Как найти площадь правильного пятиугольника вписанного в окружность

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º.

Так как все углы правильного n-угольника равны между собой, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (в частности, ∠A₂A₁A₅=108º).

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º. Поскольку все внешние углы правильного пятиугольника равны между собой, градусная мера каждого, например, угла 1, равна

∠1=360º:5=72º (можно было внешний угол искать как смежный с внутренним).

Каждый центральный угол правильного пятиугольника, например, угол A₁O A₂, равен

Как и любой другой правильный многоугольник, правильный пятиугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Соединив центр правильного многоугольника с его вершинами, получим пять равных равнобедренных треугольников.

Основанием каждого такого треугольника равно стороне 5-угольника, боковые стороны равны радиусу описанной окружности, угол при вершине — центральному углу 5-угольника.

Проведём из вершины высоту OF.

По свойству равнобедренного треугольника, OF является также медианой и биссектрисой треугольника A₁OA₅, то есть

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁OF.

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного пятиугольника окружности —

Подставив значение котангенса 36°, получаем:

Итак, формула радиуса вписанной в правильный пятиугольник окружности

можно найти площадь правильного пятиугольника. Здесь

Все диагонали правильного пятиугольника равны.

Видео:Математика Урок 10 Площадь правильного многоугольникаСкачать

Как найти площадь пятиугольника вписанного в окружность

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Калькулятор площади пятиугольника

Пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру с пятью углами. Существует множество разных пятиугольников, однако если стороны равны, а каждый угол фигуры равен 108 градусам, то многоугольник называется правильным и носит название «пентагон».

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

Геометрия пятиугольника

Пятиугольник — это фигура, которая состоит из пяти соединенных отрезков. Стороны произвольного многоугольника могут соединяться под разными углами, в результате чего фигура может быть невыпуклой. Наиболее ярким примером невыпуклого многоугольника является звезда, а пятиугольника — проекция зубчатой короны, когда два «зубца» выступают над прямоугольным основанием. Выпуклый многоугольник — это фигура, продолжение отрезков которого не пересекает других сторон. Если же мы продлим отрезки зубцов или лучей звезды, они пересекут другие стороны фигуры.

Видео:ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]Скачать

Пятиугольник в реальности

Невыпуклые геометрические фигуры редко встречаются в человеческой повседневности и обычно представляют собой основания для нестандартных призм. Наиболее распространенным пятиугольником в реальности считается пентагон — правильный многоугольник. Пентагон нашел применение в архитектуре и дизайне, и тезкой фигуры является одно из самых известных зданий Америки — штаб министерства обороны США.

Додекаэдр — платоново тело, каждая из 12 сторон которого является правильным пятиугольником. Додекаэдр используется в различных сферах, но наиболее известным представлением многогранника считается игральная кость d12, которая используется как генератор случайных чисел для настольных ролевых игр.

Несмотря на то, что многие организмы обладают пентасимметрией, например, морские звезды или плоды мушмулы, природные пятиугольные объекты практически не встречаются в природе.

Видео:Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружностиСкачать

Площадь пентагона

Площадь любой геометрической фигуры — это количественная оценка того, какую часть плоскости ограничивают ее стороны. Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по общей для всех правильных многоугольников формуле:

S = n/4 × a 2 × ctg(pi/n),

где n – количество сторон фигуры, a – длина стороны.

Таким образом, если подставить n = 5 и выразить получившееся выражение десятичной дробью, мы получим простую формулу для вычисления площади пентагона:

где a — длина одной стороны.

Сторона пентагона и радиусы вписанной r и описанной окружности R приблизительно соотносятся как:

Программный код калькулятора использует эти соотношения, что позволяет вам найти площадь правильного пятиугольника, зная только один параметр из перечисленных:

• радиус вписанной окружности;
• радиус описанной окружности;
• длина стороны.

Рассмотрим на примерах, как вычислить площадь правильного пятиугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Примеры из жизни

Пентагон

Штаб министерства обороны США — это всемирно известное здание, которое имеет форму правильного пятиугольника. Каждая сторона штаба имеет длину 281 м и мы без проблем можем узнать, какую площадь занимает здание. Для более удобного представления выразим длину в километрах, введем эти данные в форму калькулятора a = 0,281 и получим результат:

Площадь Пентагона составит 0,136 квадратных километров.

Школьная задача

К примеру, необходимо вычислить площадь пентагона, зная, что радиус вписанной окружности составляет 15 см. Мы можем выразить сторону многоугольника через простое соотношение радиуса вписанной окружности и длины стороны a = 1,4131 r, после чего посчитать по формуле его площадь. Проще всего ввести значение радиуса в ячейку «Радиус вписанной окружности r» и получить мгновенный результат:

Кроме непосредственно площади фигуры, калькулятор автоматически подсчитал остальные атрибуты пятиугольника.

Видео:Свойства правильного шестиугольника. Сравнение площадей. Разбор задачи из стереометрии.Скачать

Заключение

Пентагон нечасто встречается в реальной жизни, однако при решении производственных вопросов или школьных задач вам может понадобиться рассчитать площадь или периметр правильных многоугольников. Наш каталог калькуляторов к вашим услугам.

Видео:112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать

Площадь пятиугольника (пентагона).

Пятиугольник (пентагон) — представляет собой геометрическую фигуру с пятью углами. существует множество разных пятиугольников, однако если стороны равны, а каждый угол фигуры равен 108 градусам, то многоугольник называется правильным.

Формула расчёта площади пятиугольника (пентагона) зная длину сторон: S=n/4 × a 2 × ctg(pi/n).
Где (S) — площадь пятиугольника, (n) — количество сторон, в нашем случае 5, (a) — длина стороны, (ctg) — котангенс.

Формула расчёта площади пятиугольника (пентагона) зная радиус вписанной окружности: a = 1,4131 × r.
Где (r) — радиус вписанной окружности, дальше используем формулу расчёта площади пятиугольника (пентагона)

Формула расчёта площади пятиугольника (пентагона) зная радиус описанной окружности: a = 1,1756 × r.
Где (r) — радиус вписанной окружности, дальше используем формулу расчёта площади пятиугольника (пентагона)

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№22 - Формулы площади правильного многоугольника,стороны и радиуса впис.окр.)Скачать

Калькулятор для расчёта площади пятиугольника (пентагона), онлайн

Понравилась страница? Поделитесь ссылкой в социальных сетях. Поддержите проект!

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Площадь правильного и неправильного пятиугольника: как рисовать, упражнения

Видео:Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Содержание:

Для расчета площадь пятиугольника для начала нам нужно определить, регулярно это или нет. Пятиугольник — это многоугольник, замкнутая плоская фигура с пятью сторонами. Когда многоугольник правильный, это означает, что длина его сторон одинакова, а его внутренние углы одинаковы.

В этом случае есть формула для вычисления точной площади правильного многоугольника, зная некоторые из его основных характеристик, которые мы выведем позже.

Если многоугольник не правильный, то есть имеет стороны разных размеров и неравные внутренние углы, единой формулы не существует.

Однако математики нашли методы вычислений, такие как разделение фигуры на другие с меньшим количеством сторон, такие как треугольники, квадраты и прямоугольники, размеры которых легко узнать или вычислить.

Еще одна процедура для вычисления площадей полигонов в целом, зная координаты их вершин, — это метод, называемый Гауссовские детерминанты, о котором мы расскажем позже.

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Как найти площадь правильного пятиугольника?

Мы собираемся взять правильный пятиугольник со стороной a и разделить его на 5 равных треугольников, как показано на рисунке, проведя отрезки от центра (красный) до вершин (синий).

В свою очередь, треугольники, как и тот, который выделен желтым справа на рисунке выше, делятся на два равных прямоугольных треугольника благодаря зеленому сегменту, который называется апофема.

Апофема определяется как перпендикулярный сегмент, который соединяет центр многоугольника с центром одной из сторон. Его длина L_К.

Площадь прямоугольного треугольника с основанием a / 2 и высотой L_К это:

Пентагон состоит из 10 таких треугольников, поэтому его площадь равна:

А = 10 (а / 2) х L_К

Но периметр п пятиугольника равно P =10а, поэтому площадь определяется как произведение периметра и длины апофемы:

Видео:Построение пятиугольника циркулемСкачать

Площадь правильного пятиугольника, знающая сторону a

Выражая длину апофемы L_К как функция стороны a, зная, что указанный угол составляет половину центрального угла, то есть 36º, что эквивалентно:

Методом элементарной тригонометрии через тангенс острого угла 36º:

загар (π / 5) = (a / 2) ÷ L_К

L_К= (а / 2) ÷ загар (π / 5)

Подставив в область, выведенную в предыдущем разделе, и зная, что P = 5a:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Площадь правильного пятиугольника, зная его радиус

В радио правильного многоугольника — это отрезок, идущий от центра до одной из его вершин. Он соответствует радиусу описанной окружности, как показано на следующем рисунке:

Пусть R — мера указанного радиуса, которая совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника, выделенного синим цветом на предыдущем рисунке. По тригонометрии:

cos 36º = cos (π / 5) = L_К ÷ R

sin 36º = sin (π / 5) = (a / 2) ÷ R

А = P x L_К / 2 = 5р. sin (π / 5) x R. cos (π / 5) = 5R 2 [sin (π / 5) x cos (π / 5)]

Используя формулу двойного угла:

грех (2θ) = 2 греха θ. cos θ

[sin (π / 5) x cos (π / 5)] = (1/2) sin 72º

Итак, подставив это значение, мы получим следующую формулу для площади правильного пятиугольника:

А = (5/2) R 2 .sen 72º

Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Как рассчитать площадь неправильного пятиугольника?

Как мы уже говорили ранее, для неправильного многоугольника не существует уникальной формулы, но есть два метода, которые обычно работают очень хорошо: первый называется триангуляцией, а второй — методом детерминантов Гаусса.

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

Триангуляция

Он состоит из деления фигуры на треугольники, площадь которых легче вычислить, или ее также можно проверить с другими фигурами, площадь которых известна, такими как квадраты, прямоугольники и трапеции.

Видео:2. Построения с помощью циркуля и линейки.Скачать

Гауссовские детерминанты

Другой способ найти площадь неправильного пятиугольника или другого неправильного многоугольника — это поместить фигуру в декартову систему координат, чтобы найти координаты вершин.

Зная эти координаты, применяется гауссовский метод определителей для вычисления площади, которая определяется следующей формулой:

Где A — площадь многоугольника, а (x_п , Y_п ) — координаты вершин. Многоугольник с n сторонами имеет 5 вершин, для пятиугольника это будет n = 5:

Полосы, сопровождающие формулу, представляют собой столбцы модуля или абсолютного значения.

Это означает, что даже если результат операции отрицательный, мы должны выразить его положительным знаком, а если он уже положительный, то его нужно оставить с этим знаком. Это потому, что площадь всегда является положительной величиной.

Процедура названа гауссовскими детерминантами в честь ее создателя, немецкого математика Карла Ф. Гаусса (1777-1855). Указанные операции эквивалентны определителю матрицы 2 × 2, например, первый определитель равен:

Чтобы найти площадь пятиугольника, мы должны решить 5 определителей, сложить результат алгебраически, разделить его на 2 и, наконец, выразить площадь всегда с положительным знаком.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Решенные упражнения

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Упражнение 1

Найдите площадь правильного пятиугольника, апофема которого равна 4 см, а сторона — 5,9 см.

Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

Решение

Поскольку это правильный пятиугольник, а у нас есть размеры стороны и апофемы, мы используем формулу, полученную выше:

Периметр P равен 5a = 5 x 5,9 см = 29,5 см.

A = 29,5 см x 4 см / 2 = 59 см 2

Упражнение 2.

Найдите площадь неправильного пятиугольника, как показано. Известны следующие размеры:

Решение

Площадь пятиугольника — это сумма площадей треугольников, которые являются прямоугольниками. В заявлении говорится, что DC ≈ DE, поэтому при применении теоремы Пифагора к треугольнику EDC мы имеем:

EC 2 = 2 ED 2 . Тогда EC = √2.ED.

Треугольники AEC и ABC имеют общую гипотенузу — отрезок AC, поэтому:

EA 2 + EC 2 = AB 2 + BC 2

Поскольку EA и AB измеряют одно и то же, отсюда следует, что:

Поскольку BC = 12, то ED = 12 / √2 = 8,485.

Используя эти значения, мы рассчитаем площадь каждого треугольника и добавим их в конце.

Площадь треугольника EDC

ED x DC / 2 = 8,485 2 / 2 = 36

Площадь треугольника AEC

EA x EC / 2 = EA x √2. ED / 2 = 5 x √2. 8 485/2 = 30

Площадь треугольника ABC

Тогда искомая область:

Это то же самое, что и треугольник AEC, поскольку они оба имеют одинаковые размеры.

Площадь неправильного пятиугольника

Наконец, запрашиваемая площадь представляет собой сумму площадей трех треугольников:

А = 36 + 30 + 30 единиц = 96 единиц.

Ссылки

1. Александр, Д. 2013. Геометрия. 5-е. Издание. Cengage Learning.
2. Открытый справочник по математике. Площадь многоугольника. Получено с: mathopenref.com.
3. Формулы Вселенной. Площадь неправильного пятиугольника. Получено с: universaloformulas.com.
4. Формулы Вселенной. Площадь правильного пятиугольника. Получено с: universaloformulas.com.
5. Википедия. Пентагон. Получено с: es.wikipedia.com.

11 преимуществ папайи, восхитительного тропического фрукта

Площадь правильного и неправильного пятиугольника: как рисовать, упражнения

Содержание:

Для расчета площадь пятиугольника для начала нам нужно определить, регулярно это или нет. Пятиугольник — это многоугольник, замкнутая плоская фигура с пятью сторонами. Когда многоугольник правильный, это означает, что длина его сторон одинакова, а его внутренние углы одинаковы.

В этом случае есть формула для вычисления точной площади правильного многоугольника, зная некоторые из его основных характеристик, которые мы выведем позже.

Если многоугольник не правильный, то есть имеет стороны разных размеров и неравные внутренние углы, единой формулы не существует.

Однако математики нашли методы вычислений, такие как разделение фигуры на другие с меньшим количеством сторон, такие как треугольники, квадраты и прямоугольники, размеры которых легко узнать или вычислить.

Еще одна процедура для вычисления площадей полигонов в целом, зная координаты их вершин, — это метод, называемый Гауссовские детерминанты, о котором мы расскажем позже.

Как найти площадь правильного пятиугольника?

Мы собираемся взять правильный пятиугольник со стороной a и разделить его на 5 равных треугольников, как показано на рисунке, проведя отрезки от центра (красный) до вершин (синий).

В свою очередь, треугольники, как и тот, который выделен желтым справа на рисунке выше, делятся на два равных прямоугольных треугольника благодаря зеленому сегменту, который называется апофема.

Апофема определяется как перпендикулярный сегмент, который соединяет центр многоугольника с центром одной из сторон. Его длина L_К.

Площадь прямоугольного треугольника с основанием a / 2 и высотой L_К это:

Пентагон состоит из 10 таких треугольников, поэтому его площадь равна:

А = 10 (а / 2) х L_К

Но периметр п пятиугольника равно P =10а, поэтому площадь определяется как произведение периметра и длины апофемы:

Площадь правильного пятиугольника, знающая сторону a

Выражая длину апофемы L_К как функция стороны a, зная, что указанный угол составляет половину центрального угла, то есть 36º, что эквивалентно:

Методом элементарной тригонометрии через тангенс острого угла 36º:

загар (π / 5) = (a / 2) ÷ L_К

L_К= (а / 2) ÷ загар (π / 5)

Подставив в область, выведенную в предыдущем разделе, и зная, что P = 5a:

Площадь правильного пятиугольника, зная его радиус

В радио правильного многоугольника — это отрезок, идущий от центра до одной из его вершин. Он соответствует радиусу описанной окружности, как показано на следующем рисунке:

Пусть R — мера указанного радиуса, которая совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника, выделенного синим цветом на предыдущем рисунке. По тригонометрии:

cos 36º = cos (π / 5) = L_К ÷ R

sin 36º = sin (π / 5) = (a / 2) ÷ R

А = P x L_К / 2 = 5р. sin (π / 5) x R. cos (π / 5) = 5R 2 [sin (π / 5) x cos (π / 5)]

Используя формулу двойного угла:

грех (2θ) = 2 греха θ. cos θ

[sin (π / 5) x cos (π / 5)] = (1/2) sin 72º

Итак, подставив это значение, мы получим следующую формулу для площади правильного пятиугольника:

А = (5/2) R 2 .sen 72º

Как рассчитать площадь неправильного пятиугольника?

Как мы уже говорили ранее, для неправильного многоугольника не существует уникальной формулы, но есть два метода, которые обычно работают очень хорошо: первый называется триангуляцией, а второй — методом детерминантов Гаусса.

Триангуляция

Он состоит из деления фигуры на треугольники, площадь которых легче вычислить, или ее также можно проверить с другими фигурами, площадь которых известна, такими как квадраты, прямоугольники и трапеции.

Гауссовские детерминанты

Другой способ найти площадь неправильного пятиугольника или другого неправильного многоугольника — это поместить фигуру в декартову систему координат, чтобы найти координаты вершин.

Зная эти координаты, применяется гауссовский метод определителей для вычисления площади, которая определяется следующей формулой:

Где A — площадь многоугольника, а (x_п , Y_п ) — координаты вершин. Многоугольник с n сторонами имеет 5 вершин, для пятиугольника это будет n = 5:

Полосы, сопровождающие формулу, представляют собой столбцы модуля или абсолютного значения.

Это означает, что даже если результат операции отрицательный, мы должны выразить его положительным знаком, а если он уже положительный, то его нужно оставить с этим знаком. Это потому, что площадь всегда является положительной величиной.

Процедура названа гауссовскими детерминантами в честь ее создателя, немецкого математика Карла Ф. Гаусса (1777-1855). Указанные операции эквивалентны определителю матрицы 2 × 2, например, первый определитель равен:

Чтобы найти площадь пятиугольника, мы должны решить 5 определителей, сложить результат алгебраически, разделить его на 2 и, наконец, выразить площадь всегда с положительным знаком.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Найдите площадь правильного пятиугольника, апофема которого равна 4 см, а сторона — 5,9 см.

Решение

Поскольку это правильный пятиугольник, а у нас есть размеры стороны и апофемы, мы используем формулу, полученную выше:

Периметр P равен 5a = 5 x 5,9 см = 29,5 см.

A = 29,5 см x 4 см / 2 = 59 см 2

Упражнение 2.

Найдите площадь неправильного пятиугольника, как показано. Известны следующие размеры:

Решение

Площадь пятиугольника — это сумма площадей треугольников, которые являются прямоугольниками. В заявлении говорится, что DC ≈ DE, поэтому при применении теоремы Пифагора к треугольнику EDC мы имеем:

EC 2 = 2 ED 2 . Тогда EC = √2.ED.

Треугольники AEC и ABC имеют общую гипотенузу — отрезок AC, поэтому:

EA 2 + EC 2 = AB 2 + BC 2

Поскольку EA и AB измеряют одно и то же, отсюда следует, что:

Поскольку BC = 12, то ED = 12 / √2 = 8,485.

Используя эти значения, мы рассчитаем площадь каждого треугольника и добавим их в конце.

Площадь треугольника EDC

ED x DC / 2 = 8,485 2 / 2 = 36

Площадь треугольника AEC

EA x EC / 2 = EA x √2. ED / 2 = 5 x √2. 8 485/2 = 30

Площадь треугольника ABC

Тогда искомая область:

Это то же самое, что и треугольник AEC, поскольку они оба имеют одинаковые размеры.

Площадь неправильного пятиугольника

Наконец, запрашиваемая площадь представляет собой сумму площадей трех треугольников:

А = 36 + 30 + 30 единиц = 96 единиц.

Ссылки

1. Александр, Д. 2013. Геометрия. 5-е. Издание. Cengage Learning.
2. Открытый справочник по математике. Площадь многоугольника. Получено с: mathopenref.com.
3. Формулы Вселенной. Площадь неправильного пятиугольника. Получено с: universaloformulas.com.
4. Формулы Вселенной. Площадь правильного пятиугольника. Получено с: universaloformulas.com.
5. Википедия. Пентагон. Получено с: es.wikipedia.com.

Уиллис Хэвиленд Кэрриер: биография и вклад

Экологический детерминизм: что это такое, характеристики и примеры