Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Как найти хорду окружности через секущую и касательнуюОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как найти хорду окружности через секущую и касательнуюСвойства хорд и дуг окружности
Как найти хорду окружности через секущую и касательнуюТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как найти хорду окружности через секущую и касательнуюДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как найти хорду окружности через секущую и касательнуюТеорема о бабочке

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак найти хорду окружности через секущую и касательную
КругКак найти хорду окружности через секущую и касательную
РадиусКак найти хорду окружности через секущую и касательную
ХордаКак найти хорду окружности через секущую и касательную
ДиаметрКак найти хорду окружности через секущую и касательную
КасательнаяКак найти хорду окружности через секущую и касательную
СекущаяКак найти хорду окружности через секущую и касательную
Окружность
Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак найти хорду окружности через секущую и касательную

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак найти хорду окружности через секущую и касательную

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак найти хорду окружности через секущую и касательную

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак найти хорду окружности через секущую и касательную

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак найти хорду окружности через секущую и касательную

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак найти хорду окружности через секущую и касательную

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак найти хорду окружности через секущую и касательнуюДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак найти хорду окружности через секущую и касательнуюЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак найти хорду окружности через секущую и касательнуюБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак найти хорду окружности через секущую и касательнуюУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак найти хорду окружности через секущую и касательнуюДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКак найти хорду окружности через секущую и касательную

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКак найти хорду окружности через секущую и касательную

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКак найти хорду окружности через секущую и касательную

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКак найти хорду окружности через секущую и касательную

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКак найти хорду окружности через секущую и касательную

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКак найти хорду окружности через секущую и касательную

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак найти хорду окружности через секущую и касательную
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак найти хорду окружности через секущую и касательную
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак найти хорду окружности через секущую и касательную
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак найти хорду окружности через секущую и касательную

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Пересекающиеся хорды
Как найти хорду окружности через секущую и касательную
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как найти хорду окружности через секущую и касательную
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как найти хорду окружности через секущую и касательную
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как найти хорду окружности через секущую и касательную
Пересекающиеся хорды
Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Видео:Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27862Скачать

Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27862

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Тогда справедливо равенство

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Хорда, секущая, касательная

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Определения

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

В частности, хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .

Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Видео:ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ХОРДА, КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ.Скачать

ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ХОРДА, КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ.

Свойства

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением: Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны: Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки: Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов Видеодоказательство

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Касательная к окружности

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

О чем эта статья:

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Как найти хорду окружности через секущую и касательную

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

💡 Видео

Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ ПРОФИЛЬ #27884Скачать

Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ ПРОФИЛЬ  #27884

Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27859Скачать

Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27859

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1

Угол между хордой и касательной. 9 класс.Скачать

Угол между хордой и касательной. 9 класс.

Касательная, хорда, секущая. ТеорияСкачать

Касательная, хорда, секущая.  Теория

ОГЭ математика 10 минут на подготовку. Задание 16 касательная хорда секущаяСкачать

ОГЭ математика 10 минут на подготовку. Задание 16 касательная хорда секущая

Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Касательная и секущая к окружности.Скачать

Касательная и секущая к окружности.

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)
Поделиться или сохранить к себе: