Из точки м к окружности проведены касательная мн

Геометрия | 5 — 9 классы

Из точки М к окружности проведены касательная MN(N – точка касания) и секущая MK, пересекающая окружность в точке Р так, что РМ длиннее РК на 2 и короче МN на 3.

Найдите длину отрезка касательной(MN).

OL = OK, какрадиусыоднойокружности, ΔLOK — равнобедренный, ∠OLK = ∠OKL = 38°

К. МN — касательная, значит

∠NMK = 180 — (90 + 38) = 52°.

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Из точки А проведены к окружности касательная AB и секущая ACD?

Из точки А проведены к окружности касательная AB и секущая ACD.

Во сколько раз отрезок секущей, лежащий внутри круга, больше отрезка секущей, находящегося вне круга, если расстояние от точки А до точки B в 3 раза больше, чем длина отрезка, лежащего вне круга.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Под прямым углом из точки А к окружности проведены две касательные ?

Под прямым углом из точки А к окружности проведены две касательные .

Расстояние от точки А до цента окружности равно 2 см.

Найдите длину окружности.

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

Дана окружность с центром в точке О?

Дана окружность с центром в точке О.

Отрезки секущей этой окружности проходящей через точки А и О равны, AP = 4 AQ = 16.

Найдите длину касательной АВ проведенной к данной окружности.

Видео:ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.Скачать

Из одной точки проведены касательная и секущая касательная длиннее внешнего отрезка секущей на 5 см и короче внутреннего отрезка на строкой же Найдите касательну?

Из одной точки проведены касательная и секущая касательная длиннее внешнего отрезка секущей на 5 см и короче внутреннего отрезка на строкой же Найдите касательну.

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Из точки E к окружности проведены касательная AE и секущая BE?

Из точки E к окружности проведены касательная AE и секущая BE.

Эта секущая пересекает окружность в точках B и C.

Найдите длину AE, если BC = 5 см, BE = 4 см

С ЧЕРТЕЖОМ ПОЖАЛУЙСТА.

Видео:Геометрия Докажите, что если через точку A к окружности проведены касательная AM (M – точка касания)Скачать

К окружности с центром в точке О проведена касательная АК ( К — точка касания), домов отрезка АК равна √15?

К окружности с центром в точке О проведена касательная АК ( К — точка касания), домов отрезка АК равна √15.

Прямая АО пересекает окружность в точках В и С, причём АВ = 3.

Найдите диаметр окружности.

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Из точки А, лежащей на окружности с центром в точке О, проведена касательная АS и секущая AR?

Из точки А, лежащей на окружности с центром в точке О, проведена касательная АS и секущая AR.

Найдите острый угол между касательной и секущей, если секущая равна радиусу окружности.

Видео:ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)Скачать

Через точку а проведены две касательные ав(в — точка касания)и секущая, пересекающая окружность в точке с и е так, что а — с — е, ав = 10 см, ае = 20 см?

Через точку а проведены две касательные ав(в — точка касания)и секущая, пересекающая окружность в точке с и е так, что а — с — е, ав = 10 см, ае = 20 см.

Найдите длину ас

Видео:Некоторые свойства окружности касательная к окружности - 7 класс геометрияСкачать

К окружности с центром О проведены касательные BH и BK(H И k — точки касания)?

К окружности с центром О проведены касательные BH и BK(H И k — точки касания).

Отрезки BO и KH пересекаются в точке С.

Найдите длину отрезка BK, если BC — 8, kh = 12.

Видео:ЕГЭ по математике. Задание №16 #11Скачать

Через точку А проведены касательная АВ, (В — Точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках С и К так, что АС = 4 см ; АК = 16 см?

Через точку А проведены касательная АВ, (В — Точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках С и К так, что АС = 4 см ; АК = 16 см.

На этой странице находится вопрос Из точки М к окружности проведены касательная MN(N – точка касания) и секущая MK, пересекающая окружность в точке Р так, что РМ длиннее РК на 2 и короче МN на 3?, относящийся к категории Геометрия. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Геометрия. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Решение на первое задание.

, цилиндр, квадрат, прямоугольник, ромб.

Основанием правильной четырёхугольной призмы является квадрат. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны : r = (1 / 2)a 1 = a / 2 a = 2 S(б) = Pосн * h = 2 * 4 * 1 = 8 (кв. Ед. ).

1) 180 — 90 — 37 = 53 2)180 — 90 — 32 = 58 3) угол А = 180 — 90 — 26 + 64 угол САК = 64 / 2 = 32 угол АКС = 180 — 90 — 32 = 58 7) так как, угол Е = 30, то ЕД = 2FD = 28 (против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы) 8) А = 30 (то..

А b — длины сторон в сантиметрах 2а + 2b = 112 a = b + 12 — — — — — — упростим систему уравнений a + b = 56 a — b = 12 — — — — — — сложим первое ив второе 2a = 68 a = 34 см — — — — — — и теперь подставим найденное а a + b = 56 34 + b = 56 b = 22 см.

Т. к треугольник равнобедренный, то все стороны равны : AB = BC = AC = √8 Если в этом вопрос.

Опустим высоту СМ на основание АD. BC = AM MD = 9 — 6 MD = 3 Найдем угл DCM 180 — 60 — 90 = 30. Катет, леж. На против угла в 30°, будет равен половине гипотенузы. СD = MD * 2 CM = 3 * 2 CM = 6 Ответ : 6 ( вроде так).

Думаю рисунок труда не составит сделать, AD и BC основания трапеции опускаешь из точек B и C 2 высоты BH1 и CH2, H1H2 = 8. Далее из прямоугольных треугольников ABH1 и CH2D ищешь катеты AH1 и H2D AH1 = AB * cos60 = 10 * 1 / 2 = 5 H2D = CD * cos45 = 6..

17 : 2 = 8, 5 12 : 2 = 6 8, 5 + 6 = 14, 5см.

Видео:Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

Из точки м к окружности проведены касательная мн

Вопрос по геометрии:

Из точки М к окружности проведены касательная MN и секущая МК, угол между этой секущей и радиусом OL равен 38°. Найдите величину угла NMK. Ответ дайте в градусах

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Видео:Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен данной касательной. Доказательство. #геометрияСкачать

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Видео:№658. Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая ADСкачать

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Построение касательной к окружности.Скачать

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

🌟 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

№671. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекаетСкачать

Построение касательной к окружностиСкачать

САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Окружность, касательная. Свойство касательнойСкачать

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Геометрия. 8 классСкачать