Как найти ам в треугольнике

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Содержание
  1. Определение медианы треугольника
  2. Свойства медианы
  3. Свойство 1 (основное)
  4. Свойство 2
  5. Свойство 3
  6. Свойство 4
  7. Свойство 5
  8. Примеры задач
  9. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  10. Типы треугольников
  11. По величине углов
  12. По числу равных сторон
  13. Вершины углы и стороны треугольника
  14. Свойства углов и сторон треугольника
  15. Теорема синусов
  16. Теорема косинусов
  17. Теорема о проекциях
  18. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  19. Медианы треугольника
  20. Свойства медиан треугольника:
  21. Формулы медиан треугольника
  22. Биссектрисы треугольника
  23. Свойства биссектрис треугольника:
  24. Формулы биссектрис треугольника
  25. Высоты треугольника
  26. Свойства высот треугольника
  27. Формулы высот треугольника
  28. Окружность вписанная в треугольник
  29. Свойства окружности вписанной в треугольник
  30. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  31. Окружность описанная вокруг треугольника
  32. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  33. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  34. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  35. Средняя линия треугольника
  36. Свойства средней линии треугольника
  37. Периметр треугольника
  38. Формулы площади треугольника
  39. Формула Герона
  40. Равенство треугольников
  41. Признаки равенства треугольников
  42. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  43. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  44. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  45. Подобие треугольников
  46. Признаки подобия треугольников
  47. Первый признак подобия треугольников
  48. Второй признак подобия треугольников
  49. Третий признак подобия треугольников
  50. Решение треугольников онлайн
  51. Решение треугольника по трем сторонам
  52. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  53. Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Как найти ам в треугольнике

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:№109. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AMСкачать

№109. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Как найти ам в треугольнике

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Как найти ам в треугольнике

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Как найти ам в треугольнике

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Как найти ам в треугольнике

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Как найти ам в треугольнике

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Как найти ам в треугольнике

Видео:№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Типы треугольников

По величине углов

Как найти ам в треугольнике

Как найти ам в треугольнике

Как найти ам в треугольнике

По числу равных сторон

Как найти ам в треугольнике

Как найти ам в треугольнике

Как найти ам в треугольнике

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Как найти ам в треугольнике

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

Медианы треугольника

Как найти ам в треугольнике

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Биссектрисы треугольника

Как найти ам в треугольнике

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Высоты треугольника

Как найти ам в треугольнике

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

Окружность вписанная в треугольник

Как найти ам в треугольнике

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Окружность описанная вокруг треугольника

Как найти ам в треугольнике

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Как найти ам в треугольнике

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:500 ДНЕЙ НА ОСТРОВЕ ХАРДКОР МАЙНКРАФТ ВСЕ СЕРИИСкачать

500 ДНЕЙ НА ОСТРОВЕ ХАРДКОР МАЙНКРАФТ ВСЕ СЕРИИ

Периметр треугольника

Как найти ам в треугольнике

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:ПОП ИТ ТРЕЙДЫ! ЧелленджСкачать

ПОП ИТ ТРЕЙДЫ! Челлендж

Формулы площади треугольника

Как найти ам в треугольнике

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Геометрия В треугольнике ABC известно, что AC = a, AB = BC = b, AM и CK – биссектрисы треугольникаСкачать

Геометрия В треугольнике ABC известно, что AC = a, AB = BC = b, AM и CK – биссектрисы треугольника

Подобие треугольников

Как найти ам в треугольнике

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:ОГЭ 23 КАК РЕШИТЬ ЗАДАЧУ НА ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИСкачать

ОГЭ 23 КАК РЕШИТЬ ЗАДАЧУ НА ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Видео:ОГЭ Р-2 номер 16Скачать

ОГЭ Р-2 номер 16

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Как найти ам в треугольнике.

Как найти ам в треугольнике
Как найти ам в треугольнике
Как найти ам в треугольнике
Как найти ам в треугольнике(1)
Как найти ам в треугольнике(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Как найти ам в треугольнике.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Как найти ам в треугольникеНайти Как найти ам в треугольнике(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Как найти ам в треугольникеКак найти ам в треугольнике.
Как найти ам в треугольникеКак найти ам в треугольнике.
Как найти ам в треугольнике, Как найти ам в треугольнике.

И, наконец, находим угол C:

Как найти ам в треугольникеКак найти ам в треугольнике

Видео:№231. Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольникСкачать

№231. Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Как найти ам в треугольнике

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Как найти ам в треугольнике.
Как найти ам в треугольнике.

Далее, из формулы

Как найти ам в треугольнике.
Как найти ам в треугольнике.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти ам в треугольнике.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Как найти ам в треугольникеи Как найти ам в треугольнике(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Как найти ам в треугольнике,
Как найти ам в треугольникеКак найти ам в треугольникеКак найти ам в треугольнике.

Из формулы (3) найдем cosA:

Как найти ам в треугольникеКак найти ам в треугольнике
Как найти ам в треугольнике.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти ам в треугольникеКак найти ам в треугольнике.

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Как найти ам в треугольнике

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Как найти ам в треугольнике.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Как найти ам в треугольнике, Как найти ам в треугольнике.
Как найти ам в треугольнике, Как найти ам в треугольнике.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Как найти ам в треугольникеи углы Как найти ам в треугольнике(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Как найти ам в треугольникеКак найти ам в треугольнике

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Как найти ам в треугольнике
Как найти ам в треугольнике

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Поделиться или сохранить к себе: