Как найти часть окружности зная хорду

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Сегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Геометрия круга

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии.

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.

• Окружность — линия, ограничивающая круг.
• Дуга — часть окружности.
• Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
• Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Интересующие нас величины и их обозначения:

• R — радиус круга (здесь «радиус» — это уже не отрезок, а его длина);
• D — диаметр круга — двойной радиус;
• C — длина окружности;
• L — длина дуги;
• X — длина хорды;
• H — высота сегмента;
• φ — центральный угол — угол между двумя радиусами;
• — площадь круга;
• — площадь сектора;
• — площадь сегмента.

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

• Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
• Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
• Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

1. Даны диаметр D и длина дуги L

; длина хорды ;
высота сегмента ; центральный угол .

2. Даны диаметр D и длина хорды X

; длина дуги ;
высота сегмента ; центральный угол .

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол .

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

; длина дуги ;
длина хорды ; высота сегмента .

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

; длина дуги ;
длина хорды ; центральный угол .

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

; диаметр ;
длина хорды ; высота сегмента .

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

; длина дуги ;
диаметр ; высота сегмента .

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

; длина дуги ;
диаметр ; центральный угол .

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

; диаметр ;
длина дуги ; длина хорды .

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X

7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности ;
площадь круга ;
площадь сектора ;
площадь сегмента ;

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

Длина хорды и высота сегмента круга

Свойства

Зная длину хорды и высоту сегмента круга, необходимо для вычисления всех остальных параметров воспользоваться одновременно обеими формулами, выразив через них радиус круга. c=2r sin⁡〖α/2〗 h=r(1-cos⁡〖α/2〗 ) r=h/2+c^2/8h

Угол сегмента круга можно выразить через любую из вышеприведенных формул для хорды и высоты сегмента. В случае с хордой синус половинного угла будет равен ее длине, деленной на два радиуса. sin⁡〖α/2〗=c/2r

Длина дуги и площадь сегмента круга вычисляются по стандартным формулам, в которые необходимо подставить полученное для радиуса выражение. P=αr=α(h/2+c^2/8h) S=r^2 (α/2-sin⁡α )=1/2 (h/2+c^2/8h)^2 (α-sin⁡α )