С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
- 1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника
- 2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол
- 3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол
- Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности
- Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Равносторонний треугольник
- Примеры задач
- Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
- 🔍 Видео
Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать
1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника
Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь треугольника S и полупериметр p вычисляется из следующей формулы (статья Радиус вписанной в треугольник окружности, формула (5)):
| ( small r= frac, ) | (1) |
| ( small p= frac. ) | (2) |
Площадь прямоугольного треугольника по катетам вычисляется из формулы:
| ( small S= large frac small cdot a cdot b. ) | (3) |
Подставляя (2) и (3) в (1) получим формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
| ( small r= large frac<fracab><frac(a+b+c)> ) ( small = large frac, ) | (4) |
| ( small c= sqrt. ) | (5) |
Из формулы (4) выведем другую эквивалентную формулу. Умножим числитель и знаменатель формулы (4) на ( small a+b-c ):
| ( small r= frac ) ( small = frac ) ( small = frac ) | (6) |
Учитывая (5), формулу (6) можно переписать так:
| ( small r= frac ) ( small = frac .) |
Таким образом другая формула вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности имеет вид:
| ( small r= frac ,) | (7) |
где c вычисляется из (5).
Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника a=17 и b=5. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (4) и (7). Вычислим, сначала, гипотенузу прямоугольного треугольника из формулы (5):
 |
Подставим значения ( small a=17, ; b=5; c=17.720045 ) в (7):
 |
Ответ: 
Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать
2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол
Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и прилежащий к нему угол β(Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
| ( small frac=frac .) |
Учитывая, что ( small alpha=90°-beta ) и ( small sin (90°-beta)=cos beta ), получим:
| ( small frac=frac ) ( small =frac=frac .) | (8) |
Тогда из (8) получим:
| ( small b=frac. ) | (9) |
Далее, из теоремы синусов:
| ( small frac=frac ) ( small =frac=frac .) |
| ( small c=frac .) | (10) |
Чтобы получить формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности через катет и прилежащий к нему угол, подставим значения ( small b ) и ( small c ) из (9) и (10) в (7):
  |
 | (11) |
Пример 2. Известны катет ( small a=21 ) и прилежащий к нему угол ( small beta=30° ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Подставим значения ( small a=21 ) ( small beta=30° ) в (11):
 |
Ответ: 
Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать
3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол
Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha; ) (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
В предыдущем параграфе мы вывели формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности по катету и прилежащему углу (формула (11)). Учитывая, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, имеем:
| ( small alpha+beta=90°) ( small beta=90°-alpha ) |
Тогда (11) можно преобразовать так (подробнее на странице Формулы приведения тригонометрических функций:
  |
 | (12) |
Пример 3. Известны катет ( small a=6 ) прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha=53°. ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (12). Подставим значение ( small a=6, ; alpha=53° ) в (12):
 |
Ответ: 
Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать
Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.
где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.
Равнобедренный треугольник
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:
где a – боковые стороны, b – основание треугольника.
Равносторонний треугольник
Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:
где a – сторона треугольника.
Видео:Задание 24 Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольникСкачать
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.
Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:
Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:
Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.
Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:
Видео:Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен
где a и b — катеты, c — гипотенуза.
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC катеты BC=a, AC=b, гипотенуза AB=c.
Проведём радиусы OK, OM, ON к сторонам треугольника.
(как отрезки касательных, проведённых из одной точки).
Отсюда следует, что четырёхугольник CKOM — квадрат, стороны которого равны радиусу вписанной в треугольник ABC окружности: CK=CM=OM=OK=r.
Таким образом, формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности
🔍 Видео
№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенузаСкачать
№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать
Радиус описанной окружностиСкачать
Прямоугольный треугольник Радиус описанной окружностиСкачать
🔴 Радиус вписанной в прямоугольный треугольник ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник. ЗадачаСкачать
Формула радиуса вневписанной окружности в прямоугольный треугольник, касающейся гипотенузы.Скачать
Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать
Геометрия Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиусСкачать
Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать
