- теория по математике 📈 планиметрия
- Свойства прямоугольного треугольника
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
- Теорема Пифагора
- Египетский треугольник
- Пифагоровы тройки
- Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия
- Определение
- Свойства прямоугольного треугольника
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
- Признаки прямоугольного треугольника
- Признаки подобия прямоугольных треугольников
- Прямоугольный треугольник
- 🔥 Видео
теория по математике 📈 планиметрия
Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.
На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, угол С равен 90º, стороны АС и ВС – катеты, а сторона АВ – гипотенуза.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать
Свойства прямоугольного треугольника
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной.
- В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы. И обратно, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 0 .
Например, пусть угол А=30 0 , а гипотенуза АВ=28 см, то катет ВС будет равен 14 см, так как лежит напротив угла А=30 0 . Или, например, если катет ВС=6 см, а гипотенуза АВ равна 12 см, то угол А (лежащий напротив катета ВС), равен 30 0 .
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна всегда 90 градусов.
- Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.
На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:
- Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:
- по катетам;
- по катету и прилежащему острому углу;
- по гипотенузе и острому углу;
- по гипотенузе и катету.
Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать
Теорема Пифагора
Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ 2 =АС 2 +ВС 2
Например, если в данном треугольнике катеты равны 9 и 12 см, то можно найти длину гипотенузы, используя теорему: АВ 2 =9 2 +12 2 =81+144=225=15 2 , значит АВ=15 см.
Египетский треугольник
Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.
Пифагоровы тройки
Тройки чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора, называют Пифагоровы тройки, а сами числа – Пифагоровы числа. Например, такими являются числа 16, 12 и 20 – это числа, которые при подстановке в формулу теоремы, дают нам верное равенство: 16 2 +12 2 =20 2 , 256+144=400, 400=400.
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия
Видео:7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать
Определение
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.
Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.
Катет в прямоугольном треугольнике — это две стороны прилежащие к прямому углу.
Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике:
- Сумма острых углов 90˚.
- Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
- Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
- Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Формулы:
- Площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения катетов: - Радиус описанной окружности около прямоугольного
треугольника равен половине гипотенузы: - Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
выражается следующим образом: - Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Видео:Прямоугольный треугольник. Свойства, доказательства.Скачать
Признаки равенства прямоугольных треугольников
С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.
- По двум катетам:
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно
равны двум катетам другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны. - По катету и гипотенузе:
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно
равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны. - По гипотенузе и острому углу:
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольникиравны. - По катету и острому углу:
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны.
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки прямоугольного треугольника
С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.
- По теореме Пифагора:
Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон,
то треугольник прямоугольный. - По центру описанной окружности:
Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника,
то треугольник прямоугольный. - По медиане:
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена,
то треугольник прямоугольный. - По площади:
Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
то треугольник прямоугольный. - По радиусу описанной окружности:
Если радиус описанной окружности равен половине,
то треугольник прямоугольный.
Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать
Признаки подобия прямоугольных треугольников
С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.
Видео:Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство
4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :
5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
🔥 Видео
ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать
Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать
7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать
Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать
7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать
Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать