Видео:Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19Скачать

Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Видео:Как найти радиус описанной окружности?Скачать

Как найти радиус описанной окружности?

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6
Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6(5)

Из формулы (5) найдем R:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6
Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6, получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Ответ: Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6
Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6в (8), получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Ответ: Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Видео:Геометрия Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 6 см 25 смСкачать

Геометрия Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 6 см 25 см

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6(9)

где Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6в (9), получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Ответ: Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Видео:Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71Скачать

Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6(13)

Из (13) следует, что

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Найти радиус описанной окружности квадрата. Калькулятор и формулы

Радиус описанной окружности, который находится по формуле (

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

, где a — сторона квадрата )легко можно определить, зная всего лишь одно значение. К примеру, если знать площадь, диагональ, сторону или периметр квадрата. Этот калькулятор за считанные секунды выдаст результат и покажет все 6 показателей квадрата вместе с формулами, если заполнить хотя бы одну ячейку. Также от обратного, если знать радиус описанной окружности, можно узнать остальные 5 значений.

Как найти радиус описанной окружности квадрата со стороной 6

Введите данные:

Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.

📺 Видео

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности
Поделиться или сохранить к себе: