Как найти ctg на окружности

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что

Ответ:

Пример 2.

Вычислить

Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить

Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .

Так значит,

Ответ:

Пример 4.

Вычислить

Поэтому от точки (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .

Выходим на ось котангенсов, получаем, что

Ответ:

Пример 5.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что

Ответ:

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Котангенс

Котангенс – одна из тригонометрических функций. Как и для всех других функций, значение котангенса определяется для конкретного угла или числа (в этом случае используют числовую окружность).

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Аргумент и значение

Аргументом может быть:
— как число или выражение с Пи: (1,3), (frac), (π), (-frac) и т.п.
— так и угол в градусах: (45^°), (360^°),(-800^°), (1^° ) и т.п.

Для обоих случаев значение котангенса вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).

Видео:Тригонометрическая окружность tg x и ctg xСкачать

Котангенс острого угла

Котангенс можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

1) Пусть дан угол и нужно определить (ctgA).

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить (ctg;A).

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Вычисление котангенса числа или любого угла

Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших (360°) котангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:

Пример. Вычислите (ctg: frac).
Решение: Найдем сначала (frac) на круге. Затем найдем (cos:⁡frac) и (sin:frac), а потом поделим одно на другое.

Решение: Чтобы найти котангенс пи на (2) нужно найти сначала косинус и синус (frac). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга :

Точка (frac) на числовой окружности совпадает с (1) на оси синусов, значит (sin:frac=1). Если из точки (frac) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси косинусов, то мы попадем в точку (0), значит (cos:⁡frac=0). Получается: (ctg:frac=) (frac<cos:⁡frac><sin:⁡frac>) (=)(frac)(=0).

Пример. Вычислите (ctg:(-765^circ)).
Решение: (ctg: (-765^circ)=) (frac)
Что бы вычислить синус и косинус (-765^°). Отложим (-765^°) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на (720^°) , а потом еще на (45^°).

Однако можно определять значение котангенса и напрямую через тригонометрический круг — для этого надо на нем построить дополнительную ось:

Прямая проходящая через (frac) на числовой окружности и параллельная оси абсцисс (косинусов) называется осью котангенсов. Направление оси котангенсов и оси косинусов совпадает.

Ось котангенсов – это фактически копия оси косинусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси косинусов.

Чтобы определить значение котангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу котангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси котангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси.

2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.

3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется (1).

Пример. Найдите значение (ctg: 30°) и (ctg: (-60°)).
Решение:
Для угла (30°) ((∠COA)) котангенс будет равен (sqrt) (приблизительно (1,73)), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку (A), пересекает ось котангесов.
(ctg;(-60°)=frac<sqrt><>) (примерно (-0,58)).

Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.

В отличие от синуса и косинуса значение котангенса не ограничено и лежит в пределах от (-∞) до (+∞), то есть может быть любым.

При этом котангенс не определен для:
1) всех точек (C) (значение в Пи: …(0), (2π), (4π), (-2π), (-4π) …; и значение в градусах: …(0°),(360°), (720°),(-360°),(-720°)…)
2) всех точек (D) (значение в Пи: …(π), (3π), (5π), (-π), (-3π), (-5π) …; и значение в градусах: …(180°),(540°),(900°),(-180°),(-540°),(-900°)…) .

Так происходит потому, что в этих точках синус равен нулю. А значит, вычисляя значение котангенса мы придем к делению на ноль, что запрещено. И прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось котангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках котангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений он может быть найден).

Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с котангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ .

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Знаки по четвертям

С помощью оси котангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак котангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.

Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение котангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

Связь с другими тригонометрическими функциями:

— тангенсом того же угла: формулой (tg⁡:x=) (frac)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Видео:Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π .

Например, для угла 90° будет 90°180°· π = 12π

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Видео:СИНУС КОСИНУС ТАНГЕНС угла 10 класс РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВСкачать

Видео

Видео:10 класс, 20 урок, Функции y=tgx, y=ctgx, их свойства и графикиСкачать

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный вид треугольника — это тот, у которого один из углов равен 90°. Он образован катетами и гипотенузой со всеми значениями тригонометрии. Катеты две стороны треугольника, которые прилегают к углу 90°, а третья гипотенуза, она всегда длиннее катетов.

Синусом называется отношение одного из катетов к гипотенузе, косинусом отношение другого катета к ней, а тангенсом отношение двух катетов. Отношение символизирует деление. Также тангенсом является деление острого угла на синус с косинусом. Котангенсом является противоположное тангенсу отношение.

Формулы последних двух отношений выглядят следующим образом: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).

Видео:ЗАЧЕМ НУЖНА ЭТА ... тригонометрия! Математика на QWERTYСкачать

Тангенс угла

Синус и косинус являются основными, или, как говорят математики, прямыми тригонометрическими ф-циями. Однако есть ещё две производных тригонометрических ф-ций – тангенс и котангенс. Напомним, что тангенс угла в прямоугольном треугол-ке – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Однако в тригонометрии куда удобнее пользоваться другим его определением. Тангенс – это отношение синуса угла к его косинусу:

Для получения тангенса на единичной окружности необходимо продолжить прямую, образующую угол α, до её пересечения с прямой х = 1. Точка их пересечения будет иметь координаты (1; tgα):

Заметим, что если α относится ко второй четверти, то тангенс получится отрицательным. Действительно, с одной стороны, соответствующая прямая пересечет линию х = 1 в точке, лежащей ниже оси Ох:

С другой стороны, мы знаем, что во второй четверти синус положителен, а косинус – отрицателен. Тогда их отношение, то есть тангенс, должно быть отрицательным:

Очевидно, что тангенс должен быть периодической ф-цией. Однако его период вдвое меньше 2π и составляет π. Действительно, углы, отличающиеся на π, будут иметь одинаковое значение тангенса, что видно из построения:

Это значит, что справедлива формула:

С другой стороны, это означает, что тангенсы углов из III четверти положительны, ведь они равны тангенсам углов из I четверти. Аналогично можно утверждать, что тангенсы углов из IV четверти отрицательны:

Также тангенс является нечетной ф-цией. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью единичной окружности tgα и tg (– α):

Из построения видно, что tg (– α) = tgα, поэтому тангенс попадает под определение нечетной ф-ции.

Доказать этот факт можно и иначе. Вспомним, что синус – это нечетная ф-ция, а косинус – четная. Тогда, используя определение тангенса, можно записать:

Для вычисления тангенса проще всего использовать его определение. Мы знаем синусы и косинусы стандартных углов, а потому, деля их друг на друга, сможем найти и тангенсы стандартных углов:

Ещё раз отметим, что важнее всего запомнить значения синусов и косинусов стандартных углов. Зная их, школьник всегда сможет самостоятельно вычислить тангенс.

Можно ли вычислить тангенс для угла π/2, то есть для 90°? Сделать это не получится, ведь cosπ/2 равен нулю. Если подставить cosπ/2 в формулу для вычисления тангенса, то получится деление на ноль! Так как тангенс – периодическая ф-ция, то его нельзя вычислить и в тех точках, которые отличаются от π/2 на целое число π.

В частности, тангенс не определен при х = – π/2.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

( displaystyle cos 30^circ =frac<sqrt>)Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: ( displaystyle 60^circ ) и ( displaystyle 45^circ )

Можно схитрить: в частности для угла в ( displaystyle 60^circ ) градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 60^circ ) градусам, то второй – ( displaystyle 30^circ ) градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:( displaystyle sin 30^circ =cos 60^circ )( displaystyle sin 60^circ =cos 30^circ )Тогда так как ( displaystyle sin 30^circ =0,5), то и ( displaystyle cos 60^circ =0,5). Так как ( displaystyle cos 30^circ =frac<sqrt>), то и ( displaystyle sin 60^circ =frac<sqrt>).

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Тогда:( displaystyle si<^>45^circ +co<^>45^circ =2si<^>45^circ =1)( displaystyle si<^>45^circ =co<^>45^circ =1/2)Откуда: ( displaystyle sin 45^circ =cos 45^circ =sqrt=frac<sqrt>)

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

( displaystyle sin 0^circ =0), ( displaystyle cos 0^circ =1), ( displaystyle sin 90^circ =1), ( displaystyle cos 90^circ =0).Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

( displaystyle textg alpha =frac), ( displaystyle ctg alpha =frac)Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

( displaystyle ctg 0=frac=frac=. )Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс ( displaystyle 90) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

• Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
• Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

…вот такой:

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle <_>), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle <_>) и ( displaystyle <_>).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Видео:Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Видео:Найти значения cos(a), tg(a), ctg(a)Скачать

Два случая, когда тригонометрическая окружность может пригодиться для решения уравнений

• В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
• В ответе получается уж слишком много серий корней

Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме знания темы: «Тригонометрические уравнения»

Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили.

Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Например здесь:

Решите уравнение: ( displaystyle 8co<^>x-10co<^>x+3=0)

Решение:

Ну что же. Решить само уравнение несложно.

Замена ( displaystyle t=co<^>x).

( displaystyle cosx=frac<sqrt>) или ( displaystyle cosx=-frac<sqrt>)

Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям!

Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней?!

🎬 Видео

Четность, нечетность тригонометрических функций. 9 класс.Скачать

Знаки синуса, косинуса, тангенса ЛекцияСкачать

Тригонометрическая окружность (2) / таблица значений sin, cos, tg, ctgСкачать

Спидран: Как запомнить таблицу синусов и косинусов за 1 минуту? Евгений ДолжкевичСкачать

🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

Тригонометрические функции, y=tgx и y=ctgx, их свойства и графики. 10 класс.Скачать