Как доказать перпендикулярность треугольника

Для обозначения перпендикуляра применяется знак «⊥». В подобном случае угол составляет 90°. На чертеже пересечение обозначается своеобразным квадратом, которые рисуется от двух пересекающихся линий.

Видео:Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Доказательство взаимного расположения

Рассматриваемый термин получил широкое распространение, он фигурирует практически в каждой геометрической задаче. В некоторых случаях о взаимном расположении известно, в других это нужно доказать. Задача доказательства заключается в определении прямого угла между двумя прямыми или плоскостями. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности заключается в теореме:

Для определения расположения плоскостей или отрезков относительно друг друга следует провести геометрическое построение. Проходить отрезки должны в одной точке.

Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Рассматривая определение перпендикулярных прямых следует учитывать, что подобное свойство применимо к плоскости. Основной признак заключается в перпендикулярности отрезка к любому другому, который находится в плоскости. Перпендикулярность прямых в пространстве указывается определенным знаком.

Доказать перпендикулярность можно проведя геометрические построения. Признаки расположения плоскости и прямой под углом 90° заключаются в следующем:

Отрезки могут быть также параллельными. В этом случае нет точки, в которой будут они пересекаться.

Видео:Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Построение перпендикуляра

Выдержать угловой коэффициент можно различным образом. В большинстве случаев для этого нужно иметь при себе циркуль. Построить перпендикуляр можно следующим образом:

Существенно упростить задачу можно путем применения специального чертежного инструмента, к примеру, любого прямоугольного треугольника. Он может называться угольником, основной его признак заключается в наличии двух перпендикулярных плоскостей. Построение проводится следующим образом:

В геометрии чаще всего применяется именно второй способ. Однако первый урок позволяет начертить два взаимно перпендикулярных отрезка с высокой точностью. Недостаток применения циркуля заключается в наличии вспомогательных линий, которые стереть сложно. Написать о взаимном расположении линий можно в описательной записке.

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Трехмерное пространство

В начертательной геометрии линии всегда находятся в двухмерном пространстве. В специальных программах можно начертить отрезки в трехмерном пространстве. Подобное взаимное расположение может выглядеть следующим образом:

В жизни подобное расположение прямых встречается крайне часто. Проверить угол можно при применении специальных инструментов.

Видео:7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

Четырехмерная система координат и лемма

Некоторые программы работают с четырехмерным пространством. Взаимное расположение плоскостей под прямым углом в этом случае имеет два смысла: они могут быть перпендикулярны в трехмерном смысле при образовании двугранного угла 90°.

Рассматриваться взаимное расположение плоскостей может и в 4-мерном смысле. Условия выглядят следующим образом:

Условия четырехмерного пространства определяют то, что через одну точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей. Определять их взаимное расположение можно несколькими различными способами.

Лемма, касающаяся перпендикулярности, связана с определением параллельности. Если одна из параллельных линий расположена под прямым углом относительно плоскости или отрезка, то вторая также перпендикулярна. Ответ на многие задачи связан с доказательством леммы:

При соблюдении условий полученный угол будет являться прямым. С учетом проведенных построений можно сформулировать определение перпендикулярности параллельных отрезков.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Применение термина

Как ранее было отмечено, встречается большое количество примеров применения рассматриваемого термина. На основе теоремы и доказательства были созданы различные формулы, позволяющие определить протяженность одного из сторон геометрической фигуры.

В средних и старших классах встречается большое количество задач, связанных с определением угла и протяженности сторон построенной фигуры. В некоторых случаях проводится построение диагонали, которая делит 90° на две равные части.

В жизни взаимное перпендикулярное расположение плоскостей встречается крайне часто. Примером служат несущие элементы различных сооружений. Подобное расположение позволяет правильно распределить оказываемую нагрузку. Править наклон можно путем применения специальных измерительных инструментов.

Многие геометрические фигуры построены на основе перпендикулярного расположения отрезков. Наиболее распространен параллелограмм или квадрат, треугольник. За счет выдерживания правильного угла обеспечивается также взаимное параллельное расположение сторон.

Приведенная выше информация указывает на то, что определение угла, под которым расположены плоскости, проводится в самых различных сферах. Инженеры и строители должны с высокой точностью контролировать этот показатель.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Математика

68. В п. 63 мы научились строить прямой угол. Так как две прямые, составляющие прямые углы, называются перпендикулярными друг другу (п. 60), то построение п. 63 можно выразить словами иначе: мы можем построить прямую, перпендикулярную к данной.

Мы теперь должны эту общую задачу разобрать подробнее и прежде всего разделим ее на две отдельных задачи:

1) Дана прямая и точка на ней, построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Можно ли и сколько?).

2) Дана прямая и точка вне ее; построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Можно ил и сколько?).

В скобках указаны те вопросы, которые должны быть выяснены при выполнении построений.

69. 1-я задача . Дана прямая и точка на ней; построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой.

Здесь остается повторить то построение, какое было дано в п. 63.

Пусть дана прямая AB и точка C на ней (чер. 73), построить чрез C перпендикуляр к AB.

От точки C откладываем по AB в разные стороны два произвольных, но равных отрезка CD = CE и затем, принимая последовательно точки D и E за центры, строим две окружности (или две дуги, достаточные для нахождения одной точки пересечения окружностей) одинаковыми радиусами, большими, чем отрезок CD. Точку пересечения M этих окружностей соединяем с C, тогда MC и есть искомый перпендикуляр, так как MC есть половина диагонали ромба, 3 вершины которого суть D, E и M.

Слово «перпендикуляр» пишут для сокращения знаком ⊥; мы построили

(CM перпендикуляр к AB).

Итак, выполнив это построение, мы можем признать, что чрез всякую точку, данную на прямой, можно построить к ней перпендикуляр (говорят иногда: восставить перпендикуляр к данной прямой). Остается еще вопрос: сколько?

Если луч CM повернуть около точки C в ту или другую сторону, то новые углы, составляемые этим лучом с прямою AB, уже не будут прямыми; поэтому заключаем, что возможно построить чрез точку прямой линии к этой прямой лишь один перпендикуляр .

70. 2-я задача . Дана прямая и точка вне ее; построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой.

Пусть дана прямая AB и точка C вне ее (чер. 74); требуется чрез C построить перпендикуляр к AB.

Задача сводится к построению такого ромба, чтобы его одна вершина расположилась в точке C и одна его диагональ шла по прямой AB. Для построения такого ромба опишем, принимая C за центр, окружность (или дугу), выбрав ее радиус столь большим, чтобы эта окружность пересекалась с прямою AB; пусть она пересечет прямую AB в точках D и E. Тогда будут найдены еще две вершины ромба. Затем, принимая последовательно за центры точки D и E, построим два круга (или две дуги) тем же самым радиусом и найдем точку их пересечения, расположенную по другую сторону от прямой AB сравнительно с точкою C, пусть эта точка есть F. Тогда все 4 вершины ромба найдены; остается построить его диагональ CF, она, как мы знаем, и будет перпендикулярна к AB, т. е. CF ⊥ AB или CM ⊥ AB.

Стороны ромба DC, CE, EF и FD нет надобности строить.

Выполнив указанное построение, мы должны признать, что из всякой точки, данной вне прямой, мы можем построить перпендикуляр к данной прямой (говорят иногда: опустить перпендикуляр на данную прямую). Остается еще вопрос: сколько?

Для решения этого вопроса допустим, что чрез точку C (чер. 75) построено: 1) CD ⊥ AB и 2) CE ⊥ AB. Тогда ∠CDB или ∠1 и ∠CEB или ∠2 оба должны быть прямыми и, следов., равны между собою. Но ∠CEB есть внешний угол для ∆CDE, а мы знаем (п. 49), что внешний угол треугольника должен быть больше внутреннего с ним несмежного. Это противоречие показывает, что наше допущение не верно, т. е. Нельзя построить чрез точку C двух перпендикуляров к прямой AB. Итак:

Чрез точку, данную вне прямой, можно построить только один перпендикуляр к этой прямой .

Замечание . Если, как мы получили в этом п., CF ⊥ AB (чер. 74), то, очевидно, и AB ⊥ CF.

71. Построим какой-либо ∆ABC (чер. 76) и из каждой его вершины опустим перпендикуляр на противоположную сторону (здесь под именем сторона треугольника надо понимать бесконечную прямую). Каждый из этих перпендикуляров называется высотою треугольника. Следовательно, наша задача может быть выражена так: построить высоты треугольника. Если мы выполним построение перпендикуляров с возможною тщательностью, то в результате увидим, что по-видимому, все три высоты пересекаются в одной точке H, впоследствии мы выясним, что это свойство высот обязательно для всякого треугольника.

При построении высот может быть три случая: 1) все три высоты идут внутри треугольника (чер. 76); 2) две высоты BE и AD располагаются вне треугольника и общая точка H пересечения всех трех высот лежит вне треугольника (чер. 77) и 3) две высоты сливаются со сторонами треугольника (чер. 78), где BA ⊥ AC и CA ⊥ AB.

72. Для разбора вышеописанных трех случаев расположения высот условимся в обозначениях и названиях.
Прямой угол обозначают буквою d; тогда выпрямленный угол равен 2d, так как прямой угол есть половина выпрямленного угла. Если какой-либо угол больше прямого угла, то он называется тупым углом, а угол, меньший прямого угла, называется острым . Если ∠BAC (чер. 79) прямой, т. е., если ∠BAC = d, то ∠DAC > d и, следов., тупой, а ∠EAC сумма внутренних углов треугольника = 2d (или двум прямым углам ).

Ясно, что 3-й случай расположения высот в треугольнике, когда две его высоты сливаются со сторонами (чер. 78), имеет место, если ∠BAC треугольника прямой (∠BAC = d); такой треугольник с прямым углом называется прямоугольным . Так как сумма всех углов треугольника = 2d, а в этом случае ∠A прямой, или = d, то два другие угла (∠B и ∠C) в сумме составляют тоже прямой угол, а следовательно каждый из них в отдельности меньше прямого, или, другими словами, каждый из них острый угол.

Нетрудно теперь различать и два остальных случая: случай, данный на чер. 76, имеет место тогда, когда все 3 угла в треугольнике острые, а случай, данный на чер. 77, имеет место тогда, когда один из внутренних углов (на чер. 77 ∠BCA) тупой.

Ясно также, что если в треугольнике один угол тупой (или > d), то сумма двух других углов должна быть 1-й признак. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то эти прямоугольные треугольники равны.

В самом деле это тот же самый признак, знакомый нам: если 2 стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Теперь про углы не говорится потому, что между катетами расположены прямые углы, а они всегда равны (на чер. 81). ∠A = ∠A’, как прямые, и достаточно для равенства ∆ABC и ∆A’B’C’ знать, что AB = A’B’ и AC = A’C’).

2-й признак. Если катет и прилежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то эти прямоугольные треугольники равны.

Это опять-таки знакомый нам признак: если 2 угла и сторона между ними одного треугольника соответственно равны двум углам и стороне между ними другого треугольника, то эти треугольники равны. Теперь про равенство углов, прилегающих к равным катетам у другого конца каждого, не говорится, так как эти углы прямые, а они всегда равны (на чер. 81, где ∠A и ∠A’ прямые, достаточно для равенства треугольников знать, что AB = A’B’ и ∠B = ∠B’).

Можно вместо прилежащих углов к катетам взять углы, противолежащие этим катетам: если ∠C = ∠C’, то и ∠B = ∠B’, так как ∠B + ∠C = d и ∠B’ + ∠C’ = d.

Признак равенства треугольников по трем равным сторонам здесь нет нужды применять: мы уже знаем, что для равенства прямоугольных треугольников достаточно знать равенство двух сторон, а именно двух катетов (1-й признак).

3-й признак. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то эти прямоугольные треугольники равны.

Этот признак является следствием общего признака: если 2 угла и сторона между ними одного треугольника соответственно равны двум углам и стороне между ними другого, то эти треугольники равны. В самом деле, пусть имеем 2 прямоугольных треугольника ABC и A’B’C’ (чер. 81), у которых BC = B’C’ и ∠С = ∠С’. Так как мы знаем, что ∠B + ∠C = d (сумма всех трех внутренних углов ∆ABC = 2d, но ∠A = d, следов., ∠B + ∠C = d) и ∠B’ + ∠C’ = d (ибо ∠A’ = d), а нам известно, что ∠C = ∠C’, то отсюда приходим к заключению, что ∠B = ∠B’ и тогда сторона BC и два прилегающих к ней угла ∠C и ∠B одного треугольника равны соответственно стороне B’C’ и двум прилегающим к ней углам другого ∠C’ и ∠B’, а мы знаем, что в этом случае ∆ABC = ∆A’B’C’.

4-й признак. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого, то такие прямоугольные треугольники равны.

Этот признак удобнее всего выяснить следующим образом. Пусть имеем 2 прямоугольных треугольника ABC и A’B’C’ (чер. 82), причем ∠B = d и ∠B’ = d, у которых AC = A’C’ и AB = A’B’. Приложим ∆A’B’C’ и ∆ABC так, чтобы у них совпали равные катеты, т. е. A’B’ совпал бы с AB, и сами треугольники расположились бы по разные стороны от прямой AB, для этого иногда (напр., в случае, данном на чертеже) придется ∆A’B’C’ перевернуть другою стороною. Тогда сторона B’C’ должна пойти по такому направлению BC», чтобы ∠ABC» оказался прямым (ибо ∠B’ = d), а, следов., ∠CBC» оказался бы выпрямленным, т. е. Направление BC» должно быть продолжением стороны CB. Если точка C’ попадет в точку C», то, построив сторону AC», получим ∆ABC», равный ∆A’B’C’. Так как CBC» есть прямая линия, то получим еще ∆ACC», у которого сторона AC = AC», потому что AC» есть гипотенуза A’C’ треугольника A’B’C’, помещенного в положение ABC». Следовательно, ∆ACC» равнобедренный, а в таком случае углы при его основании равны, т. е. ∠C = ∠C», или ∠C = ∠C’. Оказалось, что у ∆ABC и ∠A’B’C’ имеется еще по равному острому углу, а в таком случае, на основании предыдущего признака, мы можем заключить, что ∆ABC = ∆A’B’C’.

75. Пусть построено: 1) CD ⊥ AB и 2) C’D’ ⊥ AB (чер. 83); тогда, напр., ∠1 = ∠2, так как оба они прямые. Но эти углы суть соответственные при прямых CD и C’D’, пересеченных секущею AB, – следов., CD || C’D’.

Наоборот, пусть построено: 1) CD || C’D’ и 2) AB ⊥ CD (чер. 83); тогда AB должна пересечь и прямую C’D’ (п. 32, 1), напр. в точке C’. Легко увидим, что ∠2 = ∠1, так как эти углы соответственные при параллельных CD и C’D’ и секущей AB, но ∠1 = d, так как AB ⊥ CD, – следов., и ∠2 = d, т. е. AB ⊥ C’D’.
Поэтому имеем два заключения:

1) Два перпендикуляра к прямой параллельны.

2) Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных, перпендикулярна и к другой.

76. Упражнения.

1. Построить прямоугольный ∆ по катетам.
2. Построить прямоугольный ∆ по катету и одному из острых углов.
3. Построить прямоугольный ∆ по гипотенузе и острому углу.
4. Построить прямоугольный ∆ по гипотенузе и катету.
5. Построить высоты параллелограмма. Указать среди них равные.
6. Задачу «построить перпендикуляр к данной прямой чрез данную вне ее точку» можно решить следующим построением: на данной прямой берем 2 произвольных точки A и B (чер. E) и, принимая их последовательно за центры, построим два круга радиусами AC и BC, где C данная точка. Окончить это построение и выяснить его справедливость.
7. Разделить прямой угол на 3 равных части.

Третью часть прямого угла легко построить: каждый внутренний угол равностороннего треугольника = , а его половина = . Наиболее удобное расположение построения следующее: принимая вершину A прямого угла за центр (чер. F), строим произвольным радиусом окружность: затем, принимая за центры точки C и B – точки пересечения построенной окружности со сторонами прямого угла – строим тем же радиусом дуги, пересекающие построенную окружность в точках D и E. Тогда ∆AEB и ∆ACD равносторонние, и лучи AD и AE делят прямой ∠A на 3 равных части.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)Скачать

Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых

В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые – основные сведения

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

Перпендикулярность обозначается « ⊥ », а запись принимает вид a ⊥ b , что значит, прямая a перпендикулярна прямой b .

Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые O x , O z , O y перпендикулярны попарно: O x и O z , O x и O y , O y и O z .

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№11 - Перпендикуляр к прямой.)Скачать

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b .

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Пусть введена прямоугольная декартова система координат О х у с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b . Направляющие векторы прямых a и b обозначим a → и b → . Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a → и b → . Это возможно только при скалярном произведении векторов a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) равном нулю, а запись имеет вид a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b , находящихся в прямоугольной системе координат О х у на плоскости, является a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 , где a → = ( a x , a y ) и b → = b x , b y — это направляющие векторы прямых a и b .

Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b .

Заданы три точки A ( 8 , 6 ) , B ( 6 , 3 ) , C ( 2 , 10 ) в прямоугольной системе координат О х у . Определить, прямые А В и А С перпендикулярны или нет.

Прямые А В и А С имеют направляющие векторы A B → и A C → соответственно. Для начала вычислим A B → = ( — 2 , — 3 ) , A C → = ( — 6 , 4 ) . Получим, что векторы A B → и A C → перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

A B → , A C → = ( — 2 ) · ( — 6 ) + ( — 3 ) · 4 = 0

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Определить, заданные прямые x — 1 2 = y — 7 3 и x = 1 + λ y = 2 — 2 · λ перпендикулярны или нет.

Решение

a → = ( 2 , 3 ) является направляющим вектором заданной прямой x — 1 2 = y — 7 3 ,

b → = ( 1 , — 2 ) является направляющим вектором прямой x = 1 + λ y = 2 — 2 · λ .

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и b → . Выражение будет записано:

a → , b → = 2 · 1 + 3 · — 2 = 2 — 6 ≠ 0

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , где a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b .

Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x 2 = y — 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 · λ z = 4 · λ

Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a → = ( 2 , — 1 , 0 ) и b → = ( 1 , 2 , 4 ) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

Выражение примет вид a → , b → = 2 · 1 + ( — 1 ) · 2 + 0 · 4 = 0 .

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b , это и есть необходимое и достаточное условие.

Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида A x + B y + C = 0 , уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 , уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y = k x + b координаты векторов возможно найти.

Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3 x — y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 .

Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что n α → = ( 3 , — 1 ) — это нормальный вектор для прямой 3 x — y + 2 = 0 .

Упростим уравнение x 3 2 + y 1 2 = 1 до вида 2 3 x + 2 y — 1 = 0 . Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме n b → = 2 3 , 2 .

Векторы n a → = ( 3 , — 1 ) и n b → = 2 3 , 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0 . Получим n a → , n b → = 3 · 2 3 + ( — 1 ) · 2 = 0 .

Необходимое и достаточное условие было выполнено.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y = k 1 x + b 1 , а прямая b — y = k 2 x + b 2 , отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты ( k 1 , — 1 ) и ( k 2 , — 1 ) . Само условие перпендикулярности сводится к k 1 · k 2 + ( — 1 ) · ( — 1 ) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = — 1 .

Выяснить, перпендикулярны ли прямые y = — 3 7 x и y = 7 3 x — 1 2 .

Прямая y = — 3 7 x имеет угловой коэффициент, равный — 3 7 , а прямая y = 7 3 x — 1 2 — 7 3 .

Произведение угловых коэффициентов дает значение — 1 , — 3 7 · 7 3 = — 1 , то есть прямые являются перпендикулярными.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Определить, являются ли заданные прямые x — y — 1 = 0 и x 0 = y — 4 2 перпендикулярными.

Получаем, что нормальный вектор прямой x — y — 1 = 0 имеет координаты n a → = ( 1 , — 1 ) , а b → = ( 0 , 2 ) — направляющий вектор прямой x 0 = y — 4 2 .

Отсюда видно, что векторы n a → = ( 1 , — 1 ) и b → = ( 0 , 2 ) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t , чтобы выполнялось равенство n a → = t · b → . Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.

💡 Видео

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т4. Перпендикуляр к прямой.Скачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр. Теорема о перпендикулярной прямой проходящей через точку.Скачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

#5str. Как проверять перпендикулярность?Скачать