Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать
Определение
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.
Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Признаки подобия треугольников
I признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
II признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать
Свойства подобных треугольников
- Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
- Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.
Видео:8 класс, 19 урок, Пропорциональные отрезкиСкачать
Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
2. Треугольники 
и 
, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – 
3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .
Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать
Пропорциональные отрезки
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 346.
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 346.
Пропорциональные отрезки очень важны для определения подобия фигур. К тому же, правильно нареченные пропорционально рисунки помогают в правильном решении математических задач. Именно поэтому так важно разбираться в данной тематике.
Видео:8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать
Определение
Пропорциональными отрезками называются отрезки, у которых имеется постоянный коэффициент пропорциональности. Под коэффициентом пропорциональности понимается отношение длин отрезков.
Рис. 1. Пропорциональные отрезки.
Согласно определению пропорциональных отрезков, два отрезка всегда пропорциональны между собой, поскольку их длины не меняются со временем. Значит, не меняется и коэффициент пропорциональности.
Несмотря на это, чаще всего под пропорциональными отрезками понимают отрезки с коэффициентом кратным 0,5. Например, отрезки с коэффициентом 2,5, 1,5, 2 и тому подобные.
Пропорциональными будут являться и отрезки, составляющие подобные фигуры. Это действует в обе стороны. Если фигуры подобны, то их стороны пропорциональны, если все стороны пропорциональны, то фигуры подобны.
Видео:8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать
Подобные фигуры
Нужно понимать, что подобными фигурами могут быть не только треугольники, но вообще любые фигуры в геометрии, если все углы этих фигур равны, а длины сторон пропорциональны.
Рис. 2. Подобные фигуры.
Но при этом признаки подобия существуют только для треугольников. Их всего 3:
- Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Пропорциональными могут быть только отрезки, как объекты имеющие длину. Прямая или луч бесконечны, а потому не могут быть подобными.
Видео:Геометрия Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и равны двум радиусамСкачать
Пример
Решим небольшую задачу на пропорциональность отрезков. Имеется 3 пропорциональных отрезка. Каждый из которых больше предыдущего. Первый отрезок равен 5, третий 20. Необходимо найти длину второго отрезка.
Отрезки пропорциональны, значит отношение больших к меньшим будет постоянным. Обозначим неизвестны отрезок за х и решим уравнение.
Перенесем выражение из правой части в левую. Приведем получившееся выражение под один знаменатель и решим дробно-рациональное уравнение.
$х^2=100$ – х может являться положительным или отрицательным числом , но отрезок не может иметь отрицательную длину, значит х=10.
Видео:8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое пропорциональные отрезки. Выделили области, где могут быть применены навыки обращения с пропорциональными длинами и привели пример на заданную тему.
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Подобие треугольников и пропорциональные отрезки
Теорема 1:
Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.
Доказательство:
Докажем сначала лемму: Если в (triangle OBB_1) через середину (A) стороны (OB) проведена прямая (aparallel BB_1) , то она пересечет сторону (OB_1) также в середине.
Через точку (B_1) проведем (lparallel OB) . Пусть (lcap a=K) . Тогда (ABB_1K) — параллелограмм, следовательно, (B_1K=AB=OA) и (angle A_1KB_1=angle ABB_1=angle OAA_1) . Значит, по второму признаку (triangle OAA_1=triangle B_1KA_1 Rightarrow OA_1=A_1B_1) . Лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы. Пусть (OA=AB=BC) , (aparallel bparallel c) и нужно доказать, что (OA_1=A_1B_1=B_1C_1) .
Таким образом, по данной лемме (OA_1=A_1B_1) . Докажем, что (A_1B_1=B_1C_1) . Проведем через точку (B_1) прямую (dparallel OC) , причем пусть (dcap a=D_1, dcap c=D_2) . Тогда (ABB_1D_1, BCD_2B_1) — параллелограммы, следовательно, (D_1B_1=AB=BC=B_1D_2) . Значит, по первому признаку (triangle A_1B_1D_1=triangle C_1B_1D_2 Rightarrow A_1B_1=B_1C_1) .
Теорема Фалеса:
Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.
Доказательство:
Пусть параллельные прямые (pparallel qparallel rparallel s) разбили одну из прямых на отрезки (a, b, c, d) . Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки (ka, kb, kc, kd) соответственно.
Проведем через точку (A_1) прямую (pparallel OD) ( (ABB_2A_1) — параллелограмм, следовательно, (AB=A_1B_2) ). Тогда (triangle OAA_1 sim triangle A_1B_1B_2) по двум углам. Следовательно, (dfrac=dfrac Rightarrow A_1B_1=kb) .
Аналогично проведем через (B_1) прямую (qparallel OD Rightarrow triangle OBB_1sim triangle B_1C_1C_2 Rightarrow B_1C_1=kc) и т.д.
Наиболее часто встречающиеся подобия треугольников:
Теорема 2.
Средняя линия треугольника отсекает от него подобный ему треугольник.
Доказательство:
Т.к. средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон, то (dfrac=dfrac=2) .
Таким образом, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними ( (angle B) — общий) (triangle A_1BC_1 sim triangle ABC) .
Теорема 3.
Треугольники, образованные диагоналями трапеции и основаниями, подобны.
Доказательство:
Т.к. (ADparallel BC Rightarrow angle OBC=angle ODA) . (angle BOC=angle AOD) как вертикальные. Следовательно, по двум углам (triangle BOCsim triangle AOD) .
Теорема 4.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника.
Доказательство:
Обозначим (angle ACH=alpha, angle BCH=beta) , т.е. (alpha+beta=90^circ) . Тогда (angle CAH=90^circ-alpha=beta, angle CBH=90^circ-beta=alpha) .
Следовательно, по двум углам (triangle ACHsim triangle BCHsim ABC) .
Теорема 5.
Отрезки, соединяющие основания высот треугольника, отсекают от него подобные ему треугольники.
Эти отрезки также являются биссектрисами углов треугольника, вершинами которого являются основания данных высот.
Доказательство:
1) Рассмотрим четырехугольник (AC_1A_1C) — около него можно описать окружность, т.к. (angle AC_1C=angle AA_1C) . Таким образом, (angle CAA_1=angle CC_1A_1=x) , т.к. опираются на одну и ту же хорду (A_1C) . Таким образом (angle ACA_1=90^circ-x, angle BC_1A_1=90^circ-x Rightarrow angle ACA_1=angle BC_1A_1) .
Значит, по двум углам (triangle A_1BC_1sim triangle ABC) ( (angle B) — общий).
Аналогично доказывается, что (triangle AB_1C_1sim triangle ABC, triangle A_1B_1Csim triangle ABC) .
2) Докажем, что (AA_1, BB_1, CC_1) – биссектрисы углов (A_1, B_1, C_1) в треугольнике (A_1B_1C_1) соответственно.
Обозначим (angle BC_1A_1=angle B_1C_1A=alpha) . Тогда (angle A_1C_1C=90^circ -alpha=angle B_1C_1C) . Значит, (CC_1) – биссектриса угла (C_1) .
Аналогично доказывается про (AA_1) и (BB_1) .
Теорема 6.
Если к окружности из одной точки вне окружности проведены две секущие, то:
Доказательство:
Четырехугольник (ABA_1B_1) описанный, следовательно, (angle BAB_1+angle BA_1B_1=180^circ Rightarrow angle OA_1B_1=180^circ-angle BA_1B_1=angle BAB_1) .
Таким образом, по двум углам ( (angle O) — общий) (triangle OABsim triangle OA_1B_1) .
Теорема 7.
Если к окружности из одной точки проведены касательная и секущая, то:
Доказательство:
Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то (angle OKA=frac12 buildrelsmileover=angle KBA) .
Следовательно, по двум углам ( (angle O) — общий) (triangle OKAsim triangle OKB) .
Теорема 8.
Если в окружности две хорды пересекаются, то:
Доказательство:
(angle A_1AB_1=angle A_1BB_1) , т.к. опираются на одну и ту же дугу. (angle A_1CB=angle B_1CA) , т.к. они вертикальные. Следовательно, по двум углам (triangle A_1BCsim triangle B_1C) .
Аналогично (triangle ABCsim triangle A_1B_1C) .
🎦 Видео
Первый признак подобия треугольников. Доказательство. 8 класс.Скачать
Теорема Фалеса. 8 класс.Скачать
№543. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равноСкачать
ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать
Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать
№535. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки,Скачать
8 класс, 24 урок, Третий признак подобия треугольниковСкачать
Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать
8 класс, 23 урок, Второй признак подобия треугольниковСкачать
